1、第十一章 统计、统计案例11.1 随机抽样1简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(nN)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法2系统抽样的步骤假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本(1)先将总体的 N 个个体编号；(2)确定分段间隔 k，对编号进行分段当 (n 是样本容量) 是整数时，取 k ；Nn Nn(3)在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l (lk )；(4)按照一定的规则抽取样本通常是将 l 加上间隔 k 得到第
2、 2 个个体编号( lk) ，再加 k得到第 3 个个体编号(l2k )，依次进行下去，直到获取整个样本3分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照 一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样1判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)简单随机抽样是一种不放回抽样 ( )(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关 ( )(3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样 ( )(4)要从 1 002 个学生中用系统抽
3、样的方法选取一个容量为 20 的样本，需要剔除 2 个学生，这样对被剔除者不公平 ( )(5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关 ( )2在某班的 50 名学生中，依次抽取学号为 5、10、15、20、25、30、35、40、45、50 的10 名学生进行作业检查，这种抽样方法是 ( )A随机抽样 B分层抽样C系统抽样 D以上都不是答案 C3将参加英语口语测试的 1 000 名学生编号为 000,001,002，999，从中抽取一个容量为50 的样本，按系统抽样的方法分为 50 组，如果第一组编号为 000,001,002，019，且第一组随机抽取的编号为 015，则抽取的第
4、35 个编号为 ( )A700 B669 C695 D676答案 C解析 由题意可知，第一组随机抽取的 编号 l15，分段间隔数 k 20，则抽取的第 35 个编号为 a3515(351)20695.Nn 1 000504大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品 120 个、60 个、20 个，现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为 25 的样本，较为恰当的抽样方法为_答案 简单随机抽样解析 因为三个盒子中装的是同一种产品，且按比例抽取每盒中抽取的不是整数，所以将三盒中产品放在一起搅匀按简单随机抽样法(抽签法) 较为 适合5一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人若用分层抽样的方法从该
5、队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，则抽取男运动员的人数为_答案 12解析 样本的抽取比例为 ，2148 36 14所以应抽取男运动员 48 12(人).14题型一 简单随机抽样例 1 下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？(1)从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本(2)盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里(3)从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验(4)某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛思维启迪 判断一个抽样是否为简单随机抽样，要判断是否符合简
6、单随机抽样的特征解 (1)不是简单随机抽样因为被抽取的样本总体的个体数是无限的，而不是有限的(2)不是简单随机抽样因 为它是放回抽样(3)不是简单随机抽样因 为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取(4)不是简单随机抽样因 为不是等可能抽样思维升华 (1)简单随机抽样需满足：被抽取的样本总体的个体数有限； 逐个抽取；是不放回抽取；是等可能抽取(2)简单随机抽样常有抽签法( 适用总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)(2013江西)总体由编号为 01,02，19,20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第
7、6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为 ( )7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A.08 B07 C02 D01答案 D解析 从第 1 行第 5 列、第 6 列组成的数 65 开始由左到右依次 选出的数为08,02,14,07,01，所以第 5 个个体 编号为 01.题型二 系统抽样例 2 将参加夏令营的 600 名学生编号为 001,002，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003.这 600 名学
8、生分住在三个营区，从 001 到 300 在第营区，从 301 到 495 在第营区，从 496 到 600 在第营区，三个营区被抽中的人数依次为 ( )A26,16,8 B25,17,8C25,16,9 D 24,17,9思维启迪 系统抽样又称“等距抽样” 可以根据“等距”确定各营区被抽中的人数答案 B解析 由题意及系统抽样的定义可知，将 这 600 名学生按 编号依次分成 50 组，每一 组各有 12 名学生，第 k(kN *)组抽中的号码是 312( k1) 令 312(k1)300 得 k ，因此第 营区被抽中的人数是 25；1034令 300312(k 1) 495 得 k42，因此
9、第 营区被抽中的人数是 422517.1034结合各选项知，选 B.思维升华 (1)系统抽样的特点机械抽样，又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项 就是第 1 组所抽取的样本号 码，公差 为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码(2)系统抽样时，如果 总体中的个体数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行(2013陕西)某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1,2，840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间481,720的人数为( )A1
10、1 B12 C13 D14答案 B解析 由 20，即每 20 人抽取 1 人，所以抽取 编号落入区 间481,720 的人数为84042 12(人)720 48020 24020题型三 分层抽样例 3 (2013湖南)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件，80 件，60 件为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n 等于 ( )A9 B10 C12 D13思维启迪 分层抽样，抽样比是一个定 值答案 D解析 ， n13.360 n120 80 60思维升华 在分层抽样的过程中， 为
11、了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即niN i nN.某校共有学生 2 000 名，各年级男、女生人数如下表已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ( )一年级 二年级 三年级女生 373 x y男生 377 370 zA.24 B18 C16 D12答案 C解析 依题意我们知道二年级的女生有 380 人，那么三年级的学生人数应该是 2 000373377380370500，即 总体中各个年级的人数比 为 3
12、32，故在分 层抽样中应在三年级抽取的学生人数为 64 16.28五审图表找规律典例：(12 分) 某单位有 2 000 名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：人数 管理 技术开发 营销 生产 共计老年 40 40 40 80 200中年 80 120 160 240 600青年 40 160 280 720 1 200小计 160 320 480 1 040 2 000(1)若要抽取 40 人调查身体状况，则应怎样抽样？(2)若要开一个 25 人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？(3)若要抽 20 人调查对广州亚运会举办情况的了
13、解，则应怎样抽样？抽取 40 人调查身体状况(观察图表中的人数分类统计情况)样本人群应受年龄影响(表中老、中、青分类清楚，人数确定)要以老、中、青分层，用分层抽样要开一个 25 人的座谈会(讨论单位发展与薪金调整)样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响(表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚，人数确定)要以管理、技术开发、营销、生产人员分层，用分层抽样要抽 20 人调查对广州亚运会举办情况的了解可认为亚运会是大众体育盛会，一个单位人员对情况,了解相当将单位人员看作一个整体(从表中数据看总人数为 2 000 人)人员较多，可采用系统抽样规范解答解 (1)按老年、中年、青年分层，用分 层
14、抽样法抽取， 1 分抽取比例为 . 2 分402 000 150故老年人，中年人，青年人各抽取 4 人，12 人， 24 人 4 分(2)按管理、技术开发、营销、生产分层，用分 层抽样法抽取， 5 分抽取比例为 ， 6 分252 000 180故管理，技术开发，营销，生产各抽取 2 人，4 人， 6 人， 13 人 8 分(3)用系统抽样，对全部 2 000 人随机编号，号码从 00012000，每 100 号分 为一组，从第一组中用随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码 分别加 100,200，1 900，共 20 人组成一个样本12 分温馨提醒 (1)本题审题的关键有两点，一是对图表中的人员
15、分类情况和数据要审视清楚；二是对样本的功能要审视准确(2)本题易错点是，对于第(2)问，由于对样本功能审视不准确，按老、中、青三层分层抽样方法与技巧三种抽样方法的比较类别 各自特点 相互联系 适用范围 共同点简单随机抽样从总体中逐个抽取最基本的抽样方法总体中的个体数较少系统抽样将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取在起始部分抽样时，采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，按各层个体数之比抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等失误与防范进行分层抽样时应注意几点：(1)分层抽样中分多少层、如何分层要
16、视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同；(3)在每层抽样时， 应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.A 组 专项基础训练一、选择题1(2012四川)交通管理部门为了解机动车驾驶员 (简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中甲社区有驾驶员 96 人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数 N 为( )A101 B808 C1 212 D2 012答案 B
17、解析 由题意知抽样比为 ，而四个社区一共抽取的 驾驶员 人数为129612212543101，故有 ，解得 N808.1296 101N2某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40 名现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了 6 名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ( )A6 B8 C10 D12答案 B解析 设样本容量为 N，则 N 6， N14，3070高二年级所抽人数为 14 8.40703某单位有职工 750 人，其中青年职工 350 人，中年职工 250 人，老年职工 150 人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层
18、抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7 人，则样本容量为 ( )A7 B15 C25 D35答案 B解析 由题意知青年职工人数中年职工人数老年职工人数350250150753.由样本中青年职工为 7 人得样本容量为 15.4为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查抽到的班级一共有 52 名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知 7 号、33 号、46 号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应为 ( )A13 B19 C20 D51答案 C解析 抽样间隔为 463313，故另一位同学的编号为 71320，选 C.5某学校高一、高二
19、、高三三个年级共有学生 3 500 人，其中高三学生是高一学生的两倍，高二学生比高一学生多 300 人，现在按 的抽样比例用分层抽样的方法抽取样本，则高1100一学生应抽取的人数为 ( )A8 B11 C16 D10答案 A解析 设高一学生有 x 人，则高三学生有 2x 人，高二学生有(x300)人，学校共有4x3003 500(人)，解得 x 800(人)，由此可得按 的抽样比例用分层抽样的方法抽取1100样本，高一学生应抽取的人数 为 8008(人)，故应选 A.1100二、填空题6(2012天津)某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取
20、 30 所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_所学校，中学中抽取_所学校答案 18 9解析 150 150 18,75 9.30150 75 25 30250 302507将某班的 60 名学生编号为 01,02，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为 5 的样本，且随机抽得的一个号码为 04，则剩下的四个号码依次是_答案 16,28,40,528(2012福建)一支田径队有男女运动员 98 人，其中男运动员有 56 人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，那么应抽取女运动员人数是_答案 12解析 依题意，女运动员有 985642(人)设应抽取女运动员 x
21、 人，根据分层抽样特点，得 ，解得 x12.x42 28989课题组进行城市空气质量调查，按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为 4,12,8，若用分层抽样抽取 6 个城市，则丙组中应抽取的城市数为_答案 2解析 由已知得抽样比为 ，624 14丙组中应抽取的城市数为 8 2.1410用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 160 名学生从 1160 编号，按编号顺序平均分成 20 组(18 号，916 号，153160 号) ，若第 16 组抽出的号码为 123，则第 2 组中应抽出个体的号码是_答案 11解析 由题意可知，系统抽样 的组数为 2
22、0，间隔为 8，设第 1 组抽出的号码为 x，则由系统抽样的法则可知，第 n 组抽出个体的号 码应该为 x( n1)8，所以第 16 组应抽出的号码为 x(16 1)8123，解得 x3，所以第 2 组中应抽出个体的号码为 3(2 1)811.B 组 专项能力提升1某初级中学有学生 270 人，其中一年级 108 人，二、三年级各 81 人，现要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为 1,2，270，并将整个编号依次分为 1
23、0 段，如果抽得号码有下列四种情况：7,34,61,88,115,142,169,196,223,2505,9,100,107,111,121,180,195,200,26511,38,65,92,119,146,173,200,227,25430,57,84,111,138,165,192,219,246,270关于上述样本的下列结论中，正确的是 ( )A、都不能为系统抽样 B、都不能为分层抽样C、都可能为系统抽样 D、都可能为分层抽样答案 D解析 因为为系统抽样，所以 选项 A 不对；因为为分层抽样，所以选项 B 不对；因为不为系统抽样，所以选项 C 不对，故选 D.2(2012山东)采用
24、系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中，编号落入区间1,450的人做问卷 A，编号落入区间451,750的人做问卷 B，其余的人做问卷 C.则抽到的人中，做问卷 B 的人数为 ( )A7 B9 C10 D15答案 C解析 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为 30，抽取的号码依次为960329,39,69，939.落入区间451,750的有 459,489，729，这些数构成首项为 459，公差为 30 的等差数列，设有 n 项，显然有 729459(n1) 30，解得
25、n10.所以做问卷 B的有 10 人3为了解 1 200 名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为 30 的样本，考虑采取系统抽样，则分段的间隔 k 为_答案 404. 200 名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取 40 名职工作样本，采用 系统抽样方法，按 1200 编号分为 40 组，分别为15,610，196200，第 5 组抽取号码为 22，第 8 组抽取号码为_若采用分层抽样，40 岁以下年龄段应抽取_人答案 37 20解析 将 1200 编号分为 40 组，则每组的间隔为 5，其中第 5 组抽取号码为 22，则第 8组抽取的号码应为 223537；由已知条件 200
26、名职工中 40 岁以下的职工人数为20050%100，设在 40 岁以下年龄段中应抽取 x 人，则 ，解得 x20.40200 x1005一个总体中有 90 个个体，随机编号 0,1,2，89，依从小到大的编号顺序平均分成 9个小组，组号依次为 1,2,3，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为 9 的样本，规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m，那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 mk 的个位数字相同，若 m8，则在第 8 组中抽取的号码是_答案 76解析 由题意知：m8，k8， 则 mk16，也就是第 8 组抽取的号码个位数字为 6，十位数字为 817，故抽取的号 码为 76.6某公路设
27、计院有工程师 6 人，技术员 12 人，技工 18 人，要从这些人中抽取 n 个人参加市里召开的科学技术大会如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加 1 个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除 1 个个体，求 n.解 总体容量为 6121836.当样本容量是 n 时，由题意知，系统抽样的间隔为 ，分层抽样的比例是 ，抽取的工程36n n36师人数为 6 ，技术员人数 为 12 ，技工人数 为 18 ，所以 n 应是 6 的倍n36 n6 n36 n3 n36 n2数，36 的约数，即 n6,12,18.当样本容量为(n1)时，总体容量是 35 人，系统抽样的间隔为 ，因为 必须是整数，35n 1 35n 1所以 n 只能取 6.即样本容量 n6.
