1、兰州一中 2018-2019-1 学期高二年级期末考试试题数学（文）说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆 上一点 到一个焦点的距离为 4，则点 到另一个焦点的距离为( )x225+y2=1 P PA. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义可知 ，即可得到椭圆上一点 到一个焦点的距离为 4，|PF1|+|PF2|=2a=10 P点 到另一个焦点的距离，得
2、到答案.P【详解】由椭圆的方程 ，可得 ，x225+y2=1 a=5又由椭圆的定义可知 |PF1|+|PF2|=2a=10所以椭圆上一点 到一个焦点的距离为 4，则点 到另一个焦点的距离为 ，P P 104=6故选 B.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的定义的转化是解答本题点关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.2.已知函数 ， ，其中为实数， 为 的导函数.若 ，则的f(x)=2axlnx x(0,+) f(x) f(x) f(1)=4值为( )A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】C【解析】【分析】由题意，求
3、得函数的导数 ，根据 ，即可求解 .f(x)=2alnx+2a f(1)=4【详解】由题意，函数 ， ，可得 ，f(x)=2axlnx x(0,+) f(x)=2alnx+2a又由 ，即 ，解得 ，故选 C.f(1)=4 f(1)=2aln1+2a=2a=4 a=2【点睛】本题主要考查了导数的运算及应用，其中解答中熟记导数的运算公式，准确求解函数的导数是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.王昌龄从军行中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还” ，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不
4、必要条件【答案】A【解析】【分析】根据必要不充分条件的判定方法，即可作差判定，得到答案.【详解】由题意可知， “攻破楼兰”不一定“返回家乡” ，但“返回家乡”一定是“攻破流量” ，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件，故选 A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义及判定，其中解答中熟记充分条件和必要条件的定义，合理、准确盘判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4.若抛物线 的焦点坐标是 ，则等于( )y=ax2 (0,2)A. 4 B. C. 8 D. 14 18【答案】D【解析】【分析】由抛物线的方程 ，可知 ，则 ，所以其焦点坐标为 ，列出方
5、程即可求y=ax2 x2=1ay p=12a (0,14a)解.【详解】由抛物线的方程 ，可知 ，则 ，所以其焦点坐标为 ，y=ax2 x2=1ay p=12a (0,14a)又因为抛物线的焦点坐标为 ，即 ，故选 D.(0,2)14a=2a=18【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答熟记抛物线的方程的形式和简单的几何性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5. 是过抛物线 焦点的弦，且 ,则线段 的中点横坐标为( )AB y2=4x |AB|=10 ABA. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】由抛物线的焦
6、点弦的行贿，即可求的线段 AB 的中点的横坐标，得到答案.【详解】因为抛物线 ，可得 ，y2=4x p=2设 ，A(x1,y1),B(x2,y2)因为直线 AB 过抛物线的焦点，根据抛物线的焦点弦的性质可得 ，|AB|=x1+x2+2=10即 ，所以 AB 的中点的横坐标为 ，故选 A.x1+x2=8x1+x22 =4【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的焦点弦的性质，合理应用是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.已知某生产厂家的年利润 （单位：万元）与年产量 （单位：万件）的函数关系式为y x，则该生产厂家获取的最大年利润
7、为 ( )y=13x3+81x286A. 300 万元 B. 252 万元 C. 200 万元 D. 128 万元【答案】C【解析】【分析】求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案.【详解】由题意，函数 ，所以 ，y=13x3+81x286 y=x2+81当 时， ，函数 为单调递增函数；00 f(x)当 时， ，函数 为单调递减函数，x9 y0 x2+2xm=0D. 命题 “存在 ，使得 ”的否定为“任意 ，都有 ”.x0R x02+x0+10有实根是正确；x2+2xm=0对于 D 中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题“存在 ，使得x0R”的否定为“任意
8、，都有 ”是正确的.x02+x0+10 a1 f(x)0 f(x)当 时， ，此时函数 为单调减函数，20,n0,mn) y=x+1 A,B AB点的直线斜率为 ，则 的值为 ( )32 nmA. B. C. D. 32 233 34 3【答案】B【解析】【分析】把直线 代入椭圆 中，利用根于系数的关键，求得 M 的坐标，再利用y=x+1 mx2+ny2=1斜率公式，即可求解.【详解】把直线 代入椭圆 中，得 ,y=x+1 mx2+ny2=1 (m+n)x22nx+n+1=0设 的坐标为 ，A,B (x1,y1),(x2,y2)则有 ，x1+x2=2nm+n,y1+y2=1x1+1x2=2(x
9、1+x2)=2mm+n所以点 M 的坐标为 ，所以 OM 的斜率为 ，(nm+n, mm+n) k=mm+nnm+n=mn=32所以 ，故选 B.nm=233【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，其中此类问题的解答中用直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程根与系数的关系，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.12.定义在 上的函数 满足： ，则不等式 (其中为自然对数R f(x) f(x)+f(x)0,f(0)=4 exf(x)4的底数)的解集为( )A. B. (3,+) (,0)(3,+)C. D. (,0)(0,+) (0,+)【答案】D【解析】【
10、分析】设 ，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于 x 的不等式，即可求解.g(x)=exf(x)【详解】设 g(x)e xf(x) (xR)，则 (x)e xf(x)e xf(x)e xf(x)f(x)，g因为 f(x)f(x)0，所以 (x)0，所以 g(x)在定义域上单调递增，g因为 exf(x) 4，所以 g(x)4.又因为 g(0)e 0f(0)4，所以 g(x)g(0)，所以 x0.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方
11、程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.有一机器人的运动方程为 (是时间，是位移)，则该机器人在时刻 时的瞬s(t)=t2+1t t=1时速度为_.【答案】1【解析】【分析】根据题意，对 进行求导，然后代入即可得到答案.s(t)=t2+1t【详解】由题意知 ，则 ，s(t)=t2+1t s(t)=2t1t2当 时， ，即该机器人在 是的瞬时速度为 1.t=1 v=s(1)=211
12、12=1 t=1【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，函数的瞬时变化率的应用去，其中极大中正确理解瞬时变化率的概念，以及求出函数的导数，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14.若函数 的导函数为 ,则 =_.f(x)=sinxx f(x) f()【答案】 1【解析】【分析】由题意，求得函数导数为 ，即可求解 的值.f(x)=cosxxsinxx2 f()【详解】由题意，函数 的导数为 ，f(x)=sinxx f(x)=cosxxsinxx2所以 .f()=cossin2 =2=1【点睛】本题主要考查了导数的运算与求值问题，其中解答中熟记导数的运算法则，准确求出函数的导
13、数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.15.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖” ，乙说“甲、丙都未获奖” ，丙说”我获奖了” ，丁说“是乙获奖”.已知四位歌手有且只有一位说了假话，则获奖的歌手是_.【答案】乙【解析】【分析】根据乙丙；的说法是相互矛盾的，得出乙与丙说法一对一错，唉根据甲、丁的说法都准确，推出获奖的歌手是乙即可.【详解】由题意，乙与丙的说法是相互矛盾的，所以乙与丙的说法中一对一错，又甲说：“是乙或丙获奖” ，是正确；丁说“是乙获奖”是正确，由此可知获奖的歌手是一，且乙说的也对.【点睛】本题主要考查了简单的合
14、情推理的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用合情推理进行，逐一判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.16.已知 是双曲线 的右顶点，过左焦点 与 轴平行的直线交双曲线A C:x2a2y2b2=1(a0,b0) F y、 两点，若 是等腰直角三角形，则双曲线 的离心率为_.C于 PQ APQ C【答案】2【解析】【分析】求出各点的坐标，根据 是等腰直角三角形， 轴得出 的关系，即可求解离心率.APQ PF/y a,c【详解】由题意，A 是双曲线 的右顶点，C:x2a2y2b2=1(a0,b0)所以 ，所以 ，解得 ，所以 ，A(a,0),F(c,0)c2a2y2b2=1 y=
15、b2a P(c,b2a)所以 ，|PF|=b2a因为 是等腰直角三角形， 轴，所以 ，所以 ，APQ PF/y |PF|=|AF|b2a=a+c所以 ，即 ，所以 ，b2=a2+ac c22a2ac=0 e2e2=0解得 或 （舍去） ，故选 .e=2 e=1 e=2【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，以及离心率的求解问题，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理应用题设条件得到 的关系式是求解的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题 .a,c三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)若椭圆的中心在原点，坐标
16、轴为对称轴，且经过两点 ，( ， )，求椭圆方程.(32,52) 3 5(2)已知双曲线 与圆 .若双曲线 的焦距为 ，它的两C:x2a2y2b2=1(a0,b0) M:x2+(y5)2=9 C 10条渐近线恰好与圆 相切，求双曲线 的方程.M C【答案】(1) (2)y210+x26=1 x29-y216=1【解析】【分析】(1)设椭圆方程为 mx2ny 21，代入点的坐标，列出方程组，求得 的值，即可得到椭圆m,n的方程；(2)由渐近线方程为 bxay0 且 a2b 225，又圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离，利用点到直线的距离公式，求得 的值，即可得到双曲线的方程.a,b【详解】(1
17、)设椭圆方程为 mx2ny 21(m，n0，mn). 由 ，解得 ， ，所以椭圆的方程为 .94m+254n=13m+5n=1 m=16 n=110 y210+x26=1(2)由 ，知 .渐近线方程为 bxay0 且 a2b 225，又圆心 M(0,5)到两条渐2c=10 c=5近线的距离为 r3. ，得 a3，b4，|5a|b2+a2=3双曲线 的方程为 .Cx29-y216=1【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及双曲线的标准方程的求解，其中解答中熟记圆锥曲线的几何性质，合理求解 得值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基a,b础题.18.设命题 ：实数 满足 (其中 )，命题 ：
18、实数 满足p x x25ax+4a20 q xx5x20.(1)若 ，且 为真命题，求实数 的取值范围.a=1 pq x(2)若 是 的必要不充分条件，求实数的取值范围.q p【答案】(1) ；(2)(2,4) (54,2【解析】【分析】(1)当 a1 时，解得 10，Ax|a5，解得 0 且 0，存在 x1(4，2)，c3227x2 ，x 3 ，使得 f(x1)f(x 2)f(x 3)0.由 f(x)的单调性知，当且仅当 c(2,23) (23,0)时，函数 f(x)x 34x 2 4xc 有三个不同零点.(0,3227)【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性与极
19、值的应用，其中解答中熟记导数的几何意义求解在某点处的切线方程的方法，以及合理利用导数判定函数的单调性和求解函数的极值是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.20.已知椭圆 的中心在坐标原点，左焦点为 ，点 在椭圆 上 C F1(3,0) M( 3,12) C(1)求椭圆 的标准方程.C(2)过点 的直线交椭圆 于两个不同的点 、 ， ，求直线 的方程P(1,0) C AB|AB|=825 AB【答案】(1) (2) x y10 或 x y10x24+y2=1【解析】【分析】(1)由椭圆的定义知|MF 1|+|MF2|=2a，求得 ，进而求得 ，即可得到椭圆的方程；a=2 b=1
20、(2)由题可设直线 AB 的方程为 xmy1，与椭圆的方程联立方程组，利用弦长公式得到关于 m 的方程，求得 m 的值，即可得到所求直线的方程.【详解】(1)设椭圆 C 的方程为 ，因为椭圆的左焦点为 F1( ，0)，x2a2+y2b2=1(ab0) 3设椭圆的右焦点为 F2( ，0),由椭圆的定义知|MF 1|+|MF2|=2a，所以 2a=4，所以 a=2，3从而 b=1，所以椭圆 C 的方程为 x24+y2=1(2)记 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由题可设直线 AB 的方程为 xmy1由 消去 x 得(4m 2)y22my 30，x2+4y2=4x=my+1所以 ，则 ，y
21、1+y2=2m4+m2,y1y2= 34+m2 |AB|= 1+m2 4m2(4+m2)2+ 124+m2=825化简得 解得 m21 或 （舍） ，故 m117m4+36m2-53=0 m2=-5317故直线 AB 的方程为 xy1，即 xy10 或 xy10 为所求【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中用直线的方程和椭圆的方程联立方程组，合理利用弦长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 与直线 交于两点 （ 为坐C y2=2px(p0) F C l1:y=x O,MO标原点
22、）,且 .|OM|=82(1)求抛物线 的方程.C(2)不过原点的直线 与 垂直，且与抛物线交于不同的两点 、 ，若坐标原点 在以线段l1 l2 AB O为直径的圆上，求 的面积.AB FAB【答案】(1) y28 x； (2)24 5【解析】【分析】(1)由直线与抛物线的交点坐标为 (8，8)，代入抛物线的方程，可求得 ，得出抛M 2p=8物线的方程；(2)可设直线 l2：xym，联立方程组，利用根与系数的关系和 OAOB，求得 m8，得到直线 l2：xy8，和点 M(8，0)，进而利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】(1)易知直线与抛物线的交点坐标为 (8，8)，M(8) 22p8，2
23、p8，抛物线方程为 y28x.(2)直线 l2与 l1垂直，故可设直线 l2：xym，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，且直线 l2与 x 轴的交点为 M.由 得 y28y8m0，6432m0，m2.y2=8xx=y+my1y 28，y 1y28m，x 1x2 m 2.y21y2264由题意可知 OAOB，即 x1x2y 1y2m 28m0，m8 或 m0(舍)，直线 l2：xy8，M(8，0).故 SFAB S FMB S FMA |FM|y1y 2| =3(y1+y2)24y1y2=245【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中
24、用直线的方程和抛物线的方程联立方程组，合理利用根与系数的关系和OAOB，求得实数 m 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.22.已知 为函数 的导函数，且 的两个零点为-3 和 0.y=f(x) f(x)=ax2+bx+cex (a0) y=f(x)(1)求 的单调区间 .f(x)(2)若 的极小值为 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.f(x) e3 x5,+) f(x)0.令 f(x)0，则 g(x)ax 2(2ab)xbc0，3 和 0 是 yg(x)的零点，且 f(x)与 g(x)的符号相同.又因为 a0，所以30，即 f(x)0，当 x0 时，g(x)5f(0)，所以函数 f(x)在区间5，)上的最大值是 5e5.5e5，即所求范围为5e55 (5,+)【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和求解函数的最值，以及利用导数解决函数不等式恒成立问题，其中对于恒成立问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.
