1、2019 高三二轮精品【新课标理科】热点十一 圆锥曲线的“三定”与探索性问题1.练高考 1.【2017 课标 II，理 9】若双曲线 C:21xyab（ 0a， b）的一条渐近线被圆所截得的弦长为 2，则 的离心率为（ ）A2 B 3 C 2 D 23【答案】A【解析】2. 【2017 课标 3，理 5】已知双曲线 C：21xyab(a0,b0)的一条渐近线方程为 52yx,且与椭圆21xy有公共焦点，则 C 的方程为（ ）A280B2145xyC2154xyD2143xy【答案】B【解析】试题分 析：双曲线 C：21xyab(a0,b0)的渐近线方程为 byxa ，椭圆中： ，椭圆，即双曲线
2、的焦点为 3,0 ，据此可得双曲线中的方程组： ，解得： ，则双曲线 C 的方程为2145xy.故选 B.3.【2017 课标 3，理 10】已知椭圆 C：21xyab，（ab0）的左、右顶点分别为 A1，A 2，且以线段A1A2为直径的圆与直线 相切，则 C 的离心率为（ ）A 63B 3C 23D 13【答案】A【解析】4. 【2018 年北京卷理】已知抛物线 C： =2px 经过点 （1，2） 过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A， B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围； （）设 O 为原点， ， ，
3、求证： 为定值【答案】(1) 取值范围是（-，- 3）（-3，0）（0，1）(2)证明过程见解析【解析】（）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2） ，所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y=kx+1（ k0） 由 得 依题意 ，解得 k|F2A|,可得23ab，即为 3a2b=2( 2c )，即有 又 恒成立，由双曲线的定义,可得 c 恒成立，由 2F,P,Q 共线时, 2PFQ取得最小值 23aF，可得 ，即有 76cea由 e1，结合可得，e 的范围是 1,.故选：B.3.【浙江省金丽衢十二校
4、2019 届高三第二次联考】已知抛物线 ： 内有一点 ，过 的两条直线 ， 分别与抛物线 交于 ， 和 ， 两点，且满足 ， ，已知线段的中点为 ，直线 的斜率为 .（1）求证：点 的横坐标为定值；（2）如果 ，点 的纵坐标小于 3，求 的面积的最大值.【答案】 （1）见证明；（2）【解析】（1）设 中点为 ，则由 ， 可推得 ， ，这说明 ，且 ， 和三点共线.对 ， 使用点差法，可得 ，即 .同理 . 于是 ，即 轴，所以 为定值.（2）由 得到 ，设 ， ，联立得 ，所以 , ,根据点到直线的距离公式知 P 到 AB 的距离为 ， 于是 ，令 x= ,则 ，令 得 ，当 时， ,函数为增
5、函数，当 时， ，函数为减函数，故当 ，即 时， 有最大值 .4.【江苏省泰州姜堰中学 2019 届高三上期中】已知椭圆 C： 的左右顶点为 A、B，右焦点为 F，一条准线方程是 ，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点 P、Q 为椭圆 C 上异于 A、B 的两点，点 R 为 PQ 的中 点求椭圆 C 的标准方程；直线 PB 交直线 于点 M，记直线 PA 的斜率为 ，直线 FM 的斜率为 ，求证： 为定值；若 ，求直线 AR 的斜率的取值范围【答案】 （1） （2）见解析（3）证明：由 ， ，设直线 PB 的方程为 ，联立椭圆方程 ，可得 ，解得 或 ，即有 ， ，则 ，即 为定值 ；由 ，可
6、得 ，即 ，设 AP 的方程为 ，代入椭圆方程 ，可得 ，解得 或 ，即有 ，将 t 换为 可得 ，则 R 的坐标为 ，即有直线 AR 的斜率，可令 ，则 ，则 ，当 时， ，当且仅当 时上式取得等号，同样当 时， ，时， ， ，则 AR 的斜率范围为5.【2018 届 云南省南宁市高三毕业班摸底】已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为 .（l）求抛物线 的方程；（2）抛物线上一点 的纵坐标为 1，过点 的直线与抛物线 交于 两个不同的点（均与点 不重合），设直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值.【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由焦半 径定义和点在抛物线上建立两个方程
7、，两个未知数，可求得抛物线方程.（2）由（1）知抛物线的方程 ，及 ， ，设过点 的直线 的方程为,代入 得 ,由韦达定理可求得 为定值上.试题解析：（1）由抛物线的定义可知 ，则 ，由点 在抛物线上，则 ， ，则 ，由 ，则 ，抛物线的方程 .（2） 点在抛物线上，且 . ，设过点 的直线 的方程为 ，即 ，代入 得 ，设 ， ，则 ， ，所以 .6.【江苏省如皋市 2019 届高三教学质量调研（三)】在平面直角坐标系 中，已知定点 ，点 在 轴上运动，点 在 轴上运动，点 为坐标平面内的动点，且满足 ， （1）求动点 的轨迹 的方程；（2）过曲线 第一象限上一点 （其中 ）作切线交直线 于
8、点 ，连结 并延长交直线于点 ，求当 面积取最大值时切点 的横坐标【答案】 （1） ；（2） .【解析】（1）设 ， ， .因为 ， ， 所以 ， ， ，所以 .（2）切线 ： ，将 代入得 ，直线 ： ，将 代入得 ，因为 在抛物线上且在第一象限，所以 ，所以 ，设 ， ， .3.练原创1.已知点 ，动点 ()Pxy，满足 2APBx，则点 P的轨迹是（ ）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线【答案】D【解析】由题知 ， ，由 2PABx，得 ，即26yx，P点轨迹为抛物线故选 D2. 设 A1、A 2 是椭圆 492yx=1 的长轴两个端点，P 1、P 2 是垂直于 A1A2 的弦的端点，则直
9、线 A1P1 与 A2P2交点的轨迹方程为( )A. 492yxB. 12xy C. 492yxD. 492xy【答案】C【解析】设交点 P(x,y）,A 1(3,0), A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y 0)A 1、P 1、P 共线， A 2、P 2、P 共线，解得 x0=3.已知 A、B 、C 是直线 l 上的三点，且|AB |=|BC|=6，O切直线 l 于点 A，又过 B、 C 作O 异于 l 的两切线，设这两切线交于点 P，求点 P 的轨迹方程.【答案】动点 P 的轨迹方程为 7281yx=1(y0)【解析】设过 B、 C 异于 l 的两切线分别切O 于 D、E 两
10、点，两切线交于点 P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE| ，故|PB|+| PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC |，故由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 B、 C 为两焦点的椭圆，以 l所在的直线为 x 轴，以 BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点 P 的轨迹方程为 7281yx=1(y0)4. 已知双曲线 2nymx=1(m0,n0)的顶点为 A1、A 2，与 y 轴平行的直线 l 交双曲线于点 P、Q .(1)求直线 A1P 与 A2Q 交点 M 的
11、轨迹方程；(2)当 mn 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.【答案】(1) 2yx=1.此即为 M 的轨迹方程.(2)当 mn 时， M 的轨迹方程是椭圆.()当 mn 时，焦点坐标为( 2nm,0)，准线方程为 x= 2nm,离心率 e= mn2；()当 mn 时，焦点坐标为(0, 2),准线方程为 y= 2,离心率 e= n2.【解析】(1)设 P 点的坐标为( x1,y1)，则 Q 点坐标为(x 1,y 1),又有 A1(m,0),A 2(m,0),则 A1P 的方程为：y = A2Q 的方程为：y= 得：y 2= 又因点 P 在双曲线上，故代入并整理得 2nymx=1.此
12、即为 M 的轨迹方程.(2)当 mn 时， M 的轨迹方程是椭圆.学-科网()当 mn 时，焦点坐标为( 2n,0)，准线方程为 x= 2nm,离心率 e= mn2；()当 mn 时，焦点坐标为(0, 2m),准线方程为 y= 2,离心率 e= n2.5.如图， P为圆 上的动点，定点 3,0Q，线段 PQ的垂直平分线交线段M于点 N（1）求动点 的轨迹方程；（2）记动点 的轨迹为曲线 C，设圆 的切线 l交曲线 C于 ,BA两点，求 OBA的最大值【答案】 （1）2163xy；（2） 3（2）当切线 l垂直坐标轴时， ； 6 分当切线 不垂直坐标轴时，设切线 l的方程： ，点 ，由直线和圆相切，得 由 得， ， ， ， 10 分又 ，令 2tk，则 ，当且仅当 时，等号成立， ，综上， OAB的最大值为 32 12 分
