1、2019 年艺体生文化课-百日突围讲练通专题七 等差数列与等比数列的基本运算等差数列的概念与运算【背一背基础知识】1等差数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d表示2等差数列的通项公式如果等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 .3等差中项如果 2bA，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项4等差数列的前 n 项和(1)公式的推导：等差数列的前 n 项和公式是用倒序相加法求得的(2)等差数列a n的前 n 项和公式：【讲一讲释疑解惑】1.必备技能：(1)等差数列的判定通常有
2、两种方法：第一种是利用定义，a na n1 d(常数)( n2)，第二种是利用等差中项，即 2ana n1 a n1 (n2)(2)解选择、填空题时，亦可用通项或前 n 项和直接判断 【练一练能力提升】（一）选择题（12*5=60 分）1若等差数列 na中， 26,a则 4（ ）A. 2 B. C. D. 或 2【答案】B【解析】 ，选 B.2 【湖南省株洲市 2019 届高三统一检测（一)】已知各项为正数的等比数列 满足 ， ，则（ ）A64 B32 C16 D4【答案】B【解析】由 得 选 B.3在明朝程大位算术统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问
3、尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2倍，共有 381盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从下往上数第四层有（ ）盏灯.A. 8 B. 1 C. 6 D. 24【答案】D【解析】设从最上层开始灯数依次设为 1a， 27, ，则此数列为等比数列，公比为 2且，故 13a，第四层为 ，选 D4 【广东省深圳实验，珠海一中等六校 2019 届高三第二次联考】等差数列 中 ，则其前 n 项和 取最大值时 n 的值为（）A503 B504 C503 或 504 D505【答案】C【解析】由于数列为等差数列，故 ，解得 ，故 ，当时，解得 ，
4、故当 或 时， 取得最大值.故选 C. 5 【2018 年文北京卷】 “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率 f， 则第八个单音频率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为 ，所以 ，又 ，则，故选 D.6 九章算术有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日
5、共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ）A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】B【解析】设第一天织布 1a尺，从第二天起每天比第一天多织 d尺由已知得： 解得 1a， d第十日所织尺数为故选 B.7 【2018 届湖北省天门、仙桃、潜江高三上学期期末】等比数列 na的前 n 项和为 nS，已知，则 1aA. 19 B. C. 3 D. 【答案】A【解析】设公比为 q,则 ，选 A. 8 【2018 届福建省漳州市高三上学期期末】等差数列 na和等比数列 nb的首项均为 1，公差与公比均为3，则 （ ）A. 64 B. 32 C. 8 D. 3
6、【答案】D【解析】依题意： 13nb则 1， 2， 39b故选 D.9 【2018 届安徽省宿州市高三上学期第一次教学质量检测】在等差数列 na中， 761，若它的前n项和 nS有最大值，则当 0nS时， 的最大值为（ ）A. 11 B. 12 C. 13 D. 14【答案】A10 【广东省中山一中等七校联合体 2019 届高三第二次（11 月)联考】 已知等差数列 的前 项和为 ， ，则使 取得最大值时 的值为( )A5 B6 C7 D8【答案】D【解析】由题意，等差数列 的前 项和为 ， ， ，根据等差数列的性质和等差数列的前 n 项和公式，可得 ， ，则 ，可求得数列的通项公式为 ，令
7、，即 ，解得 ，又由 ，可得等差数列 中，当 时， ，当 时， ，所以使 取得最大值时 的值为 8，故选 D.11 孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：五人各得几何？”其意思为：“有 5 个人分 60 个橘子，他们分得的橘子个数成公差为 3 的等差数列，问 5 人各得多少橘子.”根据这个问题，有下列 3 个说法：得到橘子最多的人所得的橘子个数是15；得到橘子最少的人所得的橘子个数是 6；得到橘子第三多的人 所得的橘子个数是 12.其中说法正确的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】由题可设这五人的橘子个数分
8、别为： ，其和为 60，故 a=6，由此可知得到橘子最少的人所得的橘子个数是 6；得到橘子第三多的人所得的橘子个数是 12 是正确的，故选 C12已知数列 na是公比为 2 的等比数列，满足 6210a，设等差数列 nb的前 项和为 nS，若972b，则 17S（ ）A. 34 B. 39 C. 51 D. 68【答案】D【解析】 由数列 na是公比为 2的等比数列，且满足 6210a，得 ，所以 ，所以 ，设数列 nb的公差为 d，则 ，故选 D.(二)填空题（3*5 =15 分）13. 【2018 年理北京卷】设 是等差数列， 且 a1=3，a2+a5=36，则 的通项公式为_【答案】【解析】14.等差数列 na的前 项和为 nS，若 452a， 648S，则 na的公差为_【答案】4【解析】 ，即 3416a， ，即，解得 4d故答案为：4.15已知 na为等差数列， nS为其前 项和，若 ，当 nS取最大值时， _【答案】3 或 4【解析】由 16a， 350a可知等差数列是递减数列，且 40a， 3， 50a所以当 nS取最大值时 或 4.学-科网16.已知数列 a是递增的等比数列， ，则数列 na的前 项和等于 .【答案】 21n
