1、9.8 曲线与方程1.曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y )0 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解.(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做 曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系.(2)设点设轨迹上的任一点 P(x，y).(3)列式列出动点 P 所满足的关系式.(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x，y 的方程式，并化简.(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.3.两
2、曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)f(x0，y 0)0 是点 P(x0，y 0)在曲线 f(x，y)0 上的充要条件 . ( )(2)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线. ( )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2
3、y 2. ( )(4)方程 y 与 xy 2 表示同一曲线 . ( )x2.方程(x 2y 24) 0 的曲线形状是 ( )x y 1答案 C解析 由题意可得 xy 10 或Error!它表示直线 xy 10 和圆 x2y 240 在直线 xy 10 右上方的部分.3.已知点 P 是直线 2xy 3 0 上的一个动点，定点 M(1,2)，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM| | MQ|，则 Q 点的轨迹方程是 ( )A.2xy10 B.2xy50C.2xy 10 D.2xy50答案 D解析 由题意知，M 为 PQ 中点，设 Q(x，y)，则 P 为(2x,4y) ，代入 2xy 30
4、得2xy50.4.已知点 A(2,0)、B(3,0)，动点 P(x，y)满足 x 2 6，则点 P 的轨迹方程是PA PB _.答案 y 2x解析 (3 x，y)， (2x， y)，PB PA (3x)( 2x)y 2x 2x6y 2x 26，y 2x.PA PB 5.已知两定点 A(2,0) 、B(1,0)，如果动点 P 满足| PA|2|PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积为_.答案 4解析 设 P(x，y)，由 |PA|2|PB|，得 2 ，x 22 y2 x 12 y23x 23y 212x 0，即 x2y 24x0.P 的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为 2 的圆.即轨迹所包围
5、的面积等于 4.题型一 定义法求轨迹方程例 1 已知两个定圆 O1 和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且 |O1O2|4.动圆 M 与圆 O1 内切，又与圆 O2 外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线 .思 维 启 迪 利 用 两 圆 内 、外 切 的 充 要 条 件 找 出 点 M 满 足 的 几 何 条 件 ，结 合 双 曲 线 的 定 义 求 解 .解 如图所示，以 O1O2 的中点 O 为原点，O 1O2 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系.由|O 1O2|4，得 O1(2,0)、O 2(2,0).设动圆 M 的半径为 r，则由动圆 M 与圆
6、 O1 内切，有|MO 1|r1；由动圆 M 与圆 O2 外切，有|MO 2|r2.|MO 2| MO1|3.点 M 的轨迹是以 O1、O2为焦点， 实轴长为 3 的双曲线的左支.a ，c2，b 2c 2a 2 .32 74点 M 的轨迹方程为 1 (x ).4x29 4y27 32思维升华 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求 轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程， 这样可以减少运算量，提高解题速度与质量.已知点 F ，直线 l：x ，点 B 是 l 上的动点.若过 B 垂直于 y 轴的直(14，0) 14线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是 ( )
7、A.双曲线 B.椭圆C.圆 D.抛物线答案 D解析 由已知得，|MF| MB|.由抛物线定义知，点 M 的轨 迹是以 F 为焦点， l 为准线的抛物线.题型二 相关点法求轨迹方程例 2 设直线 xy 4a 与抛物线 y24ax 交于两点 A，B(a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求ABC 的重心的轨迹方程.思维启迪 设ABC 的重心坐标为 G(x，y)，利用重心坐 标公式建立 x，y 与ABC 的顶点C 的关系，再将点 C 的坐标(用 x，y 表示) 代入抛物线方程即得所求.解 设ABC 的重心为 G(x，y)，点 C 的坐标为 C(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).由方程
8、组：Error!消去 y 并整理得：x 212ax 16 a20.x 1x 212a，y1y 2(x 14 a)(x 24a) (x1x 2)8a4a.由于 G(x，y)为 ABC 的重心，Error!Error!又点 C(x0，y0)在抛物线上，将点 C 的坐标代入抛物线的方程得：(3y4a )24a(3x 12a)，即(y )2 (x4a).4a3 4a3又点 C 与 A，B 不重合，x(62 )a，5ABC 的重心的轨迹方程为( y )2 (x4a)(x(62 )a).4a3 4a3 5思维升华 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y)，主 动点坐标为(x 1，y1
9、)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式Error!(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.设 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且 2 ， ，当点 PMN MP PM PF 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程.解 设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)， ， ( x0，y 0)， (1， y0)，PM PF PM PF (x 0， y0)(1，y 0)0，x 0y 0.20由 2 得( xx 0，y)2(x 0，y0)，MN MP Error!，即Error!.x 0，即 y24x .y24故所求的点 N 的轨迹方程是
10、 y24x.题型三 直接法求轨迹方程例 3 (2013陕西)已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程；(2)已知点 B(1,0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴是PBQ 的角平分线，证明：直线 l 过定点.思维启迪 (1)利用曲线的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；(2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系.(1)解 如图，设动圆圆心为 O1(x，y)，由 题意，得 |O1A|O 1M|，当 O1 不在
11、 y 轴上时， 过 O1 作 O1HMN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点，|O 1M| ，x2 42又|O 1A| ，x 42 y2 ，x 42 y2 x2 42化简得 y28x(x 0).又当 O1 在 y 轴上时， O1 与 O 重合，点 O1 的坐标为(0,0)也满足方程 y28x，动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y28x.(2)证明 由题意， 设直线 l 的方程为ykx b(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将 ykxb 代入 y28x 中，得 k2x2(2bk 8)xb 20.其中 32kb640.由根与系数的关系得，x 1x 2 ， 8 2bkk2x1x2 ，
12、b2k2因为 x 轴是PBQ 的角平分线，所以 ，y1x1 1 y2x2 1即 y1(x21) y 2(x11)0，(kx1b)(x 21)( kx2b)( x11) 0，2kx1x2 (bk)(x 1x 2)2b0 将，代入得 2kb2( k b)(82bk )2k 2b0，kb，此时 0，直线 l 的方程为 yk(x1) ，即直 线 l 过定点(1,0).思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略.如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步.求出曲线的方程后还需
13、注意检验方程的纯粹性和完备性.如图所示，过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1，l 2，若 l1 交 x 轴于A， l2 交 y 轴于 B，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程.解 设点 M 的坐标为(x ，y)，M 是线段 AB 的中点，A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y). (2 x2，4)， ( 2,2y4).PA PB 由已知 0，2(2x 2)4(2y4) 0，PA PB 即 x2y50.线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x2y50.分类讨论思想在曲线与方程中的应用典例：(12 分) 已知抛物线 y2 2px 经过点 M(2，2 )，椭圆 1 的右焦点恰为抛物2x
14、2a2 y2b2线的焦点，且椭圆的离心率为 .12(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若 P 为椭圆上一个动点，Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点， (0) ，|OP|OQ|试求 Q 的轨迹.思维启迪 由含参数的方程讨论曲线类型时，关 键是确定分 类标准，一般情况下，分类标准的确立有两点：一是二次项系数分别为 0 时的参数值，二是二次项系数相等时的参数值，然后确定分类标准进行讨论，讨论时 注意表述准确.规范解答解 (1)因为抛物线 y22px 经过点 M(2，2 )，2所以(2 )2 4p，解得 p2.2 分2所以抛物线的方程为 y24x ，其焦点为 F(1,0)，即椭圆的右焦点为
15、F(1,0)，得 c1.又椭圆的离心率为 ，所以 a 2，可得 b2413，12故椭圆的方程为 1.6 分x24 y23(2)设 Q(x，y)，其中 x2,2， 设 P(x，y0)，因为 P 为椭圆上一点，所以 1，x24 y203解得 y 3 x2.由 可得 2，2034 |OP|OQ| |OP|2|OQ|2故 2.x2 3 34x2x2 y2得( 2 )x2 2y23，x2,2.9 分14当 2 ，即 时，14 12得 y212，点 Q 的轨迹方程为 y2 ，x2,2，3此轨迹是两条平行于 x 轴的线段；当 2 ，即 时，得到 1，14 12x232 14y232此轨迹表示长轴在 x 轴上
16、的椭圆满足 x2,2的部分.12 分温馨提醒 此题求轨迹既有直接法，又有相关点法.求出轨迹方程后，容易忽略 x 的范围，导致轨迹图形出错.备考建议：(1)区分求轨迹方程与求轨迹的问题.(2)对常见的曲线特征要熟悉掌握.(3)除此之外，正确进行化简与计算是必须具备的基本能力.方法与技巧求轨迹的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角) 的等量关系，或 这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把 这种关系转化为 x、y 的等式就得到曲线的轨迹方程.(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数.(3)定义法：其
17、动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线) 的定 义， 则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.(4)代入法(相关点法 )：当所求动点 M 是随着另一动 点 P(称之为相关点)而运动.如果相关点 P 所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标 表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程， 这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法 .失误与防范1.求轨迹方程时，要注意曲线 上的点与方程的解是一一对应 关系.检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义.2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求 轨迹时， 应
18、先求 轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)一、选择题1.已知命题“曲线 C 上的点的坐标是方程 f(x，y)0 的解”是正确的，则下列命题中正确的是 ( )A.满足方程 f(x，y)0 的点都在曲线 C 上B.方程 f(x，y)0 是曲线 C 的方程C.方程 f(x，y)0 所表示的曲线不一定是 CD.以上说法都正确答案 C解析 曲线 C 可能只是方程 f(x，y)0 所表示的曲线上的某一小段，因此只有 C 正确.2.设圆 C 与圆 x2(y 3) 21 外切，与直线 y0 相切，则 C 的圆心轨迹为 ( )A.抛物线 B.双曲线C.椭圆
19、 D.圆答案 A解析 设圆 C 的半径为 r，则圆心 C 到直线 y0 的距离为 r.由两圆外切可得，圆心 C 到点(0,3)的距离为 r1，也就是说， 圆心 C 到点(0,3)的距离比到直线 y0 的距离大 1，故点 C到点(0,3)的距离和它到直线 y1 的距离相等，符合抛物线的特征，故点 C 的轨迹为抛物线.3.设点 A 为圆(x1) 2y 21 上的动点，PA 是圆的切线，且|PA| 1，则 P 点的轨迹方程为( )A.y22x B.(x1) 2y 24C.y2 2x D.(x1) 2y 22答案 D解析 由题意知 P 到圆心(1,0)的距离为 ，2P 的轨迹方程为(x1) 2y 22
20、.4.ABC 的顶点 A(5,0)，B(5,0)，ABC 的内切圆圆心在直线 x3 上，则顶点 C 的轨迹方程是 ( )A. 1 B. 1x29 y216 x216 y29C. 1 (x3) D. 1 (x4)x29 y216 x216 y29答案 C解析 如图，|AD| |AE |8，|BF| BE|2，|CD| |CF|，所以|CA |CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以 A、B 为焦点， 实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为 1 ( x3).x29 y2165.有一动圆 P 恒过定点 F(a,0)(a0)且与 y 轴相交于点 A、B，若ABP 为正三角形，则点 P的轨迹为 ( )A
21、.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线答案 D解析 设 P(x，y)，动圆 P 的半径为 R，由于ABP 为正三角形，P 到 y 轴的距离 d R，即| x| R.32 32而 R|PF | ，x a2 y2|x | .32 x a2 y2整理得(x3a) 23y 212a 2，即 1.x 3a212a2 y24a2点 P 的轨迹为双曲线.二、填空题6.设 P 是圆 x2 y2100 上的动点，点 A(8,0)，线段 AP 的垂直平分线交半径 OP 于 M 点，则点 M 的轨迹为_.答案 椭圆解析 如图，设 M(x，y)，由于 l 是 AP 的垂直平分线，于是|AM|PM|，又由于 10|OP|
22、 OM|MP| OM|MA| ，即 |OM| MA|10，也就是说，动点 M 到 O(0,0)及 A(8,0 )的距离之和是 10，故动点 M 的轨迹是以 O(0,0)、A(8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是 5 的椭圆.7.已知ABC 的顶点 B(0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD|3，则顶点 A 的轨迹方程为_.答案 (x10) 2y 236( y0)解析 设 A(x，y)，则 D( ， )，x2 y2|CD| 3，x2 52 y24化简得(x10) 2y 236，由于 A、B、C 三点构成三角形，A 不能落在 x 轴上，即 y0.8. P 是椭圆 1 上的任意一
23、点，F 1，F 2 是它的两个焦点，O 为坐标原点， x2a2 y2b2 OQ PF1 ，则动点 Q 的轨迹方程是 _.PF2 答案 1x24a2 y24b2解析 由于 ，OQ PF1 PF2 又 2 2 ，PF1 PF2 PM PO OP 设 Q(x，y)，则 ( ， )，OP 12OQ x2 y2即 P 点坐标为( ， )，x2 y2又 P 在椭圆上，则有 1 上， x22a2 y22b2即 1.x24a2 y24b2三、解答题9.已知曲线 E：ax 2by 21(a0，b0)，经过点 M( ，0)的直线 l 与曲线 E 交于点 A，B，33且 2 .若点 B 的坐标为 (0,2)，求曲线
24、 E 的方程.MB MA 解 设 A(x0，y0)，B (0,2)，M( ，0)，33故 ( ，2)， (x 0 ，y0).MB 33 MA 33由于 2 ，( ，2)2(x 0 ，y0).MB MA 33 33x 0 ，y01，即 A( ，1).32 32A，B 都在曲 线 E 上， Error!，解得Error!.曲线 E 的方程为 x2 1.y2410.已知点 P 是圆 O：x 2y 29 上的任意一点，过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D，动点 Q 满足 .DQ 23DP (1)求动点 Q 的轨迹方程；(2)已知点 E(1,1)，在动点 Q 的轨迹上是否存在两个不重合的点 M、N，使
25、( OE 12OM )(O 是坐标原点). 若存在，求出直线 MN 的方程；若不存在，请说明理由.ON 解 (1)设 P(x0，y0)，Q(x，y)，依 题意，则点 D 的坐标为 D(x0,0)， ( xx 0，y)， (0，y 0)，DQ DP 又 ，Error!，即Error! .DQ 23DP P 在圆 O 上，故 x y 9 ， 1.20 20x29 y24点 Q 的轨迹方程为 1.x29 y24(2)存在.假设椭圆 1 上存在两个不重合的点 M(x1，y1)，N(x2，y2)满足 ( x29 y24 OE 12OM )，ON 则 E(1,1)是线段 MN 的中点，且有Error!，即
26、Error!.又 M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆 1 上，x29 y24Error!，两式相减，得 0.x1 x2x1 x29 y1 y2y1 y24k MN ，y1 y2x1 x2 49直线 MN 的方程为 4x9y 130.椭圆上存在点 M、N 满足 ( )，OE 12OM ON 此时直线 MN 的方程为 4x9y130.B 组 专项能力提升(时间：30 分钟)1.已知定点 P(x0，y 0)不在直线 l：f (x，y) 0 上，则方程 f(x，y )f(x 0，y 0)0 表示一条( )A.过点 P 且平行于 l 的直线B.过点 P 且垂直于 l 的直线C.不过点 P 但平行于
27、 l 的直线D.不过点 P 但垂直于 l 的直线答案 A解析 由题意知 f(x0，y0)0，又 f(x0，y0)f(x 0，y0)0，直线 f(x，y) 0 与直线 f(x，y)f (x0，y0)0 平行，且点 P 在直线 f(x，y)f (x0，y0)0 上.2.平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1)，B(1,3) ，若点 C 满足 1 2 (O 为原点)，OC OA OB 其中 1， 2R，且 1 21，则点 C 的轨迹是 ( )A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线答案 A解析 设 C(x，y)，则 (x，y)， (3,1)， (1,3) ，OC OA OB 1 2 ，Error!，O
28、C OA OB 又 1 21，x 2y 50，表示一条直线.3.点 P 是以 F1、F 2 为焦点的椭圆上一点，过焦点作F 1PF2 外角平分线的垂线，垂足为 M，则点 M 的轨迹是 ( )A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线答案 A解析 如图，延长 F2M 交 F1P 延长线于 N.|PF 2| |PN|，|F 1N| 2a.连接 OM，则在NF 1F2 中，OM 为中位线，则|OM| |F1N|a.M 的轨迹是圆.124.已知 M(2,0)，N (2,0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是_.答案 x 2y 24 (x 2)解析 设 P(x，y)，因 为MPN
29、 为直角三角形，|MP |2|NP| 2|MN| 2，(x2) 2y 2 (x2) 2y 2 16，整理得，x 2y 24.M，N，P 不共线，x2，轨迹方程为 x2y 24 (x 2).5.如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，点 M 在 AB 上，且AM AB，点 P 在平面 ABCD 上，且动点 P 到直线 A1D1 的距离的平方与13P 到点 M 的距离的平方差为 1，在平面直角坐标系 xAy 中，动点 P 的轨 迹方程是_.答案 y 2 x23 19解析 过 P 作 PQAD 于 Q，再 过 Q 作 QHA 1D1 于 H，连接PH、PM，可证 PHA 1D1，设
30、 P(x，y)，由 |PH|2|PM| 21，得 x21 1， (x 13)2 y2化简得 y2 x .23 196.如图，DPx 轴，点 M 在 DP 的延长线上，且|DM|2|DP |.当点 P 在圆x2y 21 上运动时.(1)求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)过点 T(0，t)作圆 x2y 21 的切线 l 交曲线 C 于 A、B 两点，求AOB面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标.解 (1)设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x 0，y0)，则 xx 0，y2y 0，所以 x0x ，y0 ， y2因为 P(x0，y0)在 圆 x2y 21 上，所以 x y 1. 2
31、0 20将代入，得点 M 的轨迹 C 的方程为 x2 1.y24(2)由题意知，|t|1.当 t1 时，切线 l 的方程为 y1，点 A、B 的坐标 分别为( ，1)，( ，1)，32 32此时|AB| ，当 t1 时，同理可得|AB| ；3 3当|t|1 时，设切线 l 的方程为 ykxt ，kR，由Error!得(4k 2)x22ktxt 240.设 A、B 两点的坐 标分别为( x1，y1)，(x2，y2)，则由得x1x 2 ，x1x2 .2kt4 k2 t2 44 k2又由 l 与圆 x2 y21 相切，得 1，即 t2k 21，|t|k2 1所以|AB| x2 x12 y2 y12 .1 k2 4k2t24 k22 4t2 44 k2 43|t|t2 3因为|AB| ，43|t|t2 3 43|t| 3|t|且当 t 时，|AB|2，所以|AB| 的最大值为 2.3依题意，圆心 O 到直线 AB 的距离为圆 x2y 21 的半径，所以AOB 面积 S 的最大值为 211，12此时 t ，相应的点 T 的坐标为(0， )或(0， ).3 3 3
