1、第七章 尺度空间,在不同的应用背景中，图像的光滑程度是不同的，是经过不同程度的图像光滑而得到的，将这些图像光滑变换有机的结合起来，就形成了抽象框架尺度空间。,前面讨论的是单个变换的性质，现在讨论尺度空间中一族图像变换所具有的特性。首先，尺度空间赋予两个方面的限制条件：一方面与尺度空间的结构有关，包括规则性、局部比较原则和金字塔结构。另一方面的限制与不变性有关，包括平移不变性、伸缩不变性、欧氏不变性和仿射不变性以及灰度平移不变性和对比不变性，依次讨论在不同限制条件下尺度空间所具有的特性。 另外，尺度空间具有一个重要的特征被一个偏微分方程所控制。,7.1 尺度空间的定义 尺度空间（scale sp
2、ace）是一个抽象的框架，从算法的观点看，是滤波器的迭代。在这个框架中，可以分析滤波器迭代所具有的逼近性质，对滤波器进行分类。例如，所有的线性滤波器都可以归为一类，因为所有的线性滤波器局部化和迭代后都收敛于同 一个结果热传导方程初值问题的解。 定义1：一族以t0为参数的图像光滑算子Tt称为一个尺度空间，记为 TttR+，其中t称为尺度参数。对于一副图像u0(x)，称Ttu0是图像在u0在尺度t的映像，尺度参数t定量的反映图像被光滑的程度。,在尺度空间上定义一个性质比较好的代数结构： 定义2：称尺度空间具有金字塔（pyramidal）结构，如果 T0 = id，任取t，h，存在Tt+h,t，使得
3、 Tt+h= Tt+h,t Tt ，其中Tt+h,t被称为转移算子，id是图像的恒等变换。图刻画了此结构，说明 光滑程度较大的Tt+su0可以在 尺度空间 TttR+中沿一条光滑 图像所组成的路径 Ttu0(ts)到达。,如果Tt+h,t=Th，则该尺度空间就构成了一个有恒等元 （图像的恒等变化）的半群。 定义3：尺度空间TttR+是递归的（recursive），如果对于任意的s,t0和图像uT0 = id 和 Tt+s(u) = Ts 。Tt(u) 如果满足递归条件，那么Tt可以Tt/n迭代n次得到。 所有的运算都是对图像信息作组合，没有其它的特征在这个过程中加入进来，所以参数t越大，图像内
4、容就越简单，即，图像u0在尺度st的映像 Tsu0 比 Ttu0 简单。,例：前面把热传导方程初值问题在t时刻的解作为图像光滑算子，记为Rt。不同时刻的Rt就组成一个尺度空间 RttR+，Rt(u0)就是图像u0在尺度空间RttR+中尺度t的映像，记方程在t时刻的解为ut，在t+s时刻的解为ut+s，容易证明ut+s也是下面方程s时刻的解，满足定义3。,7.2 尺度空间的性质 再为尺度空间加上一些限制条件，一部分是由图像变换所必须满足的一些基本性质转化而成的，另一部分是为了导入偏微分方程作为分析尺度空间的数学工具而特别添加的。 定义4：设x,y为图像中的点，y在x的某一邻域中。如果两幅图像u,
5、v满足u(y)v(y)，那么存在足够小的h满足(Tt+h,tu)(x) (Tt+h,tv)(x) 如果对于任意点 xW式都成立，则称尺度空间 TttR+满足局部比较原则（local comparison principle）。,如果尺度空间TttR+满足局部比较原则，那么经过一个很短的时间h后，图像u局部比v亮（灰度值大）的这种特性依然得到保留。 为导入偏微分方程提出下面的定义，首先约定一个记号表示内积，即对于图像支撑集中的两点x = (x1,x2),y = (y1,y2)= x1y1 + x2y2 定义5：假设y在x的某个邻域中，具有u(y) = 1/2 + + c * 形式的函数u被称为是
6、一个二次式，其中A是一个22的对称矩阵，p是一个2维向量，c为一个常数。称尺,度空间是规则的（regular），如果存在一个函数 F(A,p,x,c,t)，它对于A是连续的，并且(Tt+h,tu - u)(x) h F(A,p,x,c,t) 当h 0 * 定义说明： （1）根据图像模型的假设uC2，那么图像可以作以下的展开u(y) = u(x) + + 1/2+ o(|x-y|2) *式中二次式u的特殊之处就是o(|x-y|2)为0，*成立也仅仅局限于二次式,（2）F拥有5个自变量A,p,x,c,t，实质却是9个实数自变量。其中对称矩阵A包含3个实参数；一个二维向量p包含2个实参数；常数c是一
7、个实参数；一个二维点x包含2个实参数；正的尺度参数t是一个实参数。 定义6：称尺度空间是因果的（causal），如果它是规则的，同时满足局部比较原则和金字塔结构。 例：Extrema kill算子，其步骤 一、事先给定一个阈值t； 二、记图像u在灰度l的水平集为 cu(l)，它由若干个连通区域cau(l)组成,三、去除面积比阈值t小的区域，则改变了原水平集，新水平集定义为（meas为Lebesgue测度）四、图像变换的结果Ttu(x)由最大值表示公式得到，Ttu(x) = sup l; xcu(l,t) 上述算子定义中的尺度参数t实际上是一个面积参数，由此组成的尺度空间TttR+具有一下的性质
8、： （1）满足金字塔结构，令 t = 0，则,T0u(x) = sup l; xcu( l,0) = sup l; xcu(l) =u(x) 所以T0 = id。 定义转移算子Tt+h,t ，可以验证，Tt+h = Tt+h,tTt。事实上，Extrema killer算子在步骤三中 cu(l, t+h) 去除了cu(l)中面积小于t+h的区域，这个区域分为两个部分：面积小于t的区域和面积大于t而小于t+h的区域。Tt的作用是去除了面积小于t的区域，Tt+h的作用是去除了面积大于t而小于t+h的区域。 （2）满足局部比较原则。 （3）它在t=0是规则的，更进一步就是F(A,p,x,c,0) =
9、 0，如果p0。,7.3 偏微分方程和尺度空间 如果尺度空间满足因果性假设，那么这个尺度空间可以被一个偏微分方程导出。 定理1：如果尺度空间TttR+是因果的，那么存在一个函数F(A,p,x,c,t)，满足当h0+时，上式对所有的图像u和x都满足，并把F称为尺度空间的相关函数，另外，F对于第一个参数是递增的，即如果A在对称矩阵中大于等于 （ A-是正定矩阵），那么F(A,p,x,c,t) F(,p,x,c,t),证明：令w(x)=1/2 + + c为R2中一个二次式。根据规则性，当h0+时(Tt+h,tw - w)(x) h F(A,p,x,c,t) 并且函数F对参数A是连续的。 令图像函数u
10、为R2到R的映射，在x点是C2的，将证明*对于u在x点是成立的，并且*中的F和规则假设所引用的F是同一个函数。 因为u在x点是C2的，所以对于x领域中的点y，其灰度值u(y) = u(x) + + 1/2 + o(|x-y|2) 其中Du，D2u为一阶和二阶微分算子，,任取e0定义如下二次式： Q+(y) = u(x)+ 1/2+ 1/2e(x-y)2 Q-(y) = u(x)+ 1/2 - 1/2e(x-y)2 当yx，并且| y-x |足够小时，Q-(y) u(y) Q+(y) 根据局部比较原理Tt+h,tQ-(x) Tt+h,tu(x) Tt+h,tQ+(x) 由上面的两个二次式可得(y
11、=x)Q+(x) = u(x) = Q-(x),所以有 Tt+h,tQ-(x) - Q-(x) (Tt+h,tu)(x) - u(x) Tt+h,tQ+(x) - Q+(x) 用h除上式，并令h0，因为TttR+是规则的，所以,那么当e0，再次利用尺度空间的规则性，得到下面证F对第一个参数A是不减的,对任意向量p和矩阵A，令Q+(y) = c+ 1/2+ 1/2e(x-y)2Q-(y) = c+ 1/2 - 1/2e(x-y)2 在x的某个邻域中，Q-(y) Q+(y) 应用局部比较原理，得到Tt+h,tQ-(x) Tt+h,tQ+(x) 所以,即F( - eid ,p,x,c,t ) F(
12、A+eid,p,x,c,t ) 令e0 得到F(,p,x,c,t) F(A,p,x,c,t) 通过定义4把一个规则性的模型赋予尺度空间；通过定理1可以说明，所有的迭代滤波器（或者所有的尺度空间）可以通过对相关函数F的分类来实现。,7.4 尺度空间和不变性 7.4.1 灰度平移不变 定义7：称尺度空间TttR+是灰度平移不变的（invariant by grey value translation），如果Tt+h,t(0) = 0Tt+h,t(u+C) = Tt+h,t(u) + C 即 (u+C)(x) = u(x)+C 定义具有性质：如果Tt+h,t是个线性算子，根据第五章，它可表示图像u和
13、某个函数j的卷积，即 Tt+h,t(u) = uj，那么,定理2：设TttR+是因果的尺度空间，并且是灰度平移不变的，那么其相关函数F(A,p,x,c,t)不依赖于c。证明：令C是一任意实数，考察二次式u(y)= 1/2 + + c 由规则性的由灰度平移不变和规则性，得,由上面两个式子得F( A,p,x,c+C,t ) = F( A,p,x,c,t ),7.4.2 几何不变性公理 定义8：称尺度空间满足平移不变（translation invariant），如果y, t0, h0Tt+h,t(tyu) = ty(Tt+h,tu) 其中tyu(x) = u(x-y)。定理3：若TttR+是因果的
14、且平移不变的尺度空间，则其相关函数F(A,p,x,c,t)与x无关。,证明：考虑二次式u(y) = 1/2 + + c 和txu(y) = 1/2 + + c 由规则性假设和,再由平移不变性由上面三个式子得F( A,p,x,c,t ) = F( A,p,0,c,t ),定义9：尺度空间满足欧氏不变性（Euclidean invariant），如果对于任意一个保距变换R，有RTt+h,t= Tt+h,tR 其中Ru(x) = u(Rx) = u 。R(x)。保距变换R可以表示为Rx = Rx + y 其中R是一个矩阵，y为一个平移量。在平移不变的情况下，只需要考虑Rx = Rx。 下面不区分R与
15、R。,定理4：如果一个灰度平移不变和因果的尺度空间是欧氏不变的，则它的相关函数F满足：任取R，F( RART,Rp,t ) = F(A,p,t) 证明：因为欧氏不变，所以肯定是平移不变的，由定理2知，F与常数c无关，再由定理3知，F与x无关。根据二元函数求导的链式规则，有D2(u 。R) = RTD2(u 。R)RD(u 。R) = RT D(u 。R) 已知Tt+h,tR = RTt+h,t，把这一关系应用于二次式u(y) = 1/2 + + u(x) 并令D2u(x) = A，Du = p，则,Tt+h,t(Ru) = R(Tt+h,tu) 即 Tt+h,t(u 。R) = (Tt+h,t
16、u) 。R 对上式求h = 0处的偏导，得根据定义5和上面的链式规则,于是 F( RTD2(u 。R)R ,RTD(u 。R),t) = F(D2u,Du,t) 。R 即 F( RTAR,RTp,t ) = F(A,p,t) 将R换成RT就得到结论。 ,7.4.3 对比不变性公理 定义10：一个递增函数g:0,10,1被称为是对比变换。尺度空间是对比不变的，如果对于任意对比变换g，满足g 。Tt+h,t = Tt+h,t。g 定理5：如果一个因果的尺度空间是对比不变的，则其相关函数F满足对于一个确定的xF( mA+lpp, mp,x,c) = mF(A,p,x,t) 如果同时尺度空间又是平移不
17、变的，那么F( mA+lpp, mp,x,c) = mF(A,p,t),其中l, m为任意实数，A为任意对称矩阵，p为任意二维向量，pp表示张量积，p是列向量，即pp = ppT 是一个22的矩阵。 证明：如果取g(0) = 0，g(s) = s+C，可以看出，对比不变隐含说明灰度平移不变，所以只需令对比变换g(s)=s+C就可以了。由定理2，F与c无关，根据对比不变性 Tt+h,t。g = g 。Tt+h,t 将其应用满足A = D2u(x),p = Du(x)的二次式u得到Tt+h,t(g 。u) = g 。(Tt+h,tu) 对上式两边求h = 0处偏导，得,再由规则性，得F( D2(g
18、(u), D(g(u), x,t ) = g(u) F( D2u,Du,x,t ) 由链式公式D2( g(u) ) = g(u) D2u + g(u) DuDuD( g(u) ) = g(u) Du 又考虑到 Du(x) = p, D2u(x) = A 同时g(u),g(u)取为m，l，就得到结论。 ,7.4.4 伸缩不变性公理和仿射不变性公理 定义11：称尺度空间是伸缩不变的（scale invariant），如果存在一个重整尺度函数t(t,l) ，并定义对于所有的l0,t0满足HlTt,s = Tt,sHl * 其中，把 t(t,l), s(s,l)简记为t,s。同时， t(t,l)在l=
19、1处对l是可微的，并且是连续的、正的。,事实上，由*可以推出HlTt = TtHl 用lx表示对坐标的一个缩放，Hlu表现图像u的一个缩放。 定义仿射不变性：仿射变换B的定义，Bx是一个2维的点。定义Bu为Bu(x) = u(B-1x) 或 Bu(Bx) = u(x) 任意一个仿射变换都可以分解为一个矩阵乘法和一个平移，即Bx = Bx + y,定义12：称缩放不变的尺度空间是仿射不变的（affine invariant），如果在重整尺度t(t,B)，并且对所有的t0和所有满秩的仿射变换B满足BTt,s = Tt,sB, B，st0 其中记t= t(t,B), s= s(t,B) 。 定理6：
20、（尺度的规范化） （i）假设映射tTt是一一映射并且是缩放不变的，Tt是作用在图像空间上的算子族，且满足T0=id，则存在一递增可微的重整尺度函数s:0, )0, ) ，满足t(t, l) = s -1 ( s(t) l) 并且 t(t,l) = tl。,（ii）假设算子族Tt是仿射不变的，则函数t(t,B) 仅与t和|detB|有关，即t(t,B) = t(t, |detB|1/N) 它对于自变量t是递增的。而且，存在一递增可微的重 整尺度函数s:0, )0, )满足t(t, l) = s -1( s(t) |detB|1/N ) 如果设 St = Ts-1(t) 有t(t,B) = t(t
21、, |detB|1/N),下面给出二维对比不变尺度空间的特殊情况作为曲率驱动方程。并证明如果二维尺度空间TttR+通过等距和对比不变性变化是因果的和不变的，那么它服从方程ut = | Du | G( curv(u), t ) ，如果对TttR+再加强条件：仿射不变性和反对比不变性，即Tt(-u)=-Tt(u)，则产生一个简单方程（AMSS）ut = curv(u)1/3 | Du | 这个结果可以推广到任意维，只考虑二维。 由定理1，考虑由下面的偏微分方程定义的空间模型ut = F( D2u, Du, u, x, t ) u(0) = u0,这里，u0是要分析的图像，u(t,x)是在尺度t时的
22、要分析的图像。F(A,p,c,x,t)依赖一个22的矩阵A，一个二维向量p，一个常数c，平面上的一个点x和一个正实数尺度t，如果假设 （1）平移不变性，则F不依赖x（定理3） （2）灰度平移不变性，则F不依赖c（定理2） （3）各向同性，即欧氏不变性假设，对F加以限制（定理4） （4）对比不变性（定理5）,考虑二维的情况，记p = (p1,p2)，那么由定理2、3由F的简化形式，依赖两个实参数1,1(A,p), 1,2(A,p)可通过旋转矩阵来定义此时，Rp被转化成单位向量e1 = (1,0)T，即Rpp = | p | e1,设置设 p = ( -p2,p1 ) ，则p与p正交，容易得到,定
23、理7：如果F(A,p,t)满足F( RART,Rp,t ) = F(A,p,t) * 和 F( mA + lpp, mp,t) = mF(A,p,t) * 那么存在一个函数G，仅仅依赖于3个参数，即 F(A,p,t) = | p | G(1,1,1,2, t) 证明：首先利用*式，令m = 1|p|，则 F(A,p,t) = | p | F(A|p| + lpp, p|p|, t) 对任意l应用 * 和 R = RTp，得,F(A,p,t) = |p| F( Rp(A|p|)RpT+lRp(pp)RpT, e1, t ) 对任意实数值l容易验证根据*有因此，F只依赖与1,2, 2,2得到结果。
24、 ,定理8：函数G只依赖与2,2和t。 证明：由定理1知F(A,p,t)是A的不减函数，看*固定p0，考虑A和O满足AO，有令,类似设置1,1, 1,1。由于(p,p) 是正交的，则AB当且仅当每一个实数对(x,y)(1,1 - 1,1)x2 + 2(1,2 - 1,2)xy + (2,2 2,2 )y2 0 固定 2,2 - 2,2 = e 0。如果 -1,1取得足够大，对 应于 1,1, 1,2, 1,2, e的任意固定值，则上式都会被满足，对每一对(x,y)。这样，F(A,p,t)F(O,p,t)，有G(1,2, 2,2,t ) G(1,2, 2,2 - e ,t ) 这个关系对每一个
25、1,1, 1,2, 1,2, e都成立。利用F的连续性，令e0，有G(1,2, 2,2,t ) G(1,2, 2,2 ,t ) 对任意三个变量成立 则G只依赖第二和第三个变量。 ,定理9：如果二维尺度空间Tt通过等距和对比变换是因果和不变的，则它遵从下面等式：ut = | Du | G( curv(u), t ) 此处G对于它的第一个变量是不减、连续的函数。定理10：令Tt是一因果的、各向同性、对比不变的尺度空间，另外，假设它是伸缩不变的并且根据定理6它被标准化。则它的方程是：ut = | Du | b( tcurv(u) ) 此处b是一不减的、连续的函数。,如果利用仿射不变性作用到尺度空间，
26、并假设cd标准化，那么它的方程是ut = | Du | g( t curv(u) ) 其中对任意的正常数C,D，反过来，这个方程也定义了一个仿射不变尺度空间。,定理11：如果一个因果的尺度空间是仿射不变的，经定理6所叙述的重新标准化后，它的伴随函数F，满足F( BABT,Bp,t ) = | detB |1/2F( A,p,|detB|1/2t ) 证明：设Tt+h,tB = BTl(t+h),lt ，其中l = | detB |1/2 将上述关系用到关于u的二次式（定义5）中，并满足 D2u(x) = A, Du(x) = p，那么Tt+h,t (Bu) = B(Tl(t+h),ltu) 即
27、Tt+h,t (u 。B ) = (Tl(t+h),ltu) 。B 对上式两边在h=0出求偏导得到：,由于 D2(u 。 B) = BT(D2u 。B)B 和 D(Bu) = BT(Du 。B) 并利用规则性和题设条件，得到 F( BT(D2u 。B)B,BT(Du 。B),t ) = lF(D2u 。B,Du 。B, lt) 可以推出F( BTAB,BTp,t ) = | detB |1/2 F(A,p,| detB |1/2t ) 用BT替换B就得到结论。 ,定理12：为了得到C=D，利用反对比不变性已足够，它把对比不变性 Tt+h,t。g = g。Tt+h,t扩展到不减对比函数g。 证明
28、：由定理11，如果一个因果的尺度空间是仿射不变的，那么经过适当的重新标准化后，它的交换函数F满足F( BTAB,BTp,t ) = | detB |1/2 F(A,p,| detB |1/2t) 对任意的线性映射B成立。 首先将这个关系应用到B = cid的情况，则,通过上面的关系，有c |p| G(c2,2(A,p),t) = c |p| (2,2(A,p),ct) 既然这个关系对任意的A,p,c,t都成立，则有：c, s, t0, G(cs,t) = G(s,ct) 选择c = t -1，得到 G(s,t) = G(st,1) = b(st)，b为一不减函数。 这就证明了定理的第一个陈述。
29、推广到一般的仿射不变性。为了验证幂指数1/3，只需表达出在正交的特殊情况下，仿射不变性和起决定作用的1的密切关系，,事实上，每一个平面线性映射都是等距和B(l)的一个乘积，总是通过等距充分利用不变性。首先计算因此，由*有我们知道,把这个关系用到仿射不变性关系中得到|Bp| b(t2,2(BTAB,Bp) = |p| b(t2,2(A,p)取p2=0, p1=1, a2,2=1，有上面的关系得|l| b(tl3) = b(t),7.5 一个例子：线性尺度空间 定理13：令TttR+是一个因果的尺度空间，并具有以下性质：对于任意xR2，pR2和22的对称矩阵A，存在图像函数u满足Du(x) = p
30、,D2u(x) = A。如果尺度空间中的转移算子Tt,s是线性的并且是欧氏不变的，那么函数u(t,x)=(Ttu0)(x)是下面热传导方程在t时刻的解,证明：既然这个尺度空间是平移不变的，所以F(A,p,x,c,t) = F(A,p,c,t) 并且对于灰度平移也是不变的，所以F(A,p,c,t) = F(A,p,t) 如果u是任意的C2函数，由定理1从Tt+h,t的线性性质可以推出F对于u是线性的，因此对于任意实数r,s和任意的C2函数u,v有下面关系成立F( rD2u+sD2v,rDu+sDv,t ) = r F(D2u,Du,t) + s F(D2v,Dv,t),在这些变量中，固定t且忽略
31、它，用F(A,p)代替F(A,p,t)，对于任意向量p,p和对称矩阵A,A有：F( rA+sA,rp+sp) = r F(A,p) + s F(A,p) 和 F(A,p) = F(A,0) + F(0,p) 可以得到 F(A,p) = F1(p) + F2(A)， 并且F1,F2是线性的。通过尺度空间的欧氏不变性，有F( RTAR,RTp ) = F(A,p)，对R2中任意保距变换R 取A=0，从前面的关系中推出F1(Rp) = F1(p)，对任意的保距变换R。既然F1是线性的，只有可能F1(p) = 0，对任意的p。这样，F(A,p) = F1(A)。,再根据欧氏不变性，有F2(RTAR)=
32、 F2(A)，对任意的R和任意的对称矩阵A都成立。而每一个对称矩阵都能用一组正交基对角化，并且每一对正交基都能通过一个保距变换改变。 我们看到，F2值依赖于A的特征值l1,ln，有 F2(A) = F2(l1,ln) 而特征值的次序也能通过等距变换改变，又因为 F2(l1,ln)在特征值的任何置换下不变，即F值依赖于特征值的对称函数。 于是，在上述的线性对称系统中，l1,ln这n个变量的对称函数依赖于它们的和。这样，F2(A)只依,赖A的迹，也就是存在某个常数c，满足 F2(A) = c trace(A) 综上所述，得出结论F(D2u,Du) = cu。既然F对于A是单调递增的，且c是非负的，按前面的结论，我们忽略了F中的t，这样实际的推论是F(D2u,Du,t) = c(t)u，对某个连续的、非负的函数c(t)。 通过 t(t) t = c(t) 得到新尺度t(t)，可得到一个标准形式的热传导方程ut - u = 0 ,
