1、1/13理科数学试题一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集 U R ，集合 1A x y x ， 2 2 0B x x x ，则 A B （ ）A 0x x B 0x x C 0 1x x D 1 2x x【答案】 A【解析】 1A x x ， 0 2B x x ， 0A B x x ，选择 A2极坐标方程 cos 和参数方程 12 3x ty t （ t 为参数）所表示的图形分别是（ ）A直线、直线 B圆、圆 C直线、圆 D圆、直线【答案】 D【解析】 cos x ， cox ， 2 x ， 2 2x y x+ 是极坐标
2、方程表示的曲线即 2 21 12 4x y + ，表示圆，参数方程表示的是 1 0x y + + ，表示一条直线选 D 3设 2 i i( , )1 2i x y x y R ，则 ix y （ ）A 1 B 2 C 3 D 2【答案】 A【解析】 2 i (2 i)(1 2i) 4 3i 4 3i1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5 5 + + + ， 224 3| i|= 15 5x y + + ，选择 A4若非零平面向量 a ， b 满足 a b a b ，则（ ）A a b B a b C a b D a b 【答案】 D【解析】 | | | |a b a b + ， 2 2 2
3、 22 2a a b b a a b b + + + ， 0a b ， a， b 均为非零向量， a b 北京一六一中学2018届高三年级第一学期期中考试2/13综上所述，答案为 D 5在如图所示的空间直角坐标系 O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是 (0,0,2)， (2,2,0)， (1,2,1)， (2,2,2)，给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A和 B和 C和 D和【答案】 D【解析】在坐标中，标出已知点，可知选择和，选择 D 6如图，小明从街道的 E处出发，先到 F 处与小红会合，在一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的
4、最短路径条数为（ ）A 24 B 18 C 12 D 9【答案】 B【解析】从 E到 F ，东西向街道被分为 2段，每条南北向也分为 2段，无论怎么走，一定包括 4段，其中 2段相同，另 2段相同，3/13共有 24C 6 种同理 F 到 G 最短有 13C 3 种，共有 6 3 18 种，选择 B7设抛物线 2 2y x 的焦点为 F ，过点 ( 3,0)M 的直线与抛物线相交于 A， B两点，与抛物线的准线相交于 C，2BF ，则 BCF 与 ACF 的面积之比 BCFACFSS （ ）A 23 B 34 C 45 D 56【答案】 A【解析】如图所示过 A， B分别作准线 1: 2l x
5、 的垂线，垂足分别为1A ， 1B BCFACFS BCS AC ，又 1 1B BC A AC ， 11| | |BC BBAC AA 根据抛物线定义知 11| | | | 2| | | | | |BB BFAA AF AF ，由 1| | | | 2BF BB 知 32Bx ， 3By ，直线 3: 0 ( 3)33 2AB y x 将 22yx 代入上式，可得 2Ay ， 2Ax ， 1 5| | | | 2AF AA ， | | 2 45| | 52BCFACFS BFS AF 选择 A8经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）某类4
6、/13产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格 1P低于均衡价格 0P 时，供求量大于供应量，价格会上升为 2P ；当产品价格 2P 高于均衡价格 0P 时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格 0P 能正确表示上述供求关系的图形是（ ） ABC5/13D【答案】 D【解析】当 1P 低于 0P 时，需求大于供应量，排除 B， C，且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢，故排除 A，选择 D 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9已知圆 C与直线 0x y 及 4
7、0x y 都相切，圆心在直线 0x y 上，则圆 C的方程为 _【答案】 2 2( 1) ( 1) 2x y + +【解析】圆心在 0x y + 上，设圆心坐标为 ( , )a a C 与 0x y 和 4x y 都相切， |2 | |2 4|2 2a a r ，解得 1a ， 2 2r ， C 的方程为 2 2( 1) ( 1) 2x y + + 10 5(2 )x x 的展开式中， 72x 的系数是 _（用数字填写答案）【答案】 40【解析】通项公式55 5 21 5 5C (2 ) ( ) 2 C ( 1) rr r r r r rrT x x x ，令 75 2 2r ，解得 3r ，
8、 72x 系数为 3 354C ( 1) 40 11双曲线 2 2 19 16x y 的右焦点 F 坐标为 _，过右焦点 F 且平行于该双曲线渐近线的直线方程是_【答案】 (5,0)， 4 3 20 0x y 或 4 3 20 0x y 【解析】 3a ， 4b ， 5c ，右焦点 (5,0)，双曲线渐进方程为 43y x ，过右焦点 F 且与渐进线平行的直线方程为 4( 5)3y x ，6/13即 4 3 20 0x y 和 4 3 20 0x y 12函数 ( ) 2sin( ) 0, 2f x x 的图象如图所示，则 _， _【答案】 23 ； 6【解析】由图可知 3T ， 2T ， 2
9、3 由函数图象经过 (0,1)， 21 2sin 0 43 ， 2 6k 或 52 6k ， (kZ)， | | 2 ， 6 13已知 1 1, 1,( ) ln ,0 1,xf x x x x 若函数 ( ) ( )g x f x kx k 只有一个零点，则 k 的取值范围是 _【答案】 ( , 1 0,1 【解析】由题可画出 ( )y f x 的图像，和 ( 1)y k x 只有一个交点 ( 1)y k x 经过定点 (1,0)，斜率为 k 0 1x 时， 1( ) 1f x x ，当 1x 时， 21( ) 1,0)f x x ， ( , 1 0,1k 7/1314已知点 (1,1)A
10、，若曲线 G 上存在两点 B， C，使 ABC 为正三角形，则称 G 为 型曲线给定下列三条曲线： 2y x ； 22 ( 2 0)y x x ； 1( 0)y xx 其中，是 型曲线的有 _【答案】【解析】 (1,1)A 在 2y x 之外，正确，是 型曲线对于曲线，表示圆 2 2 2x y + 的第二象限的 14 部分，显然不存在，故不是 型曲线对于曲线，表示位于第四象限的一支双曲线，以 A为圆心做顶角为 60的圆弧，易知与之相交时，符合条件，是 型曲线答案为三、解答题共 6 小题，共 80 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（ 13分）已知 为锐角，且 tan 24 （
11、 I）求 tan 的值（）求 sin2 cos sincos2 的值【答案】【解析】（） 1 tantan 4 1 tan 2 + ， 1 tan =2 2tan + ， 1tan 3 （） sin2 cos sin 2sin cos sincos2 cos2a 2sin (2cos 1)cos2 sin 1tan =3 ， cos 3sin 又2 2sin cos 1 + ， 2 1sin 10 ，又 为锐角， 10sin 10 ，8/13 sin2 cos sin 10cos2 10 16（ 13分）某单位有车牌尾号为 2的汽车 A和尾号为 6的汽车 B，两车分属于两个独立业务部分对一段时
12、间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日， A车日出车频率 0.6， B车日出车频率 0.5该地区汽车限行规定如下：车尾号 0和 5 1和 6 2和 7 3和 8 4和 9限行日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且 A， B两车出车相互独立（ I）求该单位在星期一恰好出车一台的概率（ II）设 X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求 X 的分布列及其数学期望 ( )E X 【答案】【解析】（）设 A车在星期 i 出车的事件为iA ， B车在星期 i 出车的事件为 iB ，1i ， 2， 3， 4， 5，由图可知 ( ) 0.6iP A
13、， ( ) 0.5iP B 设该单位在星期一恰好出车一台的事件为 C ，则 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )PC P A B AB P A P B P A P B + +0.6 (1 0.5) (1 0.6) 0.5 +0.5 （） X 的取值为 0， 1， 2， 3，则1 1 2( 0) ( ) ( ) 0.4 0.5 0.4 0.08P X P A B P A ，2 1 1 2( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.5 0.4 0.4 0.5 0.6 0.32P X P C P A P A B P A + + 1 1 2 2( 2) ( ) ( )
14、 (C) ( ) 0.6 0.5 0.4 0.5 0.6 0.42P X P AB P A P P A + 1 1 2( 3) ( ) ( ) 0.6 0.5 0.6 0.18P X P AB P A X 的分布列为 X 0 1 2 3P 0.08 0.32 0.42 0.18( ) 1 0.32 2 0.42 3 0.18 1.7E X 17（ 14分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1CC 底面 ABC ， 2AC BC ， 2 2AB ， 1 4CC ， M 是棱 1CC上一点（ I）求证： BC AM （ II）若 M ， N 分别是 1CC ， AB 的中点，求证：
15、CN 平面 1AB M 9/13（ III）若二面角 1A MB C 的大小为 4，求线段 1C M 的长【答案】【解析】（ I） 1CC 面 ABC ， BC 面 ABC ， 1CC BC 2AC BC ， 2 2AB ， ABC 中， 2 2 28AC BC AB + ， BC AC 1AC CC C ， BC 面 1 1ACC A AM 面 1 1ACC A ， BC AM （ II）连接1AB 交 1AB 于点 P四边形 1 1AAB B 是平行四边形， P是 1AB 的中点又 M ， N 分别是 1CC ， AB 的中点， NP CM ，且 NP CM ，四边形 MCNP是平行四边形
16、，可得 CN MP CN 面 1ABM ， MP面 1ABM ， CN 面 1ABM （ III） BC AC ，且 1CC 平面 ABC ，以 C 为原点， CA ， CB ， 1CC 分别为 x轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 C xyz 设 CM t ，可得：(0,0,0)C， (2,0,0)A ， 1(0,2,4)B ， (0,0, )M t ， (2,0, )MA t ， 1 (0,2,4 )AB t ， (0,0, )MC t 设平面 1AMB 的法向量 ( , , )n x y z ，故 0n MA ， 1 0n MB ，则有 2 02 (4 ) 0x tzy t z +
17、 ，取 x t ，则 ( , 4,2)n t t ，平面 1MBC 的法向量 (1,0,0)m 二面角 1A MB C 的大小为 4 ，2 2 | |cos4 | | | | ( 4) 4m n tm n t t + + ， 52t ， 52CM ， 1 32 2C M CM ， 1 32C M 10/1318（ 13分）设函数 2( ) ln ( )f x x ax x a R （ I）若 1a ，求函数 ( )f x 的单调区间（ II）若函数 ( )f x 在区间 0,1 上是减函数，求实数 a的取值范围（ III）过坐标原点 O作曲线 ( )y f x 的切线，求切线的横坐标【答案】【
18、解析】（ I） 1a 时， 2( ) ln ( 0)f x x x x x + ， 1 (2 1)( 1)( ) 2 1 ( 0)x xf x x xx x + 当 10,2x ， ( ) 0f x ， ( )f A 为单调减函数当 1,2x + ， ( ) 0f x ， ( )f x 为单调增函数 ( )f x 的单调减区间为 10,2 ，( )f x 的单调增区间为 1,2 + （ II） 1( ) 2f x x a x + ， ( )f x 在区间 (0,1上是减函数， ( )f x 0 对任意 (0,1x 恒成立即 12 0x a x + 对任意 (0,1x 恒成立令 1( ) 2g
19、x xx ， ( )mina g x 易知 ( )g x 在 (0,1上单调递减，min( ) (1) 1g x g 1a （ III）不妨设 tP点为 ( , ( )M t f t ， 1( ) 2f x x a x + ，切线方程为 ( ) ( )( )y f t f t x t ，即 2 1( ln ) (2 )( )y t at t t a x tt + + 又切线过原点， 2 10 ln (2 )(0 )t at t t a tt + + ，即 2 ln 1 0t t + ，设2( ) ln 1t t t + ，则 1( ) 2 0t t t + 恒成立， ( )t 在 (0, )+
20、 上单调递增，又 (1) 0 ， ( )t 在 (0, )+ 上只有一个零点， 1t ，切点的横坐标恒为 119（ 14分）如图，已知椭圆 2 22 2: 1( 0)x yE a ba b 的离心率为 32 ，过左焦点 ( 3,0)F 且斜率为 k 的直线交椭圆11/13E于 A， B两点，线段 AB 的中点为 M ，直线 : 4 0l x ky 交椭圆 E于 C， D 两点（ I）求椭圆 E的方程（ II）求证：点 M 在直线 l 上（ III）是否存在实数 k ，使得 BDM 的面积是 ACM 面积的 3倍？若存在，求出 k的值若不存在，说明理由【答案】【解析】（ I）由题意可知 3= 2
21、ce a ， 3c ， 2a 2 2 2 2 22 ( 3) 1b a c ， E的方程为 2 2 14x y + （ II）设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 0 0( , )M x y ，联立 2 2( 3)14y k xx y + ，可得：2 2 2 2(4 1) 8 3 12 4 0k x k x k + + + ，21 2 28 34 1kx x k+ + ， 21 20 24 32 4 1x x kx k + + ， 0 0 23( 3) 4 1ky k x k + + ， M 点坐标为 22 24 3 3,4 1 4 1k kk k + + 22
22、24 3 34 04 1 4 1k kkk k + + ， M 在直线 l 上（ III）由（ 2）可知 A到 CD的距离等于 B到 CD的距离若 3BDM ACMS S ，则 | | 3| |DM CM | | | |OD OC ， M 为 OC 的中点，设 C 点坐标 3 3( , )x y ，则 30 2yy ，联立 2 24 14x kyx y + ，解得 3 214 1y k + 221 3| |4 12 4 1 kkk + ，解得 2 18k ， 24k 20（ 13分）在无穷数列 na 中， 1 1a ，对于任意 nN* ，都有 na N* ， 1n na a ，设 mN*，记使
23、得 na m 成立的 n的最大值为 mb （ I）设数列 na 为 1， 3， 5， 7， ，写出 1b ， 2b ， 3b 的值（ II）若 nb 为等差数列，求出所有可能的数列 na （ III）设 pa q ， 1 2 pa a a A ，求 1 2 qb b b 的值（用 p， q， A表示）12/13【答案】【解析】（ I） 1na ，则 1 1b ， 2na ，则 2 1b ， 3na ，则 3 3b ； 1 1b ， 2 1b ， 3 3b （ II）有题可得 1 2 31 na a a a ，可得 na n 又使得 na m 成立的 n的最大值为 mb ，使得 1na m +
24、成立的 n的最大值为 m 1b ， 1 1b ， m m 1b b + 设 2a k ，则 2k 若 2k ，则 2 2a k 则当 2n 时， 2na ；当 3n 时， 1na k + ， 2 1b ， 2kb nb 为等差数列，公差 2 1 0d b b ， 1nb ，这与 2( 2)kb k 矛盾， 2na 又 1 2 na a a ，2 2b ，由 nb 为等差数列，得 nb n 使得 na m 成立的 n的最大值为 mb ， na n ，又 na n ， na n （ III）设 2 ( 1)a k k 1 2 na a a ， 1 2 1 1kb b b 且 2kb ，数列 nb
25、中等于 1的项共有 ( 1)k 个，即 2 1( )a a 个，设 3a l ， ( )l k ，则 1 1 2k k lb b b + ，且 3lb ，数列 nb 等于 2的项有 ( )l k 个，即 3 2( )a a 个，以此类推：数列 nb 中等于 1p 的项共有 ( )P qa a 个 1 2 2 1 3 2 1( ) 2( ) ( 1)( )q p qb b b a a a a p a a p + + + + + +1 2 ( 1)p pa a a p a p + +1 2( )p p ppa a a a + + + +( 1)p q A + 13/13即： 1 2 ( 1)qb b b p q A + + + +
