1、20182019 学年第一学期末考试试卷高二数学(理科)一:选择题。1.设集合 ，集合 ，则 （ ）A=x|x2x21故选：B10.若直线 过点(1,1)，则 的最小值为（ ）xa+yb=1(a0,b0) 4a+bA. 6 B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】因为直线 过点 ,所以 ,因此 xa+yb=1(a0,b0) (1,1) 1a+1b=1 4a+b,当且仅当 时取等号,所以选 C.(4a+b)(1a+1b)=5+ba+4ab5+2ba4ab=9 b=2a=3点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、
2、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11.方程 表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）x2m2+ y2m+3=1A. 3 m0 B. 3 m2C. 3 m4 D. 1 m3【答案】A【解析】由题意知， ，则 C，D 均不正确，而 B 为充要条件，不合题意，(m2)(m+3)0,b0) E F x的直线与双曲线交于 两点,若 是钝角,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )A,B AEBA. B. C. D. (1+ 2,+) (1,1+ 2) (2,+) (2,1+ 2)【答案】C【解析】试题分析：由题意，得 为双曲线的通径，其长度为
3、，因为 ,所以 ；则 ,即 ，即 ，即 ，解得.考点：双曲线的几何性质.二、填空题.13.命题“ ”的否定为_x0,1xlnx0【答案】 ，x001x0lnx00【解析】因为 的否定为 ，x,p x,p所以命题“ ”的否定为 ，x0,1x-lnx0 x00 1x0-lnx0014.已知 , ,且 ,则 _.a=(2,2,3) b=(4,2,x) ab |b|=【答案】6【解析】【分析】由 可得 ，可得 ，再由坐标表示模长即可得解.ab ab=0 x【详解】由 , ,且 ,a=(2,-2,3) b=(-4,2,x) ab可得 ，解得 .所以 .ab=-8-4+3x=0 x=4 b=(-4,2,4
4、)所以 .|b|= (-4)2+22+42=6故答案为：6.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的坐标表示及模长公式，属于基础题.15.已知直线过抛物线 的焦点，且与 的对称轴垂直，与 交于 ， 两点， ， 为 的C C C A B |AB|=12P C准线上的一点，则 的面积为_ABP【答案】36【解析】分析：可由 得出 ，从而可得抛物线方程，抛物线的准线方程，因此 的 边上|AB|=12 p ABP AB的高易得.详解：不妨设抛物线方程为 ， ， ，准线方程为 ， 到直线y2=2px |AB|=2p=12p=6 x=3 P的距离为 6， .AB SABP=12126=36故答案为 36.
5、点睛：过抛物线的焦点与对称轴垂直的弦是抛物线的通径，通径长为 .2p16.设 , 是双曲线 : 的两个焦点, 是 上一点,若 ,且F1F2 Cx2a2y2b2=1(a0,b0) P C |PF1|+|PF2|=6a的最小内角为 ,则 的离心率为_.PF1F2 30 C【答案】 3【解析】不妨设 F1，F 2 分别为双曲线的左、右焦点，点 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|PF 2|2a，又|PF 1|PF 2|6a，求得|PF 1|4a，|PF 2|2a.又在PF 1F2 中，PF 1F230 ，所以 PF2F190，求得|F 1F2|2 a，故双曲线 C 的离心率3e .23a
6、2a 3【此处有视频，请去附件查看】三、解答题.17.等比数列 中, , .an a1=2a4=16（1）求数列 的通项公式;an（2）若 分别为等差数列 的第 项和第 项,试求数列 的前项和 .a3,a5 bn 4 16 bn Sn【答案】 （1） ；（2） .an=2n Sn=n2+n【解析】试题分析：（）设 的公比为 ，由等比数列的通项公式，可得公比 ，即可得到所求通项an q q公式。 （）运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和首项，再由等差数列得求和公式，计算即可得到所求和。试题解析：（）设 的公比为 ，由已知得 ，解得 .an q 16=2q3 q=2又 ，所以 .a1
7、=2 an=a1qn-1=22n-1=2n（）由（）得 ， ，则 ， .a2=8 a5=32 b4=8 b16=32设 的公差为 ，则有 解得bn d b1+3d=8，b1+15d=32， b1=2,d=2. 则数列 的前 项和 .bn n Sn=nb1+n(n-1)2 d=2n+n(n-1)2 2=n2+n18.在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a， b， c，已知 2bcosC=acosC+ccosA（1）求角 C 的大小；（2）若 b=2， c= ，求 a 及ABC 的面积7【答案】 （1）C= ；（2） .3 332【解析】【分析】（1）利用正弦定理将变换为角得 cosC=
8、 ，从而得解；12（2）由余弦定理可得 a 的值，进而利用面积公式即可得解.【详解】 （1）2bcosC=acosC+ccosA，由正弦定理可得：2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC，可得：2sinBcosC=sin（A+C）=sinB，sinB0，cosC= ，12C（0， ） ，C=3（2）b=2，c= ，C= ，23由余弦定理可得：7=a 2+42a ，整理可得：a 22a3=0，212解得：a=3 或1（舍去） ，ABC 的面积 S= absinC=12 123232=332【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用及面积公式，属于基础题.19.三棱柱 ABC- 中，侧棱
9、与底面垂直， ，AB=BC=B =2，M,N 分别是 AB，A1B1C1 ABC=90 B1的中点A1C（1）求证：MN 平面 ； A1B1C（2）求二面角 M- 的余弦值B1C-A【答案】 （1）见证明；（2）33【解析】【分析】（1）以 B1为原点建立空间直角坐标系，求出面平面 A1B1C1的法向量,由 即可证得；n=NM（2）求得平面 MB1C 的法向量为 ，利用法向量夹角的余弦值可求二面角的余弦值.m【详解】 （1）如图，以 B1为原点建立空间直角坐标系 B1-xyz则 B1(0,0,0),C(0,2,2,),A1(-2,0,0),M(-1,0,2),N(-1,1,1),.B1C=(0
10、,2,2),A1B1=(2,0,0),NM=(0,-1,1)设平面 A1B1C1的法向量为 n=(x,y,z).nB1C=0nA1B1=0 x=0y=-z 令 ，则 .z=1 x=0,y=-1,n=(0,-1,1)， 平面 A1B1Cn=NMMN（2）平面 MB1C 的法向量为 m=(x0,y0,z0).mB1C=0mB1M=0 x0=2z0y0=-z0 令 ，z0=1,则 x0=2,y0=-1,m=(2,-1,1)，cosm,n=nm|n|m|= 226=33所求二面角 MB1CA1的余弦值为33【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直和求二面角，属于基础题.20.已知抛物线的顶点在原
11、点,过点 A(-4,4)且焦点在 x 轴.（1）求抛物线方程;（2）直线 l 过定点 B(-1,0)与该抛物线相交所得弦长为 8,求直线 l 的方程.【答案】 （1） （2）y2=4x y=x+1,y=x1【解析】分析：（1）可先设出抛物线的方程： ，然后代入点计算即可；（2）已知弦长所以要先分析斜率存在与不存在的情况， ）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l：x=-1 验证即可，当直线 l 的斜率存在时，设斜率为 k，直线为联立方程根据弦长公式求解即可.详解：（1）设抛物线方程为 抛物线过点，得 p=2则（2）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l：x=-1与抛物线交于 、 ，弦长为 4，不合
12、题意当直线 l 的斜率存在时，设斜率为 k，直线为消 y 得弦长= 解得 得所以直线 l 方程为 或点睛：考查抛物线的定义和标准方程，以及直线与抛物线的弦长公式的应用，注意讨论是解题容易漏的地方，属于基础题.21.已知函数 ,f(x)=x2(a+1a)x+1a0（1）比较与 的大小;1a（2）解关于 的不等式 .x f(x)0【答案】(1)见解析 (2) 见解析【解析】【分析】（1）通过作差和 0 比即可得解；（2）由 ，分别讨论与 的大小，利用一元二次不等式的解法即可得解.(x-1a)(x-a)0 1a【详解】 （1） 且a-1a=(a+1)(a-1)a a0当 时, 0a当 时, a11a
13、a x|ax1a当 时,有 ,不等式的解集为 ;a11aa x|1axa当 时,不等式的解集为 .a=1 x1【点睛】本题主要考查了含参的一元二次不等式的求解，重点考查了学生的分类讨论思想，属于基础题.22.已知双曲线 的离心率为 ，右准线方程为C:x2a2y2b2=1(a0,b0) 3 x=33（）求双曲线 的方程；C（）已知直线 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点在圆xy+m=0上，求 m 的值.x2+y2=5【答案】a=16,(1,3)【解析】试题分析：（1）因为双曲线 的离心率为 ，右准线方程为 ，所以C:x2a2y2b2=1(a0,b0) 3 x=33，所以
14、，ca= 3， a2c=33,又 a2+b2=c2 a2=1,b2=2所以双曲线 C 的方程为 6 分（2 ）由 ，得 ，设 ，x2y22=1xy+m=0 x22mxm22=0 A(x1,y1),B(x2,y2)则 ，所以 ，所以 ，x1+x2=2m,x1x2=m2+2 y1+y2=x1+x2+2m=4m x0=x1+x22 =m,y0=y1+y22 =2m因为线段 AB 的中点在圆 上，所以代入得 6 分x2+y2=5考点：双曲线的简单性质；双曲线的标准方程；直线与双曲线的综合应用。点评：圆锥曲线与直线的综合应用，是考试中常考的内容。在解题时要注意双曲线性质的灵活应用，还有注意别出现计算错误。属于中档题型。【此处有视频，请去附件查看】
