1、甘肃省靖远县 2017-2018 学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 A1，3，B3，5，则 AB（ ）A. 3 B. 1，5 C. 5 D. 1，3，5【答案】A【解析】【分析】直接利用交集运算得答案【详解】集合 A1，3，B3，5，AB3故选：A【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.下列四组直线中，互相平行的是（ ）A. 与 B. 与x+y1=0 xy1=0 xy+1=0 y=x+1C. 与 D. 与x+2y1=0 xy1=0 x+2y=0 2x+4y3=0【答案】D【解析】由两直线平行的充要条件，可
2、知 A 选项两直线垂直：B 选项两直线重合，C 选项两直线相交： D 选项两直线平行故选 D3.圆 x2+4x+y2=0 的圆心和半径分别为（ ）A. ，4 B. ，4 C. ，2 D. ，2(-2,0) (2,0) (-2,0) (2,0)【答案】C【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程，即可得到答案。【详解】圆的方程可化为 ，可知圆心为 ，半径为 2.(x+2)2+y2=4 (-2,0)故答案为 C.【点睛】本题考查了圆的方程，圆的半径及圆心坐标，属于基础题。4.在空间中，下列命题错误的是（ ）A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B. 如果两个平面垂直于同一个平面，那么这
3、两个平面可能互相垂直C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D. 不共线的三个点确定一个平面【答案】A【解析】【分析】对于选项 A，这两条直线可能异面，也可能相交，不一定平行；选项 B 成立，比如正方体的两个相邻面与底面；选项 C 和 D，根据公理可以知道一定正确。【详解】对于选项 A，如果两条直线垂直于同一条直线，这两条直线可能异面，也可能相交，不一定平行,故 A 错误；对于选项 B，如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面可能互相垂直，是正确的，比如正方体的两个相邻面与底面；对于选项 C 和 D，根据公理可以知道一定正确；所以答案为 A.【点睛】本题考查了点线面的性质及它们之间
4、的关系，属于基础题。5.下列各函数在其定义域内为增函数的是（ ）A. B. C. D. y=-4x y=log 12(4-x) y=1-2x2 y=-x3【答案】B【解析】【分析】对选项逐个讨论单调性，即可选出答案。【详解】对于选项 A，函数 在区间 和 上都是单调递增函数，但是在y=-4x (0，+) (-，0)定义域上不是增函数，故 A 错误；对于选项 B，函数 ，定义域为 ，由y=log 12(4-x) (-，4)复合函数的单调性可知，该函数是定义域上的单调递增函数，故 B 正确；对于选项 C，二次函数 在定义域上有增有减，在定义域上不是增函数，故 C 错误；对选项 D，由y=1-2x2
5、幂函数的性质可知，函数 在定义域上单调递减，故不满足题意。y=-x3【点睛】本题考查了函数的单调性，属于基础题。6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】从题设所提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是底面分别是矩形与梯形且等高的两个棱柱的组合体， ，应选答案 C。V=(11+1+22 1)2=57.若 =8，y=log 217，z=（ ） -1，则（ ）x32 27A. B. C. D. xyz zxy yzx yxz【答案】D【解析】【分析】先求出 ，然后通过对数函数的性质可知 ，而 ，即可选出答案。x=4 lo
6、g2174 z=(27)-1=72log216=4，z=(27)-1=72xz【点睛】本题考查了指数幂的运算及对数的性质，属于基础题。8.如图，在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，F、G 分别为C1D1、BC 1 上一点，C 1F=1，且 FG平面 ACE，则 BG=（ ）A. B. 4 C. D. 22 32 25【答案】C【解析】【分析】根据题意，连接 BD，与 AC 交于点 O，连接 EO，分析可得 EO 为BDD 1 的中位线，进而可得 BD1平面 ACE，由线面平行的性质可得 BD1FG ，由平行线定理分析可得答案【详解】根据题意，连接 B
7、D，与 AC 交于点 O，连接 EO，在BDD 1 中， O 为 BD 的中点，则 EO 为BDD 1 的中位线，则 BD1EO ，而 BD1平面 ACE，而 EO平面 ACE，则 BD1平面 ACE，又由 FG平面 ACE，FG 与 BD1 共面则 BD1FG ，又由 C1F=1，且 C1D1=4，则 ，则 C1G= ，C1GBC1=14 2则 BG=BC1-C1G= ，32故选：C【点睛】本题考查线面平行的性质以及应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题9.已知直线 l：y =kx+2（k R） ，圆 M：（x-1 ） 2+y2=6，圆 N：x 2+（y +1） 2=9，则（ ）A. l 必
8、与圆 M 相切，l 不可能与圆 N 相交B. l 必与圆 M 相交，l 不可能与圆 N 相切C. l 必与圆 M 相切，l 不可能与圆 N 相切D. l 必与圆 M 相交，l 不可能与圆 N 相离【答案】D【解析】【分析】直线 l：y=kx+2（k R）过点（0，2） ， （0，2）在圆 M：（x-1） 2+y2=6 内， （0，2）在圆N：x 2+（y+1） 2=9 上，由此得到 l 必与圆 M 相交，l 不可能与圆 N 相离。【详解】直线 l：y =kx+2（k R ）过点（0，2） ， （0，2）在圆 M：（x-1） 2+y2=6 内， 直线 l 必与圆 M 相交， （0，2）在圆 N：
9、x 2+（y +1） 2=9 上， l 不可能与圆 N 相离 故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查直线、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题。10.函数 f（x） = +1 的大致图象为（ ）log2x8x2-4A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断函数为偶函数，再求出当 0x1 时，f （x）1，故排除 A，B，C.【详解】f（-x ）= f（x） ， 函数为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故排除 B，C， 当 0x1 时，log 2x80，x 2-40，f（x ）1，故排除 A， 故选：D【点睛】本题
10、考查了函数的图象的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值的变化趋势，属于基础题。11.若函数 f（x ）=log 2（x 2-2x+a）的最小值为 4，则 a=（ ）A. 16 B. 17 C. 32 D. 33【答案】B【解析】【分析】由对数函数的单调性可得 y= x2-2x+a 的最小值为 16，配方即可得到所求最小值，解方程可得 a【详解】函数 f（x ）=log 2（x 2-2x+a）的最小值为 4， 可得 y= x2-2x+a 的最小值为 16， 由 y=（x-1） 2+a-1， 可得 a-1=16，即 a=17， 故选：B【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意转化为二次函数的最值，考
11、查运算能力，属于基础题。12.光线沿直线 射入，遇直线 后反射，且反射光线所在的直线经过抛物l:3x4y+5=0 l:y=m线 的顶点，则 （ ）y=x22x+5 m=A. 3 B. C. 4 D. 3 4【答案】A【解析】易知 与 都经过点 ，根据对称性可得反射光线所在直线的斜l1:3x4y+5=0 l:y=m (4m53,m)率与 互为相反数，则可设反射光线所在直线的方程为 ，代入点 ，得l1 3x+4y+t=0 (4m53,m)，又抛物线 的顶点为 ，得3x+4y+58m=0 y=x2-2x+5 (4,1)31+44+58m=0,m=3选 A二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0
12、分）13.直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的_倍.y=33x y=33x【答案】5【解析】直线 的斜率为 倾斜角是 ，直线 的斜率为 倾斜角是 ，y=-33x 33 150 y=33 33 30故直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的 5 倍.y=-33x y=33x即答案为 5 【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，利用直线 l 的斜率求出直线的倾斜角，是解题的关键14.直线 3x-4y+5=0 被圆 x2+y2=7 截得的弦长为_【答案】2 6【解析】【分析】先求圆心到直线的距离，再用勾股定理可得弦长。【详解】圆心（0，0）到直线 3x-4y+5=0 的距离为 =1，|5|32+42所求距离为
13、 27-1=26故答案为： .26【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，属中档题。15.若函数 f（x ）= 是在 R 上的减函数，则 a 的取值范围是_(a-1)x+2,x1-5-2lgx,x1 【答案】-6，1）【解析】【分析】根据一次函数以及对数函数的性质得到关于 a 的不等式组，解出即可。【详解】由题意得： ，a-10 由 2x1 得，x0；A=-6 ，2） ， B=（0，+） ；AB=-6，+） ；（2）AB =（0，2） ；集合x| ax a+1是 AB 的子集； ；a0a+12 解得 0a1；a 的取值范围是0，1【点睛】本题考查指数函数的单调性，函数定义域的求法，子集的定义，以
14、及交集、并集的运算。18.（1）设直线 l 过点（2，3 ）且与直线 2x+y+1=0 垂直，l 与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点，求|AB|；（2）求过点 A（4，-1）且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线 l 的方程【答案】 （1）2 ； （2）x +4y=0 或 x+y-3=05【解析】【分析】（1）由题意知直线 l 的斜率为 ，设 l 的方程为 x-2y+c=0，代入（2，3）可得 c=4，即可求12出 A，B 的坐标即可求出|AB|； （2）分类讨论：直线过原点时和直线不过原点，分别求出即可。【详解】 （1）由题意知直线 l 的斜率为 ，设 l 的方程为 x-2y+c=0
15、，代入（2，3）可得12c=4，则 x-2y+4=0，令 x=0，得 y=2，令 y=0，得 x=-4，A（-4，0） ， B（0，2） ，则|AB|= =2 ；16+4 5（2）当直线不过原点时，设直线 l 的方程为 x+y=c，代入（4，-1）可得 c=3，此时方程为x+y-3=0，当直线过原点时，此时方程为 x+4y=0【点睛】本题考查直线的方程，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答。19.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD 底面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，E 为 PC 的中点，且 PD=AD=12AB=4（1）过点 A 作一条射线 AG，使得 AGBD，求证：平面 PAG平
16、面 BDE；（2）若点 F 为线段 PC 上一点，且 DF平面 PBC，求四棱锥 F-ABCD 的体积【答案】 （1）见解析； （2） .51215【解析】【分析】（1）在矩形 ABCD 中，连结 AC 和 BD 交于点 O，连接 OE，则 O 是 AC 的中点，从而OEPA，进而 PA平面 BDE，由 AGBD ，得 AG平面 BDE，由此能证明平面 PAG平面 BDE （2）由 DFPC，过 F 作 FKPD ，交 CD 于 K，则 FK底面 ABCD，由此能求出四棱锥F-ABCD 的体积。【详解】证明：（1）在矩形 ABCD 中，连结 AC 和 BD 交于点 O，连接 OE，则 O 是
17、AC 的中点，E 是 PC 的中点，OE 是PAC 的中位线，OE PA，又 OE平面 BDE，PA 平面 BDE，PA平面 BDE，又 AGBD ，同理得 AG平面 BDE，PAAG =A， 平面 PAG平面 BDE（2）DF平面 PBC，DFPC在 RtPDC 中，PD=4，CD=8， ，PC=45DF= = ，FC= = ， = ，4845 855 CD2-DF21655 FCPC45过 F 作 FKPD，交 CD 于 K，则 FK= ，454=165PD底面 ABCD，FK底面 ABCD， VF-ABCD=1316548=51215【点睛】本题考查面面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法
18、，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养。20.已知函数 f（x ）=x 3+ex-e-x（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数的单调性（不需要证明） ；（3）求不等式 f（2 x-1）+f（-3）0 的解集【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3） （-，-2）.【解析】【分析】（1）根据题意，由函数的解析式分析可得 f（-x）=-f （x） ，结合函数奇偶性的定义分析可得答案； （2）由函数的解析式结合常见函数的单调性，分析易得结论； （3）根据题意，由（1） （2）的结论，可以将原不等式转化为 2x-13，解不等式即可得到答案。【详解】解：（1）根据题意
19、，函数 f（x ）=x 3+ex-e-x，定义域为 ，R则 f（-x ）= （-x） 3+e-x-ex=-（ x3+ex-e-x）=-f（x） ，则函数 f（x）为奇函数；（2）f（x）=x 3+ex-e-x 在 R 上为增函数；（3）由（1） （2）的结论，f（x ）=x 3+ex-e-x 是奇函数且在 R 上为增函数；f（2 x-1）+f（-3）0 f（2 x-1）-f（-3）f（2 x-1）f （ 3）2 x-13，解可得 x2，即不等式的解集为（-，-2） 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的证明与应用， （3）中注意分析得到关于 x 的不等式，属于基础题。21.已知圆心在 轴上的圆
20、 与直线 切于点 .x C l:4x+3y6=0 M(35,65)（1）求圆 的标准方程；C（2）已知 ，经过原点，且斜率为正数的直线 与圆 交于 两点.N(2,1) L C P(x1,y1),Q(x2,y2)（）求证： 为定值；1x1+1x2（）求 的最大值.|PN|2+|QN|2【答案】 （1） ;（2） （）见解析;（） .(x+1)2+y2=4 210+22【解析】试题分析：（1）由题意可知， ，解得 ，可求得半径,得圆的方程.kCMkl=-1 a=-1（2） （i）设直线 l 的方程为 ，与圆的方程联立，可得 ，利y=kx(k0) (1+k2)x2+2x-3=0用韦达定理即可证明；
21、（ii）表示 |PN|2+|QN|2=(1+k2)(x21+x22)-(4+2k)(x1+x2)+10再求最值即可.=4 1k+3+10k+3-6+16试题解析：（1）设圆心 的坐标为 ，则 ，又 ，C (a,0)kCM= 6535-a kl=-43由题意可知， ，则 ，kCMkl=-1 a=-1故 ，所以 ，即半径 .C(-1,0) |CM|=2 r=2故圆 的标准方程为 .C (x+1)2+y2=4（2）设直线 的方程为 ，L y=kx(k0)由 得： ，(x+y2=4y=kx (1+k2)x2+2x-3=0所以 ， .x1+x2=-21+k2 x1x2=- 31+k2（） 为定值，1x1
22、+1x2=x1+x2x1x2=23（） |PN|2+|QN|2=(x1-2)2+(y1-1)2+(x2-2)2+(y2-1)2=x21-4x1+4+y21-2y1+1+x22-4x2+4+y22-2y2+1=(1+k2)(x21+x22)-(4+2k)(x1+x2)+10=(1+k2)(x1+x2)2-2(1+k2)x1x2-(4+2k)(x1+x2)+10=12+4k1+k2+16=4 1k+3+10k+3-6+16210+22（当且仅当 ，即 时等号成立）k+3=10k+3 k= 10-3故 的最大值为 .|PN|2+|QN|2 210+22点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用
23、方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用22.设函数 f（x ） 的图象经过点（2， ） ， ） =(12)x+m -14 h（x）=ax2-2x（1a1（1）若 f（x）与 h（x）有相同的零点，求 a 的值；（2）若函数 f（x ）在-2 ，0上的最大值等于 h（x）在1，2上的最小值，求 a 的值【答案】 （1）a=2； （2）a= .112【解析】【分析】（1
24、）由题意可得 f（2）= ，解得 m，由零点定义，即可得到所求值；-14（2）运用指数函数的单调性可得 f（x ）的最大值，讨论二次函数的对称轴和区间的关系，解方程即可得到所求值。【详解】 （1）由题意可得 f（ 2）=m+ =- ，14 14即有 m=- ，即 f（x ）= - ，12 (12)x12由 f（x）=0，可得 x=1，由题意可得 h（1）=a-2=0，即 a=2；（2）函数 f（x ）在-2 ，0上递减，可得 f（x）的最大值为 f（-2）=4+m= ，72若函数 f（x）在 -2，0上的最大值等于 h（x）在1，2上的最小值，由 h（x）的对称轴为 x= ，1a当 a0 时，由 1 可得 a1，即有 h（x）在1，2递增，1a可得 h（x）的最小值为 h（1）=a-2，由 a-2= ，解得 a= ；72 112当 a0 时，h（x）在1 ，2递减，即有 h（x ）的最小值为 h（2）=4a-8，由 4a-8= ，解得 a= ，又 a0，不符题意72 158综上可得 a= 112【点睛】本题考查函数的零点求法，考查指数函数的单调性和二次函数的最值求法，注意运用分类讨论思想，属于中档题。
