1、海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）一、选择题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.双曲线 的左焦点的坐标为 ( )x22y22=1A. (-2,0) B. C. D. (2,0) (1,0) (4,0)【答案】A【解析】【分析】先根据方程求出 ，再求出焦点坐标.a,b【详解】由题意可知焦点在 x 轴上， ，即 ，所以选 A.c2=a2+b2=4 c=2【点睛】本题主要考查双曲线的方程及焦点坐标.确定焦点坐标的要素有两个：一是确定焦点的位置；二是求出的值.2.已知等比数列 满足 ，且 成等差数列，则 ( )an a1=2 a1,a2,6 a4=A. B. C. D. 6
2、 8 16 32【答案】C【解析】【分析】设公比为 q，由等比数列的通项公式和等差数列中项性质列方程，解方程可得 q，即可得到所求值【详解】 成等差数列，得 ，即： ，a1,a2,6 a2=a1+62 =4 a1q=4 q=2所以， 16a4=a1q3故选：C【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题3.若 ，则 ( )lga2lg2=1 a=A. B. C. D. 4 10 20 40【答案】D【解析】【分析】利用对数的运算得出 ，从而得出 ，解出 a 即可lga-2lg2=lga4=lg10 a4=10【详解】 化为 ，即 ，lga-2lg2=
3、1 lga-lg22=1 lga4=1所以， ， 40，a4=10a=故选：D【点睛】本题考查对数的运算性质，属于基础题4.已知向量 ，且 ，则 ( )a=(2,0),b=(t,1) ab=|a| ab=A. B. C. D. (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)【答案】B【解析】【分析】利用已知条件求出 t，然后可得结果【详解】因为 ，所以，2t2，t1，ab=|a|（2,0）（1,1）（1，1） ，a-b=故选 B【点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目5.直线 被圆 截得的弦长为 ，则 的值为( )y=kx+1 x2+y2=2 2 kA. B. C.
4、 D. 0 12 1 22【答案】A【解析】【分析】利用圆的弦的性质，通过勾股定理求出 .k【详解】圆心为 ，半径为 ；圆心到直线的距离为 ，因为弦长为 2，所以(0,0) 2d= 11+k2，解得 ，故选 A.d2+1=2 k=0【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，利用弦长求解参数.直线和圆相交弦长问题，一般通过勾股定理来建立等式.6.已知函数 ，则“ ”是“函数 在区间 上存在零点”的( )f(x)= x+ax ae xR【答案】 (1). e (2). t e即函数 当 x0 时，有 f(x)e，如下图，f(x)=e | x-t |将 左移 1 个单位，得到函数： 图象，f(x)=e
5、|x| f(x)=e|x+1|此时，有 （x0） ，图象再左移满足f(x)e f(x)e所以，有 。t-3 f(2)f(6)当 时， a1所以当 时，函数取得最小值 .t=1 -5【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换与二次函数的应用问题，是基础题17.为迎接 年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对2022学生进行了考核. 记 表示学生的考核成绩，并规定 为考核优秀.为了了解本次培训活X X85动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了 名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：305 0 1 1 66 0 1 4 3 3 5 87 2 3 7
6、 6 8 7 1 78 1 1 4 5 2 99 0 2 1 3 0()从参加培训的学生中随机选取 1 人，请根据图中数据，估计这名学生考核成绩为优秀的概率；()从图中考核成绩满足 的学生中任取 人，求至少有一人考核优秀的概率；X80,89 2()记 表示学生的考核成绩在区间 内的概率，根据以往培训数据，规定当P(aXb) a,b时培训有效. 请你根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，P(|X8510|1)0.5并说明理由.【答案】 （） （） （）见解析730 35【解析】【分析】（）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；（）结合图表得到 6 人中有 2 个人考核为优，从而求出满足条
7、件的概率即可；（）求出满足 的成绩有 16 个，求出满足条件的概率即可|X-8510|1【详解】 （）设这名学生考核优秀为事件 A由茎叶图中的数据可以知道， 名同学中，有 名同学考核优秀 30 7所以所求概率 约为 P(A)730（）设从图中考核成绩满足 的学生中任取 人，至少有一人考核成绩优秀为X80,89 2事件 B因为表中成绩在 的 人中有 个人考核为优 80,89 6 2所以基本事件空间 包含 个基本事件，事件 包含 个基本事件 15 B 9所以 P(B)=915=35（）根据表格中的数据，满足 的成绩有 个， |X-8510|1 16所以 P(|X-8510|1)=1630=8150
8、.5所以可以认为此次冰雪培训活动有效【点睛】本题考查了茎叶图问题，考查古典概型计算公式以及转化思想，是一道常规题18.在四棱锥 中，平面 平面 ， 底面 为梯形, ， .PABCD ABCD PCD ABCD ABCD ADDC（）求证： 平面 ；AB PCD（）求证： 平面 ；AD PCD（）若 是棱 的中点，求证：对于棱 上任意一点 ， 与 都不平行M PA BC F MF PC【答案】 （）见证明；()见证明；（）见证明【解析】【分析】（）利用线面平行判定定理即可证明 AB平面 PCD（）法一：利用面面垂直的性质即可证明 AD平面 PCD法二：在平面 PCD 中过点D 作 DHCD，交
9、PC 于 H，利用面面垂直的性质可证 DH平面 ABCD，进而利用线面垂直的性质可证 DHAD，再根据线面垂直的判定定理即可证明 AD平面 PCD（）法一：假设存在棱 BC 上点 F，使得 MFPC，连接 AC，取其中点 N，有 MNPC，即可证明 MF 与 MN 重合，即 MF 就是 MC，由 MC 与 PC 相交，矛盾，即可问题得证法二：假设存在棱 BC 上点 F，使得 MFPC，显然 F 与点 C 不同，可得 P，M，F，C 四点在同一个平面 中，即 BFC，APM， 就是点 A，B，C 确定的平面 ABCD，且 P，这与 PABCD 为四棱锥矛盾，即可得解假设错误，问题得证【详解】 （
10、）因为 ABCD平面 CD PCD平面AB PCD所以 平面AB PCD（）法一：因为平面 平面ABCD PCD平面 平面ABCD PCD=CD, 平面ADCDAD ABCD所以 平面AD PCD法二：在平面 中过点 作 ，交 于PCD D DHCD PC H因为平面 平面ABCD PCD平面 平面ABCD PCD=CD平面DH PCD所以 平面DH ABCD因为 平面AD ABCD所以 DHAD又 ，ADPC PCDH=H所以 平面AD PCD（）法一：假设存在棱 上点 ，使得 BC F MFPC连接 ，取其中点AC N在 中，因为 分别为 的中点，所以PAC M,N PA,CA MNPC因
11、为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以 与 重合MF MN所以点 在线段 上，所以 是 ， 的交点F AC F AC BC C即 就是MF MC而 与 相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 MC PC法二：假设存在棱 上点 ，使得 ，显然 与点 不同 BC F MFPC F C所以 四点在同一个平面 中P,M,F,C 所以 ， FC PM所以 ， BFC APM所以 就是点 确定的平面 ，且 A,B,C ABCD P这与 为四棱锥矛盾，所以假设错误，问题得证P-ABCD【点睛】本题主要考查了线面平行判定定理，面面垂直的性质，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，考查了数形结合思想和反证法的
12、应用，属于中档题19.已知点 和椭圆 . 直线 与椭圆 交于不同的两点 . B(0,2) M:x24+y22=1 l:y=kx+1 M P,Q() 求椭圆 的离心率；M() 当 时，求 的面积；k=12 PBQ（）设直线 与椭圆 的另一个交点为 ，当 为 中点时，求 的值 .PB M C C PB k【答案】 （） （）4（）22 k=31414【解析】【分析】（）利用已知条件求出 a，c，然后求解椭圆的离心率即可；（）设 P（x1，y1），Q（x2，y2） ，直线 l 的方程为 ，与椭圆联立，求出坐标，然后求y=12x+1解三角形的面积；（）法一：设点 C（x3，y3），P（x1，y1），B
13、（0，2） ，结合椭圆方程求出 P（x1，y1） ，然后求解斜率法二：设 C（x3，y3） ，显然直线 PB 有斜率，设直线 PB 的方程为 yk 1x2，与椭圆联立，利用韦达定理求出 P 的坐标，求解斜率即可【详解】 （）因为 ，所以 a2=4,b2=2 a=2,b= 2,c= 2所以离心率 e=ca=22（）设 P(x1,y1),Q(x2,y2)若 ，则直线的方程为 k=12 y=12x+1由 ，得x24+y22=1y=12x+1 3x2+4x-4=0解得 x1=-2,x2=23设 ，则 A(0,1) SPBQ=12|AB|(|x1|+|x2|)=123(23+2)=4（）法一：设点 ，C
14、(x3,y3)因为 ， ，所以P(x1,y1) B(0,-2) x3=x12y3=-2+y12 又点 ， 都在椭圆上，P(x1,y1) C(x3,y3)所以x124+y122=1(x12)24+(-2+y12)22 =1 解得 或x1=142y1=-12 x1=- 142y1=-12 所以 或 k=-31414k=31414法二：设 C(x3,y3)显然直线 有斜率，设直线 的方程为PB PB y=k1x-2由 ， 得 x24+y22=1y=k1x-2 (2k12+1)x2-8k1x+4=0所以=16(2k12-1)0x1+x3= 8k12k12+1x1x3= 42k12+1 又 x3=12x
15、1解得 或 x1=- 142k1=-31414 x1=142k1=31414 所以 或 x1=- 142y1=-12 x1=142y1=-12 所以 或k=31414k=-31414【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力20.已知函数 ，其中 .f(x)=ax2ex a0（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； a=3 y=f(x) (1,f(1)（）求证: 当 时， .x0 f(x)2e【答案】()y=2e ()见证明【解析】【分析】（）求出导函数，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解曲线 yf（x）在（1，f （1） ）处的切线方程；（）法
16、一： ，令 f（x）0，求出极值点，判断导函数的符号，得到函数的单调f(x)=x2-2x-aex性，求出函数的最小值，只需证明 ， ， ，设 ，f(x2) -2ex22-2x2-a=0 f(x2)=a-x22ex2=-2x2ex2 F(x)=-2xex其中 x2，利用导函数转化求解即可；法二：设 ，其中 x 0， ，推出 F（x）在区间（0，2）上单调递减，F(x)=-x2ex F(x)=x2-2xex =x(x-2)ex在（2，+）上单调递增，所以函数 F（x）在 x2 时取得最小值 ，而F(2)=-4e2，推出结果即可；-4e2-(-2e)=2e-4e2 0法三：因为“对任意的 x0， ”
17、等价于“对任意的 x0， ”，只需证a-x2ex -2e a-x2ex+2e 0“x0 时，2e x+e（ax2）0” ，设 g（x）2e x+e（ax2） ，其中 x0，g（x）2e x2ex，设 h（x）g（x），h（x） 2ex2e，求出函数的极小值，通过 g（x）在（0， +）上单调递增，得 g（x）g（0） ，转化证明即可【详解】 （）因为 f(x)=a-x2ex所以 f(x)=x2-2x-aex当 时，a=3 f(x)=x2-2x-3ex所以 ，而 f(-1)=0 f(-1)=2e曲线 在 处的切线方程为 y=f(x) (-1,f(-1) y=2e（）法一：因为 ，令f(x)=x2
18、-2x-aex f(x)=0得 x1=1- 1+a, x2=1+ 1+a显然当 时，a0 x12所以 ， ， 在区间 上的变化情况如下表:x f(x) f(x) (0,+)x (0,x2) x2 (x2,+)f(x) - 0 +f(x) 极小值 所以 在区间 上单调递减，在 单调递增，f(x) (0,x2) (x2,+)所以 在 上的最小值为 ，所以只需证明f(x) (0,+) f(x2) f(x2)-2e因为 ，所以 x22-2x2-a=0 f(x2)=a-x22ex2=-2x2ex2设 ，其中 F(x)=-2xex x2所以 F(x)=-2(1-x)ex =2(x-1)ex当 时， ，所以
19、 在区间 单调递增，x2 F(x)0 F(x) (2,+)因为 ，所以 ，问题得证x22 f( x2)=F(x2)F(1)=-2e法二：因为 ，所以当 时，a0 x0 f(x)=a-x2ex-x2ex设 ，其中F(x)=-x2ex x0所以 F(x)=x2-2xex =x(x-2)ex所以 ， ， 的变化情况如下表: x F(x) F(x)x (0,2) 2 (2,+)F(x) - 0 +F(x) 极小值 所以 在区间 上单调递减，在 上单调递增，F(x) (0,2) (2,+)所以函数 在 时取得最小值 ，而F(x) x=2 F(2)=-4e2 -4e2-(-2e)=2e-4e20所以 时x
20、0 F(x)-2e所以 ，问题得证 f(x)F(x)-2e法三：因为“对任意的 ， ”等价于“对任意的 ， ”x0a-x2ex-2e x0 a-x2ex+2e0即“ ， ”，故只需证“ 时， ” x02ex+e(a-x2)ex+1 0 x0 2ex+e (a-x2)0设 ，其中 g(x)=2ex+e (a-x2) x0所以 g(x)=2ex-2ex设 ， ,h(x)=g(x) h(x)=2ex-2e令 ，得h(x)=0 x=1所以 ， ， 的变化情况如下表: x h(x) h(x)x (0,1) 1 (1,+)h(x) - 0 +h(x) 极小值 所以 在 处取得极小值，而 h(x) x=1 h(1)=2e-2e=0所以 h(x)0所以 时， ，所以 在 上单调递增，得 x0 g(x)0 g(x) (0,+) g(x)g(0)而 ，所以 问题得证g(0)=20 g(x)0【点睛】本题考查导数的应用，切线方程的求法以及函数的导数判断函数的单调性，构造法的应用，转化思想以及计算能力
