1、 理科数学参考答案第 1页（共 9页） 云南师大附中 2019 届高考适应性月考卷（七） 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A D B B C C D A B B 【解析】 1 | | 1 |3 |2 4 Pxx x x xx RR ， ， 1012 PQ ， ，故选 B 2 222 13 i( 13 i ) ( 1i )13 ( 3 ) i 1i 1 1 1 aaa aaaa ，复数 13 i 1i a 是纯虚数，13 0 a ， 1 3 a ，故 选 C 3 1 2
2、BDA CA B ， 2 111 432 222 BD AC AC AB AC AC AB AC cos120 5 ，故选 A 4充分性：若 2 n Sa nb n ，则 1 (1) afab ，当 2 n 时， 1 () ( 1 ) nnn aSSfnfn 22 () ( 1 )( 1 ) 2 an bn a n b n an a b ， 1 a 也满足上式，所以21 n aa nabn ， 所以 1 22 nn aa an ， ，所以数列 n a 是等差数列；必要性：若数列 n a 是等差数列， 则 2 11 (1 ) 222 n nn d d Sn a dna n ，令 1 22 dd
3、ab a ， ，则 2 () n Sfna nb n ， 故选 D 5以判断框入口为准， 01 Sk ，；12 Sk ，； 3 129 3 Sk ， ； 3 933 6 4 Sk ， ； 3 36 4 100 5 4 Sk ， ，所以 中应填入 4 k ，故选 B 6设 2 () l g ( 1 ) gx x x ，则 () g x 为奇函数，又 1 323 f ga ，则 1 32 g a ， 故 1 1 1 32 323 f gga ，故选 B 理科数学参考答案第 2页（共 9页） 7该几何体为有三条棱两两垂直的三棱锥，将该三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球即为 长方体的外接球，设外接球的
4、半径为R，则 222 21223 R ，故外接球的表面积为 2 4 9 SR ，故选 C 8 31 1 4 4( ) 22 1 C(2 ) C(2 ) rn r rrn r rr rn n Tx xx ，当 11 40 2 nr ，即 11 8 nr 时，又 * nr NN ， ， 所以当 81 1 rn ，时 ， 8 81 1 1 16C T 是常数项，所以正整数n的最小值是11，故选 C 9 sin sin cos 11 () ( s i n c o s) |s i n c o s| cos sin cos 22 x xx fx x x x x x xx ， ， 由图象易知 2 () 1
5、2 fx ， ， 所以区间 mM ， 的长度的最小值是 2 1 2 ，故选 D 10如图 1 所示，将正三棱柱 111 ABC ABC 补成直四棱柱 1111 ABCD ABC D ，连接 1 CD ，则 11 / CD AB，则 11 BCD 为异面 直线 1 AB与 1 BC的所成角，设 1 AAa ，在 11 BCD 中 ， 1 BC 2 1 3 CD a ， 11 3 BD ， 22 11 2 (3 )(3 )91 cos 2( 3 ) 4 aa BCD a ， 2 3 a ， 3 a ， 111 2 19 (3 ) s i n 6 0 24 ABC ABC Va ，故选 A 11令
6、() e () x Fx fx ，则 () e() () 0 x Fx fx fx ，故 () Fx在R上为增函数， (2019) F (2018) F ， 2019 2018 e (2019) e (2018) ff ，即 e (2019) (2018) ff ，故正确；令 () () e x f x Gx ， 则 () () () 0 e x fxfx Gx ， 故 () Gx在R上为减函数， (2019) (2018) GG ， 2019 2018 (2019) (2018) ee ff ，即 (2019) e (2018) ff ，故错误；令 2 () () Hx xfx ，则 2 (
7、) 2 () () 2() () Hxx fxxfxxfxx fx ，当 0 x 时，由于 () 2() 0 xf x f x ，所以 () 0 Hx ；当 0 x 时，由于 () 2() 0 xf x f x ，所以 () 0 Hx ，故 () Hx在(0 ) ，上 为 减函数， 在 (0 ) ， 上为增函数， (2019) (2018) HH ， 22 2019 (2019) 2018 (2018) ff ， 即 22 (2019) (2018) 2018 2019 ff ，故正确，综上，正确，故选 B 图 1 理科数学参考答案第 3页（共 9页） 12由于双曲线C ，直线l都关于原点对称
8、，所以P Q ， 关于原点O对称，即点O是线段PQ的 中点，又 0 FP FQ ，得FP FQ ，所以| OP c ，将l： 3 yx 代入 22 22 1 xy ab ，得 22 2 22 3 ab x ba ， 22 2 22 3 3 ab y ba ，所以 22 2 | 3 ab OP c ba ，化简得 22 22 22 43 ab bc ca ，将 222 bca 代入，化简得 42 24 840 ca ca ，即 42 2 840 42 3 ee e ，又 1 e ， 所以 31 e ，故选 B 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15
9、 16 答案 1 3 3 ， 1 21 n n 3 1 e2 e ， 【解析】 13画出不等式组所表示的可行域如图 2，求出点 3 (1 1) (3 1) 2 2 ABC ， ， ， ， ， 而 2 y x 的几何意义是区 域内的点() Pxy ，与 定 点(0 2) D ， 的连线的斜率，因 为 2 DBD A y kk x ，即 12 3 3 y x ，所以 21 3 3 y x ， 14 1 11 1 1 222 1 1 22 2 n nn nn nn n aa aaa ， ，取 12 1 nn ， ， ，并进行累加，得 112 11 11 1 1 (1 ) 2 22 2 22 n nn
10、 n a an n ，即 11 1 22 22 n nn a n ，所以 n a 1 21 n n 15因为 (30 ) F ， ，由条件可设直线l： (3 ) (0 ) ykx k ， 11 22 ()() AxyDxy ， ， 将 (3 ) ykx 代入 2 43 yx ，得 22 2 2 23 ( 2 ) 3 0 kx k x k ，所以 12 3 xx ，因为 | |3 AB AF 11 33 x x ， 22 | |3 33 CD DF x x ，所以| | ABC D 12 3 xx 图 2 理科数学参考答案第 4页（共 9页） 16 () l n 1 a fx x x ，则 2
11、22 1( 2 ) 1 () (1 ) (1 ) axa x fx xx x x ，设 2 () ( 2 ) 1 gxx a x ，则 () 0 gx 有两个不等实根， 且有一根在 1 0 e ， 内， 不妨设 1 1 0 e x ， ， 12 1 xx ， 2 e x ， 故 1 0 e g ，即 2 11 (2 ) 1 0 ee a ，解得 1 e2 e a， 1 e2 e a ， 三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 解： （1）由 2 2 cos 0 2sin sin 2sin cos 0 abcB A B CB 2sin(
12、) 2sin cos sin BC CB B 2sin cos sin BCB ， sin 0 B ， 1 cos 2 C ， (0 ) C ， 3 C （5 分） （2）由（1）知， 13 sin 2 3 8 24 ABC Sa b Ca ba b ， 根据余弦定理得 22 22 2 2 2c o s ( )3 aba bCaba baba bc ， 22 ()3 2 4 1 23 6 ab a bc ， 6 ab ， 所以 ABC 的周长为623 （12分） 18 （本小题满分 12 分） 解： （1）年龄在 25 30 ， 之间的频率为 0.02 5 0.1 ， 20 0.1 n ， 2
13、0 200 0.1 n 第三组的频率为1 (0.02 0.03 0.08 0.02 0.01) 5 0.2 ， 第三组的矩形高为 0.2 0.04 5 ， 理科数学参考答案第 5页（共 9页） 补全的频率分布直方图如图 3 所示 （4 分） （2）由（1）知，在 (45 50 ， 之间的人数为 0.02 5 200 20 人，在 (50 55 ， 之间的人数为 0.01 5 200 10 人， 所以从 200人中采用分层抽样抽取 40 个人，其中 (45 50 ， 岁中有 4 人， (50 55 ， 岁中有 2 人，即在 (45 50 ， ， (50 55 ， 两组中分别有 4 人、 2 人获
14、奖，再在年龄段 (45 50 ， ， (50 55 ， 中分别采用简单随机抽样抽取 4 人和 2 人即可 （8 分） （3）由题意，随机变量X 的所有可能取值为 0，1，2， 3 4 3 6 C 41 (0 ) C2 05 PX ， 21 42 3 6 CC 12 3 (1 ) C2 05 PX ， 12 42 3 6 CC 41 (2 ) C2 05 PX ， X 的分布列为： X 0 1 2 P 1 53 51 5131 ()0 1 2 1 555 EX （12 分） 19 （本小题满分 12 分） （1）证明：PA 平面ABC ，PAB C ， 又ABB C ，PAA BA ， BC 平
15、面PAB 又BC 平面PBC ， 故平面PBC 平面PAB （4分） 图 3 理科数学参考答案第 6页（共 9页） （2）解：由（1）知BC 平面PAB ， CPB 为PC与平面PAB 所成的角， 30 CPB 在 Rt PBC 中， 2 BC ， 22 PC ， 在 Rt PAC 中， 22 22 2 PC AC AB BC ， ， 22 2 PA PC AC （6 分） 如图 4，以点B为原点建立空间直角坐标系， 则 (0 0 0) (0 2 0) BA ， ， ， ， (200 ) ( 0 22 ) CP ， ， ， ， 因为平面ABD把三棱锥P ABC 分成体积相等的两部分， P AB
16、D C ABD D ABC VVV ， 1 2 D ABC P ABC VV ， 点D到平面ABC 的距离等于点P到平面ABC的距离的一半， D是PC的中点， 22 1 22 D ， 设平面PBD的法向量为 1111 () nxyz ， ， 22 1( 0 2 2 ) 22 BD BP ， ， ， 111 1 11 1 22 0 22 220 nB D x yz nB P yz ， ， 1 (0 2 1) n ， ， 设平面ABD的法向量为 2222 () nxyz ， ， (0 2 0) BA ， ， 222 2 22 22 0 22 20 nB D x yz nB A y ， ， 2 (2
17、0 1 ) n ， ， 12 12 12 11 cos 3 33 | nn nn nn ， 由图可知二面角P BD A 的平面角为锐角， 故二面角P BD A 的余弦值为 1 3 （12分） 图 4 理科数学参考答案第 7页（共 9页） 20 （本小题满分 12 分） 解： （1）因为 2 2 2 c ae a ， ，所以 2 c ， 又 222 bac ，得 2 422 b ， 所以椭圆C： 22 1 42 xy （3分） 由直线l：yk xm 与圆O： 22 1 xy 相切，得 2 | 1 1 m k ，即 22 1 mk （6 分） （2）将yk xm 代入 22 1 42 xy ， 得
18、 22 2( ) 4 xk xm ，即 22 2 (1 2 ) 4 2 4 0 kx m k xm ， 设 11 22 ()() AxyBxy ， 则有 2 12 1 2 22 42 4 21 21 mk m xx x x kk ， ， 所以 22 12 1 2 12 1 2 () () () yyk xmk xmk x xm k xxm 22 2 2 22 2 222 (2 4) 4 4 2121 21 km m k mk m kkk （8 分） 因为 22222 12 12222 244344 2121 21 mmkmk OA OB x x y y kkk 22 22 11 2121 kk
19、 kk ( 22 1) mk 2 22 11 11 22 11 2 24 22 k kk ， 2 0 ) k ， ， （10 分） 当 2 0 k 时， 11 1 22 OA OB ；当 2 k 时， 11 0 22 OA OB ， 所以 1 1 2 OA OB ， （12 分） 21 （本小题满分 12 分） （1）解： () f x 的定义域为R， () e x mnm x fx ， 因为曲线 () yfx 在 (1 (1) f ， 处的切线为 1 e y ， 理科数学参考答案第 8页（共 9页） 所以 (1) 0 e 1 (1) ee mnm f mn f ， ， 1 0 m n ， ，
20、（3 分） 1 () () ee x x x x fx fx ， 由 () 0 fx ，得 1 x ；由 () 0 fx ，得 1 x ， 故函数 () f x 的单调递增区间为(1 ) ， ，单调递减区间为 (1 ) ， （6 分） （2）证明：由（1）知 max 1 () ( 1 ) e fx f ， 当 0 x 时， () 0 fx ；当 0 x 时， () 0 fx ， 故当 1 0 e a 时，直线ya 与 () yfx 的图象有两个交点， 1 0 e a ， （8 分） 方程 () fxa 有两个不等实根 12 x x ， 12 12 ee xx xx aa ， 12 12 ee
21、x x xaxa ， ， 12 12 (e e ) xx xxa ，即 12 12 ee x x x x a ， 要证 12 2 xx ，只需证 12 (e e ) 2 xx a ，即证 12 12 12 () ( ee ) 2 ee xx xx xx ， 不妨设 12 x x ，令 12 txx ，则 0e 1 t t ， ， 即证 (e 1) 2 e1 t t t ，即(2 ) e 20 t tt ， 令 () ( 2 ) e 2 ( 0 ) x gx x x x ， () ( 1 ) e 1 x gx x ， () e 0 x gxx ， () ( 0 ) 0 gx g ， () g x
22、 在 (0 ) ， 上为增函数， () ( 0 ) 0 gx g ， 即(2 ) e 20 x xx 成立，亦即(2 ) e 20 t tt 成立， 故 12 2 xx （12 分） 理科数学参考答案第 9页（共 9页） 22 （本小题满分 10 分） 【选修 4 4：坐标系与参数方程】 解： （1）在直线l的参数方程 3 41 x ta yt ， 中，消去参数t， 得直线l的普通方程为43430 xya （2 分） 由 22 42s i n 80 4( s i n c o s 80 4 ） ， 由极坐标与直角坐标的互化公式，得 22 4480 xyyx ， 即曲线C是圆，其直角坐标方程为 2
23、2 (2 )(2 )1 6 xy （5 分） （2）由（1）知，圆C的圆心为 (2 2) C ， ，半径为 4， 圆心C到直线l的距离 |17 4 | 5 a d ， |2 7 PQ ， |17 4 | 3 5 a d ， 解得 1 2 a 或 8 a （10 分） 23 （本小题满分 10 分） 【选修 4 5：不等式选讲】 解： （1）当 2 a 时， () 2| 1 | fxxx ， 2| 1| 2 2 2( 1 ) 2 xxxxx ， 解得40 x ， 故不等式的解集为|4 0 xx （5分） （2） “ 2 ()( ) x fxa fx a R， ”是真命题，即对任意实数x， 2 ()( ) fxafxa 恒 成立， 由 22 ()( )| 2| 2| fxafxa xa xaaa ， |2 | |2 | |(2 ) (2 )| 2| | xaxaxaxaa ， 2 2| | aaa 恒成立，解得 3 a 或 1 a ， 所以实数a的取值范围是| 3 aa 或 1 a （10 分）
