1、2019 年考试大纲解读04 导数及其应用（十七）导数及其应用1导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景.（2）理解导数的几何意义.2导数的运算（1）能根据导数定义求函数 y=C， （C 为常数） ， 的导数.（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如 f(ax+b)的复合函数）的导数.常见基本初等函数的导数公式：常用的导数运算法则： 法则 1:法则 2:法则 3:3导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. （2）了解函数
2、在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次） ；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.4生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.5定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.（2）了解微积分基本定理的含义.与 2018 年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在 2019 年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现，内容涉及导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值（最值） 、零点，证明不等式等.小题难度可大可小，大题难度偏大，且近几年导数大题
3、的第一问起点较高，应引起高度重 视.全国卷命题不回避热点和经典问题，预计压轴题仍会以极值（最值） 、零点问题，证明不等式等方式切 入.考向一 利用导数研究函数的单调性样题 1 （2018 新课标全国理科）已知函数 （1）讨论 的单调性；()fx（2）若 存在两个极值点 ，证明： ()f12,x【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1） 的定义域为 ， .()fx(0,)（i）若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 单调递减.2a 2a1x()0f()fx0,)（ii）若 ，令 得， 或 .()0fx当 时， ；()0fx当 时， .()f所以 在 单调递减，在 单调递增. ()fx设
4、函数 ，由（1）知， 在 单调递减，又 ，从而当()gx0,)(1)0g时， .(1,)x()0gx所以 ，即 .考向二 利用导数研究函数的极值问题样题 2（2017 新课标全国理科）若 是函数 的极值点，则 的极小值为2x ()fxA B1 3eC D135e【答案】A【解析】由题可得 ，因为 ，所以 ， ，故 ，(2)0f1a令 ，解得 或 ，x2x所以 在 上单调递增，在 上单调递减，()fx (2,1)所以 的极小值为 ，故选 A【名师点睛】 （1）可导函数 yf (x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f (x0)0，且在 x0 左侧与右侧 f (x)的符号不同；（2）若 f(x)
5、在(a，b) 内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值样题 3（2018 新课标全国理科）已知函数 （1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ；0a10x0fx0fx（2）若 是 的极大值点，求 xf a【答案】（1）见解析；（2） . 6【解析】（1）当 时， ， .0a设函数 ，则 .当 时， ；当 时， .故当 时， ，且仅当10x()0gx()0gx1时， ，从而 ，且仅当 时， .()f()fx所以 在 单调递增.()fx,)又 ，0故当 时， ；当 时， .1x()0fx()0fx（2） （i）若 ，由（1）知，当 时， ，这与a是
6、的极大值点矛盾.0x()f（ii）若 ，设函数 .a由于当 时， ，故 与 符号相同.()hxf又 ，故 是 的极大值点当且仅当 是 的极大值点.0x()f 0()hx.如果 ，则当 ，且 时， ，故 不是 的610a ()0hx()hx极大值点.如果 ，则 存在根 ，故当 ，且 时，610a10x1(,0)x，所以 不是 的极大值点. ()hxx()hx【答案】0【解析】 .样题 7 执行如图所示的程序框图,输出的 T 的值为 【答案】16样题 8 如图,点 A 的坐标为(1,0),点 C 的坐标为(2,4),函数 f (x)=x2.若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 【答案】 512【解析】依 题意知点 D 的坐标为(1,4), 所以矩形 ABCD 的面积 S=14=4,阴影部分的面积 S 阴影 =,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率 P= .
