1、整式的概念【学习目标】1掌握单项式系数及次数的概念； 2. 理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；3掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；4. 能准确而熟练地列式子表示一些数量关系【要点梳理】要点一、单项式 1.单项式的概念：如 ， ，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项2xy13mn式，单独的一个数或一个字母也是单项式要点诠释：（1）单项式包括三种类型：数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；单独的一个数；单独的一个字母（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算如： 可以写成 。但若分2st1st母中含有字母，如 就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的
2、乘积5m2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 要点诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率 是常数单项式中出现 时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是 1或-1 时， “1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如： 写成 24xy253.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是 1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算要点二、多项式
3、1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项 要点诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如： 是一个三项式267x3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数要点诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出要点三、 整式单项式与多项式统称为整式要点诠释：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示即单项式、多项式必是整式
4、，但反过来就不一定成立（2）分母中含有字母的式子一定不是整式【典型例题】类型一、整式概念辨析1指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？， ， ，10， ， ， ， ， ，2xy3ab61xy27mn5x2x7a【答案与解析】单项式有： ，10， ， ；2a多项式有： ， ， ， ；2xyxyx整式有： ， ， ，10， ， ， ， 3ab6127mn5x7a【总结升华】 不是整式，因为分母中含有字母； 也不是多项式，因为2x 1a不是单项式1a举一反三：【变式】下列代数式：，其中是单项式的是3 232111;-2xyabxy _，是多项式的是_.【答案】，类型二、单项式2指出下列
5、代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数， ， ， ， ，a-3， ， ，34ab42xmn2y582-10tmxy【答案与解析】 ， ， ， ， ， ， 是单项式，其a42-82t中的系数是 ，次数是 3； 的系数是-1，次数是 1； 的系数是 ，234ab4a42x42次数是 4；的系数是 ，次数是 4； 为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，2y35次数为 0；的系数仍按科学记数法表示为-310 8，次数是 3；82-1tm只含有字母因数，系数是 l，次数为字母指数之和为 32xy【总结升华】 （1）要区分数字因数、字母因数；（2）不能见了指数就相加，如 中，42x的指数 4 不能
6、相加，次数为 4；（3）有分数线的，分子、分母的数字都是系数；（4）4是常数，不能看作字母举一反三：【变式 1】单项式 3x2y3 的系数是 【答案】3【变式 2】下列结论正确的是( )A没有加减运算的代数式叫做单项式B单项式 的系数是 3，次数是 2237xyC单项式 m 既没有系数，也没有次数D单项式 的系数是- 1，次数是 42xyz【答案】D类型三、多项式3.多项式 ，这个多项式的最高次项是什么？一次项的系数是242153xyx什么？常数项是什么？这是几次几项式?【答案与解析】这个多项式中共有四项，分别为： ，它们的次数分242,153xyx别为：3,6,1,0；其中 的次数是 6，是
7、最高次项，一次项 的系数是-1，常数项是 1，它是六次四项423xy式【总结升华】确定多项式的次数时，分两步：（1）先求多项式中每一项的次数；（2）取这些次数中的最大的数即为多项式的次数4. 已知多项式 3231224675mxxyy(1)求多项式各项的系数和次数(2)如果多项式是七次五项式，求 m 的值【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项 的系数是-6，次数是 3；第2xy二项 的系数是-7，次数是 3m+1；第三项 的系数是 ，次数是 4；第四项312mxy 34系数是-l，次数 3；第五项-5 系数是-5，次数是 02(2)由多项式是七次五项式，可得 的次数是 7，即 3
8、m-1+27，解得3127mxym2【总结升华】对于单项式 的次数为 3m+1 的认识会不太习惯，通过适量的练习，3127mxy会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识举一反三：【变式】多项式 是关于 的二次三项式，求 a 与 b 的差的相反数34baxx【答案】 04224.abba解 ： 由 题 意 得类型四、整式的应用 5. 用整式填空：(1)某商场将一种商品 A 按标价的 9 折出售(即优惠 10%)仍可获利 10%，若商场商品A 的标价为 a 元，那么该商品的进价为_元(列出式子即可，不用化简 )(2)甲商品的进价为 1400 元，若标价为 a 元，按标价的 9 折出售；乙商品的
9、进价是400 元，若标价为 b 元，按标价的 8 折出售，列式表示两种商品的利润率分别为甲：_ 乙：_【答案】(1) ；(2)甲商品的利润率为 100%，90%10%14乙商品的利润率为： 100%40【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价” 、 “标价” 、 “利润” 、 “利润率” 、 “打折”等问题，打几折就是标价的十分之几 【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系：(1)利润售价进价 ; (2)利润率-售 价 进 价进 价举一反三：【变式】 （2014 秋栖霞市期末）对下列代数式作出解释，其中不正确的是（ ）A. ab：今年小明 b岁，小明的爸爸 a岁，小明比他爸爸小（ab）岁B
10、. ab：今年小明 b岁，小明的爸爸 a岁，则小明出生时，他爸爸为（ab）岁C. ab：长方形的长为 acm，宽为 bcm，长方形的面积为 abcm2D. ab：三角形的一边长为 acm，这边上的高为 bcm，此三角形的面积为 abcm2【答案】D.6. （2015重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第个图形中一共有 6个小圆圈，第个图形中一共有 9个小圆圈，第个图形中一共有 12个小圆圈，按此规律排列，则第个图形中小圆圈的个数为（ ）A. 21 B. 24 C.27 D. 30【答案】 B【解析】观察图形得：第 1个图形有 3+31=6个圆圈，第 2个图形有 3+32=9个圆圈，第 3个图形有 3+33=12个圆圈，第 n个图形有 3+3n=3（n+1）个圆圈，当 n=7时，3（7+1）=24，故选 B【总结升华】找规律问题一般应经历四个阶级“特例引路” 、 “对比分析” 、 “总结规律” 、“反思检验”等
