1、1.2 平面力系及平衡方程一、概述1力系的的概念力系 作用在同一物体上的一群力（一组力）。2平面力系及分类平面力系 力系中各力作用在同一个平面内。平面力系又分平面汇交力系、平面平行力系、平面一般力系。图 1-36平面汇交力系（ 2）平面平行力系：力系中各力作用在同一个平面内，且各个力的作用线都相互平行，如图 1-37所示。图 1-37平面平行力系（ 1）平面汇交力系：力系中各力作用在同一个平面内，且各个力的作用线都汇交于一点，如图 1-36所示。图 1-38平面一般力系（ 3）平面一般力系：力系中各力作用在同一个平面内，且各个力的作用线在平面内任意分布，如图 1-38所示。二、平面汇交力系1、
2、力在坐标轴上的投影设力 F作用于物体的 A点，如图所示。 定义：从力 F的两端分别向选定的坐标轴 x， y作垂线 ,其垂足间的距离就是力 F在该轴上的投影 。若已知力 F的大小及其与 x轴所夹的锐角 ，则力F在坐标轴上的投影 Fx和 Fy可按下式计算：Fx=FcosFy=Fsin力在坐标轴上的投影有两种特殊情况：(1) 当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影等于零。(2) 当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的绝对值等于力的大小。 如果已知力 F在直角坐标轴上的投影 Fx和 Fy，则力 F的大小和方向可由下式确定力 F的指向和投影 Fx和 Fy的正负号判定 : 如果把力 F沿 x、 y轴分解为两
3、个分力 F1、 F2，投影的绝对值等于分力的大小， 投影的正负号指明了分力是沿该轴的正向还是负向。（力的投影是代数量）。 力的投影与分力关系 : 将力 F沿直角坐标轴方向分解，所得分力 Fx、 Fy的值与力 F在同轴上的投影的绝对值相等。但是， 力的分力是矢量，具有确切的大小、方向和作用点； 而力的投影是代数量，不存在唯一作用线问题。合 力投影定理： 力系的合力在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。即 2、合力投影定理3、平面汇交力系合成的解析法4、平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要和充分条件是 ： 力系的合力为零。即：总结：例 1-6 如下图所示重为 G=5kN的球放在
4、 V型槽内，求槽面对求的约束反力。12三、平面力偶系平面力偶系 :作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系设有两个力偶 d d13平面力偶系平衡的充要条件是 :所有各力偶矩的代数和等于零。 结论 :平面力偶系合成结果还是一个力偶 ,其力偶矩为各力偶矩的代数和 。例 1-7在一钻床上水平放置工件 ,在工件上同时钻 3个等直径的孔 ,每个钻头的力偶矩为 M1=M2=13.5Nm ， M3=17Nm ，求工件的总切削力偶矩。若在 A 、 B两处用螺柱固定， A和 B质检的距离 L=0.2m，求两个螺柱在该水平面内所受的 力 ? 15练习 在一钻床上水平放置工件 ,在工件上同时钻四个等直径的孔 ,每个
5、钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和 A 、 B端水平反力 ? 解 : 各力偶的合力偶距为根据平面力偶系平衡方程有 :由力偶只能与力偶平衡的性质，力 NA与力 NB组成一力偶。1、力的平移定理：作用于刚体上某一点 A的力可以平移到刚体上的任一点， 但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力 F对新作用点 B的矩 .四、平面任意力系(F )F=F”=F ,(F,F”,F) (F,M)F,F”,F F,M思考： 1.附加力偶作用面在哪儿？2.同一平面内的一个力和一个力偶能否等效成一个力？结论： 一个力平移的结果可得到同平面的一个力和一个力偶；反之同平面的一个力 F1和一个力偶矩为 m的力偶也一定能合
6、成为一个大小和方向与力 F1相同的力 F， 其作用点到力作用线的距离为 :FR=F1+F2+F3+ +Fn F1=F1 M1=Mo(F1)(F1,F2,F3,Fn) (F1,F2,F3,Fn)(M1,M2,M3,Mn)(FR,Mo)F2=F2 M2=Mo(F2)F3=F3 M3=Mo(F3)Fn =Fn Mn=Mo(Fn)力系的 主矢Mo=M1+M2+M3+ +Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+ +Mo(Fn)= Mo(Fi)向 O点简化的 主矩=F1+F2+F3+ +Fn= Fi2、平面任意力系的简化结论： 平面任意力系向其作用平面内一点简化，得到一个力和一个力偶 。这个力等于该力系的 主矢
7、，作用于简化中心 ； 这个力偶的力偶矩等于该 力系对简化中心的主矩。 即 平面任意力系的简化结果 ： 合力偶 M O ； 合力(1)简化方法汇交力系合力一般力系（任意力系） 汇交力系 +力偶系向一点简化（未知力系） （已知力系）附加力偶的合力偶矩(2)主矢与主矩主矢： 指原平面一般力系各力的矢量和 。主矢 的解析求法 方向 ：大小 ：注意 ： 因主矢等于原力系各力的矢量和 ,所以它 与简化中心的位置无关。转向 + 主矩： 指原平面一般力系对简化中心之矩的代数和 。 主矩 MO正、负规定 ：因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和，所以它的大小和转向一般与 简化中心有关。注意 ：=(1)FR=0，而
8、 MO0，原力系合成为力偶。这时力系主矩 MO 不随简化中心位置而变。(2)MO=0，而 FR0，原力系合成为一个力。作用于点 O 的力 FR就是原力系的合力。(3) FR 0， MO0， 原力系简化成一个力偶和一个作用于点 O 的力。这时力系也可合成为一个力。说明如下：MOOFROdMoAFR”O dMoAFRFR”FR=( )FmFRMd = 00FR平面力系简化结果的讨论综上所述，可见：(4) FR=0，而 MO=0，原力系平衡。 平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不为零时，则该力系可以合成为一个力。 平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。3、平
9、面力系的平衡方程所以平面任意力系平衡的必要和充分条件是：主失和主矩均为零。注意：上式中只有三个独立的平衡方程，只能解出三个未知量。（ 2）平衡方程（ 1）平衡条件以上每式中只有三个独立的平衡方程，只能解出三个未知量。平衡方程的其他形式：二矩式方程两矩心的连线与投影轴 不垂直三矩式方程三矩心 不共线（ 3）平衡方程的应用求解单个物体的平面力系平衡问题时，一般按如下步骤进行。 选定研究对象，取出分离体； 画受力图； 取适当的投影轴和矩心，列平衡方程并求解。例 1-8 求下图中铰链 A、 B处的约束反力。例 1-9 如下图所示， P=2kN，均布载荷集度 q 1kN/m，不计杆重，求杆在 A、 B处的约束反力。【 习题 1】 悬臂梁如图 1-44所示，梁上作用有均布载荷，载荷集度为 q 10kN/m，在梁的自由端受集中力 F 12kN和力偶矩为 M 6 kNm的力偶作用，梁的长度为 L 1.5m，试求固定端 A处的约束反力。图 1-44悬臂梁
