1、2.1.1椭圆及其标准方程,如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢?,生活中的椭圆,仙女座星系,星系中的椭圆,“传说中的”飞碟, 动画演示:太阳系行星的运动,思考,数学实验,(1)取一条细绳, (2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2 (3)用铅笔尖(M)把细绳拉紧,在板上慢慢移动看看画出的 图形,1.在椭圆形成的过程中,细绳的两端的位置是固定的还是运动的? 2.在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么? 3.在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系?,请你归纳出椭圆的定义,它应该包含几个要素?,(1)由于绳长固定,所以点M到两个定点的距离和是个定
2、值,(2)点M到两个定点的距离和要大 于两个定点之间的距离,(一)椭圆的定义,平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数 (2a) (大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距(2C)。,椭圆定义的文字表述:,椭圆定义的符号表述:,(2a2c),M,F2,F1,小结:椭圆的定义需要注意以下几点,1.平面上-这是大前提 2.动点M到两定点F1,F2的距离之和是常数2a 3.常数2a要大于焦距2C,思考:,1.当2a2c时,轨迹是( ),椭圆,2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以F1、F2为端 点的线段 3.当2a2c时,无轨迹,图形不
3、存在. 4.当c=0时,轨迹为圆,O,r,设圆上任意一点P(x,y),以圆心O为原点,建立直角坐标系,两边平方,得, 回忆在必修2中是如何求圆的方程的?,求曲线方程的方法步骤是什么?,建立适当的直角坐标系;,设M(x,y)是曲线上任意一点;,由限制条件,列出几何 等 式,写出适合条件P的点M的集合P=M|P(M),用坐标法表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0,化简方程f(x,y)=0., 探讨建立平面直角坐标系的方案,建立平面直角坐标系通常遵循的原则:对称、“简洁”,方案一,解:取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图).,设M(x, y)
4、是椭圆上任意一 点,椭圆的焦距2c(c0),M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a2c) ,则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .,(问题:下面怎样化简?),由椭圆的定义得,限制条件:,代入坐标,2.椭圆的标准方程的推导,两边除以 得,由椭圆定义可知,总体印象:对称、简洁,“像”直线方程的截距式,焦点在y轴:,焦点在x轴:,椭圆的标准方程,图 形,方 程,焦 点,F(c,0),F(0,c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,MF1+MF2=2a (2a2c0),定 义,两类标准方程的对照表,注:,共同点:椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上,中心在坐标原点的椭
5、圆;方程的左边是平方和,右边是1.,不同点:焦点在x轴的椭圆 项分母较大.焦点在y轴的椭圆 项分母较大.,练习1:判定下列椭圆的焦点在哪个轴,并指 明a2、b2,写出焦点坐标,答:在 X 轴(-3,0)和(3,0),答:在 y 轴(0,-5)和(0,5),答:在y 轴。(0,-1)和(0,1),判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则:焦点在分母大的那个轴上。,1.口答:下列方程哪些表示椭圆?,若是,则判定其焦点在何轴? 并指明 ,写出焦点坐标.,?,练习:,0b9,练习:,a3,练习: 1.方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆,则k的范围是 . 2.椭圆mx2+ny2=-mn(mn
6、0)的焦点是 .,(0,4),3.已知方程 表示焦点在x轴 上的椭圆,则m的取值范围是 .,变式:已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范 围是 .,(0,4),(1,2),2、 已知椭圆的方程为: ,请填空: (1) a=_,b=_,c=_,焦点坐标为_,焦距等于_. (2)若C为椭圆上一点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,并且CF1=2,则CF2=_.,变题: 若椭圆的方程为 ,试口答完成(1).,若方程表示椭圆呢?,5,4,3,6,(-3,0)、(3,0),8,例1、填空: (1)已知椭圆的方程为: ,则a=_,b=_,c=_,焦点坐标为:_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦,
7、则F2CD的周长为_,例题,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,0,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则:焦点在分母大的那个轴上。,|CF1|+|CF2|=2a,练习,1 椭圆 上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为( ) A.5 B.6 C.4 D.10,A,2.已知椭圆的方程为 ,焦点在X轴上, 则其焦距为( ) A 2 B 2C 2 D 2,A,例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程,1,2,小结:先定位(焦点)再定量(a,b,c) 椭圆的焦点位置不能确定时,椭圆的标准方程一般有两种情形,必须分类求出,例1:平面内两个定点的距离是8,写出到这两个定点距离之和是10
8、的点的轨迹方程。,解:这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点,用F1、F2表示,取过点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。 2a=10 2c=8 a=5 c=4 b2=a2c2=9, b=3,因此这个椭圆的标准方程是:,定义法求轨迹方程。,变题1:已知ABC的一边BC固定,长为8,周长为18,求顶点A的轨迹方程。,.,解:以BC的中点为原点,BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。 根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆,且焦点在轴上,所以可设椭圆的标准方程为 :,y,o,B,C,A,x, 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9 所求椭圆
9、的标准方程为:,例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程,(1) a =4,b=1,焦点在 x 轴上;(2) a =4,b=1,焦点在坐标轴上;(3) 两个焦点的坐标是( 0 ,-2)和( 0 ,2),并且经过点P( -1.5 ,2.5).,解: 因为椭圆的焦点在y轴上,设它的标准方程为, c=2,且 c2= a2 - b2, 4= a2 - b2 ,又椭圆经过点, ,联立可求得:,椭圆的标准方程为,(法一),或,(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的 标准方程为,由椭圆的定义知,,所以所求椭圆的标准方程为,练习:求适合下列条件的椭圆的标准方程:,(2)焦点为F1(0,3),F2(0,3)
10、,且a=5.,答案:,(1)a= ,b=1,焦点在x轴上;,(3)两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点;,(4)经过点P(2,0)和Q(0,3).,小结:求椭圆标准方程的步骤:,定位:确定焦点所在的坐标轴;,定量:求a, b的值.,例1 : 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆,它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m,求这个椭圆的标准方程,解:,以两焦点F1、F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系xOy,则这个椭圆的标准 方程可设为,根据题意有,即,因此,这个椭圆的标准方程为,3. 例题,
11、回顾小结,求椭圆标准方程的方法,解:,例1 :将圆x2+y2 = 4上的点的横坐标保持不变, 纵坐标变为原来的一半,求所的曲线的方程, 并说明它是什么曲线?,设所的曲线上任一点的坐标为(x,y),圆 上的对应点的坐标为(x,y),由题意可得:,因为 ,所以,即,1)将圆按照某个方向均匀地压缩(拉长),可以得到椭圆。 2)利用中间变量求点的轨迹方程 的方法是解析几何中常用的方法;,练习,(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。,(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。,(3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。,解 (1
12、)因|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=4,故点M的轨迹为椭圆。,(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4,故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2)。,练习,例2 已知圆A:(x3)2y2100,圆A内一 定点B(3,0),圆P过B点且与圆A内切,求圆心 P的轨迹方程,解:设PBr 圆P与圆A内切,圆A的半径为10 两圆的圆心距PA10r, 即PAPB10(大于AB) 点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆 2a10, 2cAB6, a5,c3 b2a2c225916即点P的轨迹方程为 1,4、三角形ABC的三边a、b、c 成等差数列, A、C的坐标分别为(-1,0),(1,0), 求顶点B的轨迹。,8.在ABC中,BC=24,AC、AB边上的中线之和为39,求ABC的重心的轨迹方程,y,x,o,E,F,G,A,C,B,P,F1,F2,练习,已知F1、F2是椭圆 的焦点,P为椭圆上一点,且 ,则 的面积为_.,