1、2-4 能量守恒定律,2-4-1 功和功率,功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间积累作用。,功的定义：,在力 的作用下，物体发生了位移 ，则把力在位移方向的分力与位移 大小的乘积称为功。,2. 变力的功,a,元功：,a,元位移：,1. 恒力的功,功：力对空间的积累,国际单位：焦耳（J ）Nm,（1）平面直角坐标系,a.在不同坐标系中元功表示：,（2）平面“自然”坐标系,对元功积分即得到变力作的总功。,结论：,合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数和 。,b.合力的功等于各个分力功的代数和,在直角坐标系Oxyz中,表明合力对质点所作的功等于每个分力对质点作之代数和。,c. 功的
2、几何意义：,功在数值上等于示功图 曲线下的面积。,3. 功率,平均功率:,瞬时功率:,F,x,示功图,dx,F,力的功率等于力与受力点速度的标积,力的功率等于力与受力点速度的标积,瓦特（W）=（J/s）,(1)功是过程量，一般与路径有关。 (2)功是标量，但有正负。(3)合力的功为各分力的功的代数和。,4.功的性质：,例1. 设作用在质量为2kg的质点上的力是 N。当质点从原点移动到位矢为 m处时，此力所作的功有多大？它与路径有无关系？,解：,m,解,2-4-2 动能和动能定理,动能：,质点因有速度而具有的作功本领。,单位：（J）,设质点m在力的作用下沿曲线从a点移动到b点,元功：,1质点动能
3、定理,总功：,质点的动能定理：,合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,2质点系的动能定理,一个由n个质点组成的质点系，考察第i个质点。,质点的动能定理：,对系统内所有质点求和,质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和内力作功之代数和。,质点系的动能定理：,例3.有一面为1/4凹圆柱面（半径R）的物体（质量M）放置在光滑水平面，一小柱面（质量m），从静止开始沿圆面从 顶端无摩擦下落（如图），小柱面从水平方向飞离大物体 时速度为 v . 求（1）重力所做的功；（2）内力所做的功。,解：重力只对小球做功,水平方向无外力，m,M组成的系统保持水平方向动量守恒。,j,mg,对m，合力所做的功,对M
4、，合力（内力）所做的功,* 本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消。,为什么？,见下面一对力的功的讨论。,（说明，利用上式和前面动量守恒定律式可以求得小球脱离时的速度）,由动能定理：,对系统，内力所做的功,对m，内力所做的功,2-4-3 一对力的功,系统内力总是成对出现,一对力所做功之和，等于其中一个物体所受的力沿着两个物体相对移动的路径所做的功，而和确定两质点的位置时所选的参考系无关。,O,A1,A2,上一例，内力与相对位移 总垂直，故内力所做的功 总和为零。,计算一对力的功的方法：以一个质点为坐标原点设定坐标系，计算出另一质点相对于该质点运动时所受的力做的 功。,例1：物体下落h高度，
5、它受的重力和地球受它的引力这一对力做的功之和等于mgh.,例2：物体沿斜面下滑，它和斜面间相互作用的一对压力所做功之和总等于零。,例3：一个物体在另一个物体表面滑动时，它们之间相互作用的一对摩擦力所做功之和就等于其中一个力和两物体相对位移的乘积而总为负值。,例题1、如图，在光滑的水平面上，有一质量为 mB 的静止物体B，在B上又有一质量为mA的物体 A。今有一小球从左边射到A上并被弹 回，于是 A 以初速度 VA（相对水平面）开始向右运动。A、B间的摩擦系数为 ,A慢慢带动 B 运动，最后A和 B 以相同的速度一起运动，问 A 从开始运动到相对于B静止，在B上移动了多少距离？,A,VA,B,A
6、,VA,B,解：选mA和mB为系统，利用系统的动能定理,例题2. 如图，在光滑的水平地面上放着一辆小车，小车左 端放着一只箱子，今用同样的水平恒力F拉箱子，使它由小车的左端达到右端，一次小车固定，另一次小车没有固定，试以水平地面为参照系，则下面的说法中正确的是： （1）两次F做的功相同； （2）两次摩擦力对木箱做的功相同； （3）两次箱子获得的动能相同； （4）两次由于摩擦而产生的热量相同。,444,L,F,f,F,f,例3.在光滑的水平桌面上，平放有如图所示的固定半圆屏障，质量为m的滑块以初速度 V0沿切线方向进入屏障，滑块与屏之间的摩擦系数为，试 证明当滑块从另一端滑出时，摩擦力作的功为,
7、解,由式（1）代入上式得：,0,N,f,S,俯视图,N,f,S,俯视图,2-4-4 保守力与非保守力 势能,（1）重力的功,初始位置,末了位置,重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。,（2） 万有引力作功,两个质点之间在万有引力作用下相对运动时 ，以M所在处为原点, m在M的万有引力的作用下从a 点运动到b点。,万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而与具体路径无关。,（3）弹性力的功,由胡克定律：,弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，而与弹性变形的过程无关。,保守力：,作功与路径无关，只与始末位置有关的力。,保守力的特点：,保守力沿任何闭合路径作功等于零。
8、,证明：,设保守力沿闭合路径acbda作功,按保守力的特点：,因为：,所以：,证毕,势能,质点在保守力场中运动时，保守力对质点所作的功既然与中间途径无关，一般地说，必可表为质点状态的某个函数EP所减少的值，该状态函数EP就称为质点在该势力场中的势能或该系统的势能。简言之，势能就是由物体的相对位置所确定的系统能量。,保守力的功与势能的关系：,物体在保守力场中由a点移动到b点过程中：,以势能的减少来表达保守力作的功，简化保守力功的计算。,势能的确切定义仅指势能的差，没有绝对势能。 （在保守场中势能普遍加或减同一任意常数，势能的差保持不变）,为使势能取确定值,只需将质点在某个指定位 置r0处的势能规
9、定为0.,则空间任意一点 r的势能为：,空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力做的功。,结论：,重力势能：,（地面为势能零点）,弹性势能：,（弹簧自由端为势能零点）,引力势能：,（无限远处为势能零点）,(1) 质点高度变化不大：,(2) 质点高度变化很大： （无限远处为势能零点）,保守力与势能的积分关系：,保守力与势能的微分关系：,因为：,所以：,保守力的矢量式：,保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向指向势能降低的方向。,结论：,2-4-5 机械能守恒定律,质点系的动能定理：,其中,机械能,质点系机械能的增量等于所有外力和
10、所有非保守内力所作功的代数和。,质点系的功能原理,当系统只受保守内力作功时，质点系的总机械能保持不变。,机械能守恒定律,注意：,（1）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于非惯性系。这是因为惯性力可能作功。,（2）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，但在另一参考系中外力功也许不为零。, 例1 设地球半径为R 。一质量为m的物体，从静止开始在距地面 R 处自由下落。求：它到达地球表面时的速度。,解：,由机械能守恒定律：,例3：链条总长为 L，质量为 m，初始时刻如图悬挂，链条与桌面间的摩擦系数为 ，链条由静止开始
11、运动，求：（1）链条离开桌边时，摩擦力作的功？（2）这时候链条的速度？,解：,把链条分 割成无限多的质元，则当dm在桌面上移动的长度为x时，摩擦力作的功为,（1）,（2）,由功能原理,x,dx,取桌面为零势能面,例4：质量为mkg,长l=40cm的链条，放在光滑的水平桌面上，其一端系一细绳，通过滑轮，挂着质量为m1=10kg 的物体，如图，开始时l1=l2=20cml，速度为零。设绳子不伸长，轮、绳的质量和轮轴桌面的摩擦不计。求当链条全部滑到桌面上时，系统的速度和加速度。,解：（一）先求加速度：选如图坐标系，设链条在桌边挂的部分为x,则：,解（）、（）得,m1g,o,T,T,a,a,x,x,（
12、二）求速度（法1）：当链条全部滑到桌面时 x=0,又,（二）（法2）选桌面为零势能面，由于T作功为零，m1, m, 地球组成的系统机械能守恒。,例5：如图当的 值为多大时，m2才能跳起？,解：选m1、m2地球、弹簧为系统，则系统的机械能在态到态过程中守恒，选如图水平线o1o2 为零势能面 。,x0,x1,x2,01,o2,（）,又,例6：如图，m1和m2之间只有万有引力的作用，假设现有一力作用在上，使以向右匀速运动，试求；（）、m1、m 2之间的最大距离lmax; (2)、从地面观察，当l=lmax时，外力做的功是多少？,A,(静止）,解:(1)选B为参照系，则为一惯性系，系统的机械能守恒,（
13、）选地面为参照系，则当m1、m2以共同速度 运动 时两者之间距离最大，运用功能原理，外力做的功为：,例7.已知半圆柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，如图， 求质点由静止下滑至最低点时给木块的压力.,解：,设质点下滑至最低点时的速度为Vm,凹槽的速度为VM,机械能守恒,此时M为惯性系，以M为参照系，利用牛顿定律,而,联立求解各式可得,x,M,N,mg,水平方向动量守恒,例8.航天器绕地球表面运动所需的速度称为第一宇宙速度，脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度，脱离太阳系所需的速度称为第三宇宙速度，设地球的半径为 ，地球绕太阳公转的速度 为 ，试求、。,S,E,S,解：,（）,S,E,S,(1),
14、（）、设脱离地球引力圈时，航天器的速度为（相对地面），此时不考虑太阳的引力，则：,以太阳为参照系，设它相对太阳以速度 运动时可脱离太阳系，则,式中r0是地球到太阳的距离，为了充分利用地球公转速度，使航天器在脱离地球引力圈时，速度方向沿地球公转方向，这样航天器相对地球的速度应为 42.1-29.8=12.3Km/s,例9.一颗星体在引力作用下不断坍缩，当它的半径R小于某一 值R0时，我们就再也看不到该 星体了，即星体上的任何粒子（包括光子），均不逃离该星体，这样一个以R0为半径的引力极大的球形区域就称为黑洞。若用牛 顿引力理论估算R0值与该星体质量M的关系，则R0是多少？,解：光子的动能,光子与
15、星体构成系统的能量：,光子处于束缚态的条件为：,（答案： ）,、一弹簧原长为l 0=0.1m，倔强系数为Nm,其一端固定，另一端与在半径为.1m 的圆环上的小环相连，在小环由中点移到另一端的过程中，弹簧的拉力对小环作的功为多少？,B,A,C,（答案:.）,练习,3、一固定质点，质量为 ，与质量为 m 的质点之间存在万有引力，现有质量为 m 的质点由 a 点沿任意曲线移到 b点。试证明，万有引力对该质点所做的功与路径无关。,4、试根据质点动量定理推导由两个质点组成的质点系的动量定理，并 导出动量 守恒的条件。,5 在光滑水平面上，有一弹簧，其一端固定于光滑的轴承上，另一端拴一质量为 m=2kg
16、的质点，弹簧的质量很小，原长很短，因此可以 忽略不计。当质点沿半径为 r 的圆周作匀速运动时，弹簧作用于质点上的弹性力的大小为 3 r （N），此时系统的总能量为 12J.求质点的运动速率及圆轨道半径。,答案：r=2m,v =2.45m/s,（答案：3J）,7、如图，在光滑的水平面上，放有一倾角为 的木块，在楔块上放有一质量为m的质点，开始时，m、M均静止，当质点沿斜面运动时，在竖 直方向下降h时，试证明该木块对地的速度为：,提示:VmM 为 相对斜面的速度。利用系统水平方向动量守恒和系统的机械能守恒求解,h,M,m,x,8.一辆 质量为m4kg的雪橇,，沿与水平面成36.9度的斜坡向下滑动，
17、所受空气阻力与速度 大小成正比，比例系数K末知，现测得雪橇运动的Vt关系曲线如 示，t=0时，V0=5m/s,且曲线在该点切线通过的坐标为（4s,14.8m/s)的B点，随着t的增加，V趋于10m/s,求阻力系数K和雪橇与斜坡之间的摩擦系数 .,t,V(m/s),B(4,14.8),5,10,2,4,6,0,a,mg,N,f,2-4-6 碰撞,动量守恒,完全弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能没有损失。,非弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能有损失。,完全非弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能有损失，且碰撞后物体以同一速度运动。,1. 完全弹性碰撞,(1) 如果m1= m2 ，则v1 = v20 ，v2
18、= v10，即两物体在碰撞时速度发生了交换。,(2) 如果v20 =0 , 且 m2 m1, 则v1 = - v10, v2 = 0,2完全非弹性碰撞,由动量守恒定律,完全非弹性碰撞中动能的损失,牛顿的碰撞定律：在一维对心碰撞中，碰撞后两物体的分离速度 v2- v1 与碰撞前两物体的接近速度 v10- v20 成正比，比值由两物体的材料性质决定。,3非弹性碰撞,e 为恢复系数,e = 0，则v2 = v1，为完全非弹性碰撞。,e =1，则分离速度等于接近速度，为完全弹性碰撞。,一般非弹性碰撞：0 e 1,解：设碰撞后两球速度,由动量守恒,两边平方,由机械能守恒（势能无变化）,两球速度总互相垂直,例1：在平面上两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于静止状态，另一球速度 v 求证：碰撞后两球速度总互相垂直。,
