1、一、方向导数,二、梯度,8.7 方向导数与梯度,一、方向导数,设函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为el(cos cos),提示,取P(x0tcos y0tcos)U(P0) 如果极限,方向导数,即极限,一、方向导数,设函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为el(cos cos),存在, 则称此极限为函数f(x, y)在点P0沿方向l的方向导数, 记为,取P(x0tcos y
2、0tcos)U(P0) 如果极限,方向导数,一、方向导数,设函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为el(cos cos),方向导数,方向导数就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化率,一、方向导数,设函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为el(cos cos),方向导数,如果函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l (el
3、(cos cos)的方向导数都存在, 且有,定理(方向导数的计算),讨论 函数f(x, y)在点P沿x轴正向和负向, 沿y轴正向和负向的方向导数如何?,提示,函数f(x, y)在点P0沿方向l (el(cos cos)的方向导数,解: 因为,所以所求方向导数为,函数f(x, y)在点P0沿方向l (el(cos cos)的方向导数,因为函数可微分 且,例1求函数zx2+y2在点(1 2)处沿从点(1 2)到点 的方向的方向导数,故,对于三元函数f(x y z)来说 它在空间一点P0(x0 y0 z0)沿el(cos cos cos)的方向导数为,函数f(x, y)在点P0沿方向l (el(co
4、s cos)的方向导数,如果函数f(x y z)在点(x0 y0 z0)可微分, 则函数在该点沿着方向el(cos cos cos)的方向导数为,例2 求f(x y z)xy2z3xyz在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分别为60 45 60,解,与l同向的单位向量为,因为函数可微分 且,所以,fx(1 1 2)(y2-yz)|(1 1 2)-1,fy(1 1 2)(2xy-xz)|(1 1 2)0,fz(1 1 2)(3z2-xy)|(1 1 2)11,二、梯度,梯度的定义,设函数zf(x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P0(x0 y0)D, 都可确
5、定一个向量 fx(x0 y0)ify(x0 y0)j 这向量称为函数f(x, y)在点P0(x0 y0)的梯度, 记作gradf(x0 y0), 即 gradf(x0 y0)fx(x0 y0)ify(x0 y0)j,二、梯度,梯度的定义,函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的梯度: gradf(x0 y0)fx(x0 y0)ify(x0 y0)j,梯度与方向导数,如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos cos)是与方向l同方向的单位向量, 则,gradf(x0 y0)el |gradf(x0 y0)|cos(gradf(x0 y0),el),二、梯度,梯度的定义,
6、函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的梯度: gradf(x0 y0)fx(x0 y0)ify(x0 y0)j,梯度与方向导数,|gradf(x0 y0)|cos(gradf(x0 y0),el),可以看出方向导数就是梯度在射线l上的投影, 当方向l与梯度的方向一致时, 方向导数取得最大值. 所以沿梯度方向是函数f(x, y)在这点增长最快的方向.,如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos cos)是与方向l同方向的单位向量, 则,函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.,二、梯度,梯度的定义,函数zf(
7、x, y)在点P0(x0 y0)的梯度: gradf(x0 y0)fx(x0 y0)ify(x0 y0)j,梯度与方向导数,|gradf(x0 y0)|cos(gradf(x0 y0),el),如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos cos)是与方向l同方向的单位向量, 则,梯度与等值线的关系,对于二元函数zf(x y) xOy面上的曲线f(x, y)c称为函数zf(x, y)的等值线,若fx fy不同时为零 则等值线f(x y)c上任一点P0(x0 y0)处的一个单位法向量为,这表明梯度grad f(x0 y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同,对于二元函数zf
8、(x y) xOy面上的曲线f(x, y)c称为函数zf(x, y)的等值线,若fx fy不同时为零 则等值线f(x y)c上任一点P0(x0 y0)处的一个单位法向量为,.,梯度与等值线的关系,而沿这个方向的方向导数等于|grad f(x0 y0)| 于是,梯度与等值线的关系,函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在 这个法线方向的方向导数,三元函数的梯度,设函数f(x, y, z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数, 函数f(x, y, z)在点P(x y z)的梯度grad f(x y z)定义为 grad
9、 f(x y z)fx(x y z)ify(x y z)jfz(x y z)k,三元函数的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.,函数f(x, y, z)在点P的梯度的方向与过点P的等量面f(x, y, z)c在这点的法线的一个方向相同, 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面, 梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.,提示,曲面 f(x, y, z)c称为函数uf(x, y, z)的等量面.,于是 grad f(1, 0,1),例4 设f(x, y, z)x3y3z3, 求grad f(1, 0, -1),解,grad f(fx, f
10、y, fz),(3x2, 3y2, 3z2),(3, 0, 3),这里,所以,数量场与向量场如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的数量f(M), 则称在这空间区域G内确定了一个数量场.,如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的向量F(M), 则称在这空间区域G内确定了一个向量场.,一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定.,一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定, 而 F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k, 其中P(M), Q(M), R(M)是点M的数量函数.,势与势场向量函数gradf(M)确定了一个向量场(梯度场), 它是由数量场f(M)产生的. 通常称函数f(M)为这个向量场的势, 而这个向量场又称为势场. 必须注意, 任意一个向量场不一定是势场, 因为它不一定是某个数量函数的梯度场.,数量场与向量场如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的数量f(M), 则称在这空间区域G内确定了一个数量场.,如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的向量F(M), 则称在这空间区域G内确定了一个向量场.,从而,.,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数与梯度的关系,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,（注意梯度是一个向量）,小结,
