1、一、考纲要求：1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用二、概念掌握及解题上的注意点：1.利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.2.用向量证明垂直的方法1 ） 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.2 ） 线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，
2、或将线面垂直的判定定理用向量表示.3 ） 面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.3.利用向量法求异面直线所成的角的步骤1 ） 选好基底或建立空间直角坐标系.2 ） 求出两直线的方向向量 v1， v2.3 ） 代入公式|cos v1， v2| 求解.|v1v2|v1|v2|4.求线面角方法：1 ） 线面角范围 ，向量夹角范围为0，.0， 22 ） 线面角 的正弦值等于斜线对应向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值.即 sin .|cos AB ， n |即斜向量，n 为平面法向量. AB 例 5.（2018 天津卷）如图，ADBC 且 AD=2BC，AD CD，EGA
3、D 且 EG=AD，CDFG 且CD=2FG，DG平面 ABCD，DA=DC=DG=2（）若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：MN 平面 CDE；（）求二面角 EBCF 的正弦值；（）若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60，求线段 DP 的长【答案】 （）见解析；（） ；（）（）解：依题意，可得 ， ， 设 为平面 BCE 的法向量，则 ，不妨令 z=1，可得 设 为平面 BCF 的法向量，则 ，不妨令 z=1，可得 因此有 cos = ，于是 sin = 二面角 EBCF 的正弦值为 ；例 6.（2018 浙江卷）如图，已知多面体 AB
4、CA1B1C1，A 1A，B 1B，C 1C 均垂直于平面ABC， ABC=120，A 1A=4，C 1C=l，AB=BC=B 1B=2（）证明：AB 1平面 A1B1C1；（）求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值【答案】 （）见解析；（）【解析】：（I ）证明：A 1A平面 ABC，B 1B平面 ABC，AA 1 BB1，AA 1=4，BB 1=2，AB=2，A 1B1= =2 ，又 AB1= =2 ， AA 12=AB12+A1B12，AB 1A 1B1，同理可得：AB 1B 1C1，又 A1B1B 1C1=B1，AB 1平面 A1B1C1设平面 ABB1 的法向量为 =（x
5、，y，z） ，则 ， ，令 y=1 可得 =（ ，1，0） ，cos = = = 设直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角为 ，则 sin=|cos |= 直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值为 例 7.（2018 上海卷）已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2（1 ）设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积；（2 ）设 PO=4，OA、OB 是底面半径，且AOB=90，M 为线段 AB 的中点，如图求异面直线 PM 与 OB 所成的角的大小【答案】 （1） ；（2）arccos【解析】：（1）圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，半径为 2，圆锥的母线长为 4，圆锥的体积 V=
6、 = 设异面直线 PM 与 OB 所成的角为 ，则 cos= = = =arccos 异面直线 PM 与 OB 所成的角的为 arccos 立体几何向量方法一、选择题1若直线 l 的方向向量为 a (1,0,2)，平面 的法向量为 n(2,0，4)，则 ( )Al Bl Cl Dl 与 相交【答案】B【解析】： n2a，a 与平面 的法向量平行，l . 18如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，PACD，PA 1，PD ， E 为 PD 上一点，PE2ED.2(1)求证：PA平面 ABCD；(2)在侧棱 PC 上是否存在一点 F，使得 BF平面 AEC？若存在，指出 F
7、点的位置，并证明；若不存在，说明理由【答案】见解析则 n(1,1， 2)假设侧棱 PC 上存在一点 F，且 (0 1) ，CF CP 使得 BF平面 AEC，则 n0.BF 又 (0,1,0)(，)(，1，)，BF BC CF n1 20， ，BF 12存在点 F，使得 BF平面 AEC，且 F 为 PC 的中点19如图，在四棱台 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1底面 ABCD，四边形 ABCD 为菱形，BAD120，AB AA 12A 1B12.(1)若 M 为 CD 的中点，求证： AM平面 AA1B1B；(2)求直线 DD1 与平面 A1BD 所成角的正弦值【答案】(1)见解析；(
8、2)【解析】： (1)证明：四边形 ABCD 为菱形，BAD 120，连接 AC，则ACD 为等边三角形，又M 为 CD 的中点，AMCD，由 CDAB 得 AMAB.AA 1底面 ABCD，AM 底面 ABCD，AMAA 1，又ABAA 1A，AM平面 AA1B1B. 设平面 A1BD 的法向量为 n(x，y ，z )，则有Error!Error!令 x1，则 n(1， ，1)3直线 DD1 与平面 A1BD 所成角 的正弦值sin |cos n， 1| .DD |nDD 1|n|DD 1| 1520如图，四棱锥 PABCD 的底面为正方形，侧棱 PA底面 ABCD，且PAAD 2，E，F，
9、H 分别是线段 PA，PD ，AB 的中点求证：(1)PB平面 EFH；(2)PD 平面 AHF.【答案】见解析【解析】：证明 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.(2) (0,2，2)， (1,0,0)， (0,1,1)，PD AH AF 0021(2)10，PD AF 0120(2)00，PD AH PDAF，PDAH.又AFAH A，PD平面 AHF.21如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1平面 ABCD，且 ABAD2，AA 1， BAD 120.3(1)求异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值；(2)求二面角 BA1DA 的正弦值【答案】(1) ；(2
10、) 17 74(1) ( ，1， )， ( ，1， )，A1B 3 3 AC1 3 3则 cos ， A1B AC1 A1B AC1 |A1B |AC1 | ， 3， 1， 3 3，1，37 17因此异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值为 .17(2)解：平面 A1DA 的一个法向量为 ( ，0,0) AE 3设 m(x，y，z)为平面 BA1D 的一个法向量，又 ( ，1， )， ( ，3,0)，A1B 3 3 BD 3则Error!即Error!因此二面角 BA1DA 的正弦值为 . 7422如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBC A
11、D，BADABC 90 ，E 是 PD 的中点12(1)证明：直线 CE平面 PAB；(2)点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，求二面角 MABD 的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2) 105【解析】： (1)证明：取 PA 的中点 F，连接 EF，BF.因为 E 是 PD 的中点，所以 EFAD，EF AD.12由BADABC90 得 BCAD ，又 BC AD，所以 EF BC，12 四边形 BCEF 是平行四边形，CE BF.又 BF平面 PAB，CE平面 PAB，故 CE平面 PAB.(2)解：由已知得 BAAD，以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，| |为单位长度，AB AB 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，B(1,0,0) ，C (1,1,0)，P(0,1， )，3(1,0， )， (1,0,0)PC 3 AB 从而 .AM (1 22，1，62)设 m(x 0，y 0，z 0)是平面 ABM 的法向量，则Error!即Error!所以可取 m(0， ，2)6于是 cosm，n .mn|m|n| 105因此二面角 MABD 的余弦值为 . 105
