1、2.1.1椭圆及其标准方程,如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？,生活中的椭圆,仙女座星系,星系中的椭圆,“传说中的”飞碟, 动画演示：太阳系行星的运动,思考,数学实验,(1)取一条细绳， (2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2 (3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的 图形,1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ 3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？,请你归纳出椭圆的定义,它应该包含几个要素?,(1)由于绳长固定，所以点M到两个定点的距离和是个定
2、值,（2）点M到两个定点的距离和要大 于两个定点之间的距离,（一）椭圆的定义,平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （2a） （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。,椭圆定义的文字表述：,椭圆定义的符号表述：,(2a2c),M,F2,F1,小结：椭圆的定义需要注意以下几点,1.平面上-这是大前提 2.动点M到两定点F1，F2的距离之和是常数2a 3.常数2a要大于焦距2C,思考：,1.当2a2c时,轨迹是（ ）,椭圆,2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以F1、F2为端 点的线段 3.当2a2c时,无轨迹,图形不
3、存在. 4.当c=0时,轨迹为圆,O,r,设圆上任意一点P(x，y),以圆心O为原点，建立直角坐标系,两边平方，得, 回忆在必修2中是如何求圆的方程的？,求曲线方程的方法步骤是什么？,建立适当的直角坐标系；,设M（x,y）是曲线上任意一点；,由限制条件，列出几何 等 式，写出适合条件P的点M的集合P=M|P(M),用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0，化简方程f(x,y)=0., 探讨建立平面直角坐标系的方案,建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”,方案一,解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).,设M(x, y)
4、是椭圆上任意一 点，椭圆的焦距2c(c0)，M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .,（问题：下面怎样化简？）,由椭圆的定义得，限制条件：,代入坐标,2.椭圆的标准方程的推导,两边除以 得,由椭圆定义可知,总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式,焦点在y轴：,焦点在x轴：,椭圆的标准方程,图 形,方 程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,MF1+MF2=2a (2a2c0),定 义,两类标准方程的对照表,注:,共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭
5、圆；方程的左边是平方和，右边是1.,不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大.焦点在y轴的椭圆 项分母较大.,练习1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指 明a2、b2，写出焦点坐标,答：在 X 轴（-3，0）和（3，0）,答：在 y 轴（0，-5）和（0，5）,答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。,1.口答：下列方程哪些表示椭圆？,若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 ，写出焦点坐标.,?,练习：,0b9,练习：,a3,练习： 1.方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则k的范围是 . 2.椭圆mx2+ny2=-mn(mn
6、0)的焦点是 .,(0,4),3.已知方程 表示焦点在x轴 上的椭圆，则m的取值范围是 .,变式：已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范 围是 .,(0,4),(1,2),2、 已知椭圆的方程为： ，请填空： (1) a=_，b=_，c=_，焦点坐标为_，焦距等于_. (2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，并且CF1=2,则CF2=_.,变题： 若椭圆的方程为 ,试口答完成（1）.,若方程表示椭圆呢?,5,4,3,6,(-3,0)、(3,0),8,例1、填空： (1)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦，
7、则F2CD的周长为_,例题,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,0,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。,|CF1|+|CF2|=2a,练习,1 椭圆 上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10,A,2.已知椭圆的方程为 ，焦点在X轴上， 则其焦距为（ ） A 2 B 2C 2 D 2,A,例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程,1,2,小结:先定位(焦点)再定量(a,b,c) 椭圆的焦点位置不能确定时,椭圆的标准方程一般有两种情形,必须分类求出,例1：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离之和是10
8、的点的轨迹方程。,解：这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用F1、F2表示，取过点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。 2a=10 2c=8 a=5 c=4 b2=a2c2=9, b=3,因此这个椭圆的标准方程是：,定义法求轨迹方程。,变题1:已知ABC的一边BC固定，长为8，周长为18，求顶点A的轨迹方程。,.,解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。 根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆，且焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为 ：,y,o,B,C,A,x, 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9 所求椭圆
9、的标准方程为:,例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程,(1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上；(2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；(3) 两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经过点P（ -1.5 ，2.5）.,解： 因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为, c=2，且 c2= a2 - b2, 4= a2 - b2 ,又椭圆经过点, ,联立可求得：,椭圆的标准方程为,(法一),或,(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的 标准方程为,由椭圆的定义知，,所以所求椭圆的标准方程为,练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：,(2)焦点为F1(0,3),F2(0,3)
10、,且a=5.,答案：,(1)a= ,b=1,焦点在x轴上;,(3)两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；,(4)经过点P(2,0)和Q(0,3).,小结：求椭圆标准方程的步骤：,定位：确定焦点所在的坐标轴；,定量：求a, b的值.,例1 ： 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程,解：,以两焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，则这个椭圆的标准 方程可设为,根据题意有,即,因此，这个椭圆的标准方程为,3. 例题,
11、回顾小结,求椭圆标准方程的方法,解：,例1 ：将圆x2+y2 = 4上的点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， 并说明它是什么曲线？,设所的曲线上任一点的坐标为（x，y）,圆 上的对应点的坐标为（x，y），由题意可得：,因为 ,所以,即,1）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆。 2）利用中间变量求点的轨迹方程 的方法是解析几何中常用的方法；,练习,(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。,(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。,(3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。,解 (1
12、)因|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。,(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2)。,练习,例2 已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一 定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心 P的轨迹方程,解：设PBr 圆P与圆A内切，圆A的半径为10 两圆的圆心距PA10r， 即PAPB10(大于AB) 点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆 2a10， 2cAB6， a5，c3 b2a2c225916即点P的轨迹方程为 1,4、三角形ABC的三边a、b、c 成等差数列， A、C的坐标分别为（-1，0），（1，0）， 求顶点B的轨迹。,8.在ABC中，BC=24,AC、AB边上的中线之和为39，求ABC的重心的轨迹方程,y,x,o,E,F,G,A,C,B,P,F1,F2,练习,已知F1、F2是椭圆 的焦点，P为椭圆上一点，且 ，则 的面积为_.,
