1、1圆的基本性质第一节 圆 第二节 图形的旋转 第三节 垂径定理（选学） 第四节 圆心角 第五节 圆周角 第六节 圆内接四边形第七节 正多边形 第八节 弧长及扇形的面积 十二大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、旋转的概论及性质4、垂径定理5、垂径定理的逆定理及其应用6、圆心角的概念及其性质【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O ，另一端点 P 所经过的 叫做圆，定点 O 叫做 ，线段 OP 叫做圆的 ，以点 O 为圆心的圆记作 ，读作圆 O。2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。3、弧：圆
2、上任意 叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“”就可表示出来。4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点 P 到圆心 O 的距离为 d，O 的半径为 R，则：点 P 在O 外 ；点 P 在O 上 ；点 P 在O 内 。6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上7、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。8、过 的三点确
3、定一个圆。9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。三角形的外心是三角形三条边的 【典型例题】【题型一】证明多点共圆例 1、已知矩形 ABCD，如图所示，试说明：矩形 ABCD 的四个顶点 A、B、C、D 在同一个圆上DB CA【题型二】相关概念说法的正误判断例 1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题： 直径是弦； 经过三个点一定可以作圆； 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等； 半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有（ ）A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个例 2、下列说法中，错误的是（ ）7、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系8、
4、圆周角定理9、圆周角定理的推论10、圆内接四边形的概念与性质定理11、正多边形的概念与作法12、弧长的计算与扇形面积的应用2DBCOA ENM BAA.直径是弦 B.半圆是弧 C.圆内最长的弦是直径 D.弧小于半圆例 3、下列命题中，正确的是（ ）A三角形的三个顶点在同一个圆上 B过圆心的线段叫做圆的直径C大于劣弧的弧叫优弧 D圆内任一点到圆上任一点的距离都小于半径例 4、下列四个命题： 经过任意三点可以作一个圆； 三角形的外心在三角形的内部； 等腰三角形的外心必在底边的中线上； 菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。其中真命题的个数（ ）A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.0 个【题型三
5、】点和圆的位置关系的判断例 1、O 的半径为 5，圆心 O 在坐标原点上，点 P 的坐标为（4，2），则点 P 与O 的位置关系是（ ）A点 P 在O 内 B点 P 在O 上 C点 P 在O 外例 2、已知矩形 ABCD 的边 AB=3cm，AD=4cm，若以 A 点为圆心作A，使 B、C、D 三点中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外，则A 的半径 r 的取值范围是 【题型四】“不在同一条直线上的三点确定一个圆”的应用如“把破圆复原成完整的圆”；如“找一点，使它到三点的距离相等”：方法就是找垂直平分线的交点例 1、平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为 【题型五】圆中角的求解如图，AB 为
6、O 的直径，CD 为O 的弦，AB、CD 的延长线交于点 E，已知 AB=2DE，E=18，求AOC 的度数温馨提醒： （1）在同圆或等圆中，直径为半径的 2 倍；（2）圆中常用半径相等来构造等腰三角形，这些看似十分简单的性质和方法，却最容易被遗忘。巩 固 练 习1、如图，一根 5m 长的绳子，一端拴在柱子上，另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动），请画出羊的活动区域。2、如果O 所在平面内一点 P 到O 上的点的最大距离为 7，最小距离为 1，那么此圆的半径为 3、如图，点 A、D、G、M 在半圆上，四边形 ABOC，DEOF、HMNO 均为矩形，设 BC=a，EF=b，NH=c，则 a，b
7、，c的大小关系是 3m第 3 题第 5 题34、已知O 的半径为 1，点 P 与圆心 O 的距离为 d，且方程 x2-2x+d=0 有实数根，则点 P 在O 的 5、如图，MN 所在的直线垂直平分线段 AB，利用这样的工具，最少使用 次就可以找到圆形工件的圆心6、若线段 AB=6，则经过 A、B 两点的圆的半径 r 的取值范围是 7、在 RtABC 中，C=90，两直角边 a、b 是方程 x2-7x+12=0 的两根，则ABC 的外接圆面积为 8、如图，平面直角坐标系中一第圆弧经过网格点 A、B、C，其中 B 点坐标为（4，4），那么该圆弧所在圆的圆心坐标为 9、已知圆上有 3 个点，以其中两
8、个点为端点的弧共有 条【课本相关知识点】1、旋转与旋转中心的概念一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个固定的点叫做旋转中心。2、图形旋转的性质（1）图形旋转所得到的图形和原图形全等（2）对应点到旋转中心的距离相等。任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度3、平移、旋转与轴对称的特征（1）图形平移得到的图形与原图形全等，但平移前后对应点之间的连线互相平行（或在同一条直线上）且相等（2）图形经过轴对称得到的图形的对应点之间的连线与对称轴互相垂直（或在一条直线上）（3）图形旋转得到的图形
9、与原图形全等，但旋转前后对应点之间连线的夹角相等。【典型例题】题型一、旋转图形的相关概念例 1、如图，ABC 为等腰三角形，BAC=90，D 为 BC 边上一点，将ABD 旋转至ACE 的位置（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转角度有多少度？（3）分别指出 B、D 的对应点（4）分别指出1 与2 的对应角及线段 BD、AD 的对应边21 EAB CD例 2、分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示。将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是_度。例 3、如图，在 64 方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）xyO
10、A B C 例 2例 34题型二、旋转图形的性质及应用例 1、如图，在等边三角形 ABC 中，AB=6，D 是 BC 上一点，且 BC=3BD，ABD 绕点 A 旋转后得到ACE，那么 CE=_ 例 2、如图，在直角OAB 中，AOB=30 ，将OAB 绕点 O 逆时针旋转 100得到OA 1B1，则A 1OB= 例 3、如图，P 为等三角形 ABC 内部一点，APB，BPC，CPA 的大小之比是 5：6：7，则以AP，PB，PC 的长为边的三角形的三个内角的大小之比是（ ）A. 2：3：4 B. 3：4：5 C. 4：5：6 D. 无法确定 题型三、利用旋转作图例 1、如图，已知ABC 绕点
11、 O 旋转，点 D 是ABC 旋转后点 A 的对应点，试作出旋转后的DEFB CAO例 2、如图，在方格纸中，ABC 的三个顶点和点 P 都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上。（1）将ABC 平移，使点 P 落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；（2）以点 C 为旋转中心，将ABC 旋转，使点 P 落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图。题型四、利用平移、旋转轴对称设计图案例 1、如下图有 6 种瓷砖，请用其中的 4 块瓷砖（允许有相同的），设计出美丽的图案，然后利用你设计的图案，通过平移，轴对称或旋转，设计出更加美丽的大型的图案题型五、旋转创新题例 1、
12、如图，DEF 是由ABC 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是_AB CP例 2 例 3甲 乙例 1 例 2 例 35例 2、如图，在 RtAOB 中，AOB=90，OA=3，OB=4，将AOB 沿 x 轴依次以点 A、B、O 为旋转中心从的位置顺时针旋转，分别得、，则：（1）旋转得到图的直角顶点的坐标为_（2）旋转得到图的直角顶点的坐标为_例 3、如图所示有两个边长为 6cm 的正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心上，那么图中阴影部分的面积是（ ）A. 4cm2 B. 8cm2 C. 9cm2 D. 无法确定 例 4、如图，在等边三角形 ABC 中，AC=9，点 O 在 AC 上，
13、且 AO=3，点 P 是 AB 上的一动点，连接OP，将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60得到线段 OD，要使点 D 恰好落在 BC 上，则 AP 的长是_例 5、如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中 C=90， B= E=30.（1）操作发现如图 2，固定 ABC，使 DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：线段 DE 与 AC 的位置关系是_；设 BDC 的面积为 S1， AEC 的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是_.（2）猜想论证当 DEC 绕点 C 旋转到图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1与 S2的数量
14、关系仍然成立，并尝试分别作出了 BDC 和 AEC 中 BC、 CE 边上的高，请你证明小明的猜想.3）拓展探究A(D)B(E)C图 1A CBD E图 2M图 3ABCDEN6已知 ABC=60，点 D 是其角平分线上一点， BD=CD=4， DE/AB 交 BC 于点E（如图 4）.若在射线 BA 上存在点 F，使 S DCF=S BDE，请直接写出相应的 BF 的长.【课本相关知识点】1、轴对称图形：如果一个图形沿着某一条直线直线 ，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。2、圆是轴对称图形， 都是它的对称轴3、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 4、分
15、一条弧成 的点，叫做这条弧的中点。5、 的距离叫做弦心距。6、垂径定理的逆定理 1：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 垂径定理的逆定理 2：平分弧的直径 【典型例题】【题型一】应用垂径定理计算与证明例 1、如图所示，直径 CE 垂直于弦 AB，CD=1，且 AB+CD=CE，求圆的半径。OCED BA例 2、如图所示，已知线段 AB 交O 于 C、D 两点，OA、OB 分别交O 于 E、F 两点，且 OA=OB，求证：AC=BDFE DC BA O温馨提醒：在垂径定理中，“垂直于弦的直径”可以是直径，可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。【题型二】垂径定理的实际应用例 1、某居民区内一处
16、圆形下水道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图所示，污水的水面宽为 60cm，水面至管道顶部距离为 10cm，问：修理人员应准备内径多大的管道？温馨提醒：要学会自己多画图，这样有助于书写解题过程。例 2、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是 10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm，如图所示，则这个小孔的直径 AB 是 【题型三】垂径定理与逆定理的实际应用60cm10cmE CDBA 图 47COABMNBOA PACOM NB例 1、如图，已知 M 是 的中点，过点 M 的弦 MN 交 AB 于点 C，设O 的半径为 4cm，MN=4 cm。AB 3（1）求圆心
17、O 到弦 MN 的距离（2）求ACM 的度数【题型四】应用垂径定理把弧 2 等份，4 等份等巩 固 练 习1、下列说法正确的是（ ）A.每一条直径都是圆的对称轴 B.圆的对称轴是唯一的 C.圆的对称轴一定经过圆心 D.圆的对称轴与对称中心重合2、下列命题： 垂直于弦的直径平分这条弦； 平分弦的直径垂直于弦；垂直且平分弦的直线必定经过圆心。其中正确的有（ ）A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个3、如图，O 的直径为 10cm，弦 AB 为 8cm，P 是弦 AB 上一点，若 OP 的长是整数，则满足条件的点 P 有（ ）个A.2 B.3 C.4 D.54、半径为 5cm 的圆内有两条互
18、相平行的弦，长度分别为 6cm 和 8cm，则这两弦之间的距离为 cm5、圆的半径等于 2 cm，圆内一条弦长 2 cm，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于 336、如图，矩形 ABCD 与O 相交于 M、N、F、E，如果 AM=2，DE=1，EF=8，那么 MN 的长为 7、如图，AB 是O 的直径，CD 是弦。若 AB=10cm，CD=6cm，那么 A、B 两点到直线 CD 的距离之和为 8、如图，半径为 5 的P 与 y 轴交于点 M（0，-4）、N（0，-10），函数 y= （x2CD B. ABCD，OMAB，ONCD，M、N 为垂足，那么 OM、ON 的关系是（ ）A. OMON
19、 B. OM=ON C. OMON D. 无法确定9、如图所示，已知 AB 为O 的弦，从圆上任一点引弦 CDAB，作OCD 的平分线交O 于点 P，连续 PA、PB。求证：PA=PBPDCBOA10、如图所示，M、N 为 AB、CD 的中点，且 AB=CD。求证：AMNCNM11、 如图，MONO，过 MN 的中点 A 作 ABON，交 于点 B，试求 的度数MN BN【课本相关知识点】1、顶点在 上，且两边 的角叫圆周角。OAB C第 5 题OBACD第 6 题 第 7 题 第 8 题112、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 3、圆周角定理推论 1：半圆（或直径）所对的圆周角是
20、；90的圆周角所对的弦是 4 圆周角定理推论 2：在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等；相等的圆周角所对 的也相等【典型例题】【题型一】圆周角定理的应用例 1、ABC 为O 的内接三角形，BOC=100，求BAC 的度数。【题型二】圆周角定理推论的应用例 1、如图所示，点 A、B、C、D 在圆上，AB=8，BC=6，AC=10，CD=4，求 AD 的长。CABD例 2、如图所示，A、B、C 三点在O 上，CE 是O 的直径，CDAB 于点 D。（1）求证：ACD=BCE；（2）延长 CD 交O 于点 F，连接 AE、BF，求证：AE=BFDFBOCEA【题型三】应用圆周角知识解决实际生活问题例
21、1、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点 C 在半圆上，点 A、B 的读数分别为 86，30，则ACB 的大小为 例 2、现需测量一井盖（圆形）的直径，但只有一把角尺（尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖半径）请配合图形、文字说明测量方案，写出测量的步骤（要求写出两种测量方案）图形 1 图形 2答案：12解法一：如图（1），把角尺顶点 A 放在井盖边缘，记角尺一边与井盖边缘交于点 B，另一边交于点 C（若角尺另一边无法达到井盖的边上，把角尺当直尺用，延长另一边与井盖边缘交于点 C），度量 BC 长即为直径；解法二：如图（2），把角尺当直尺用，量出 AB 的长度，取 A
22、B 中点 C，然后把角尺顶点与 C 点重合，有一边与CB 重合，让另一边与井盖边缘交于 D 点，延长 DC 交井盖边于 E，度量 DE 长度即为直径；巩 固 练 习1、图中圆周角有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2、如图，正方形 ABCD 内接于O，点 P 在 AB 上，则DPC = .3、如图，已知 EF 是O 的直径，把 A 为 60的直角三角板 ABC 的一条直角边 BC 放在直线 EF 上，斜边AB 与O 交于点 P，点 B 与点 O 重合，将三角板 ABC 沿 OE 方向平移，使得点 B 与点 E 重合为止设POF=x，则 x 的取值范围是（ ）A30x60 B3
23、0x90 C30x120 D60x1204、如图，PB 交O 于点 A、B，PD 交O 于点 C、D，已知 的度数为 42， 度数为 38，则P+Q= DQ BQ5、如图，AB 是O 的直径，C, D, E 都是O 上的点，则12 = .6、如图，AB 是O 的直径，AD=DE，AE 与 BD 交于点 C，则图中与BCE 相等的角有（ ）A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个7、已知，如图，AB 为O 的直径， AB=AC，BC 交O 于点 D，AC 交O 于点 E，BAC=45。给出下列四个结论： EBC=22.5 ； BD=DC； 是 的 2 倍； AE=BC。其中正确结论的序号是
24、 AE DE8、如图，O 的半径为 1cm，弦 AB、CD 的长度分别为 cm，1cm，则弦 AC、BD 所夹的锐角为 9、如图，AB, AC 是O 的两条弦，且 AB=AC延长 CA 到点 D使 AD=AC， 连结 DB 并延长,交O 于点 E求证：CE 是O 的直径EABDC第 1 题 第 3 题 第 4 题 第 5 题第 2 题第 6 题 DECBOA第 7 题 第 8 题13NM PDCBA ODPA BOC10、如图，在O 中 AB 是直径， CD 是弦，ABCD.(1)P 是 上一点（不与 C, D 重合）求证：CPD=COB； ACD(2)点 P在劣弧 CD 上（不与 C , D
25、 重合）时，CP /D 与COD 有什么数量关系？请证明你的结论BADOCPP11、（1）如图（1）已知，已知ABC 是等边三角形，以 BC 为直径的O 交 AB、AC 于 D、E求证：ODE 是等边三角形；（2）如图（2）若A=60，ABAC，则（1）的结论是否成立？如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由12、如图所示，直径 AB、CD 互相垂直，P 是 OC 的中点，过点 P 的弦 MNAB，试判断MBC 与MBA 的大小关系。13、如图，AB 为O 的直径，弦 DA、BC 的延长线相交于点 P，且 BC=PC，求证：（1）AB=AP （2） ABCD【课本相关知识点】1、如果一个四
26、边形的的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆 叫做四边形的外接圆。2、圆内接四边形有以下的性质定理：圆内接四边形的对角互补【典型例题】题型一、圆内接四边形的概念及性质例 1、下列说法正确的是（ ） 圆内接四边形的内角和是 360； 圆内接平行四边形是矩形； 四边形的外接圆的圆心是四边形各边垂直平分线的交点； 四边形的外接圆的圆心是四边形各内角平分线的交点14ECOBADEB CDA ED OBCABA OD C COBADEA. B. C. D. 例 2、如图，四边形 ABCD 是圆内接四边形，则下列式子成立的是（ ）A. A+DCE=180 B. B+DCE=180
27、 C. A=DCE D. B=DCE3、圆内接四边形 ABCD 中，若A：B：C=1：2：5，则D 等于（ ）A. 60 B. 120 C. 140 D. 150 4、如图，已知 E 是圆内接 ABCD 的边 BA 延长线上一点，BD=CD，且EAD=55，则BDC= E DCBA题型二、圆内接四边形的性质的计算与证明例 1、如图，BC 是直径，则DBC+BAE 等于（ ）A. 60 B. 90 C. 120 D. 180 例 2、如图，四边形 ABCD 内接于O，若DCE=75，则BOD= 例 3、如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C，D 是弧 AB 上两点，ADC=120，则BAC= 例
28、 4、如图，ABC 内接于圆 O，点 D 是弧 AB 上的一点，点 E 是弧 AC 上的一点，若BAC=50，则D+E= 例 5、如图，AB 上圆 O 的直径，AC，DE 是圆 O 的两条弦，且 DEAB，延长 AC，ED 相交于点 F。求证：FCD=ACEEFDBA OC【课本相关知识点】1、我们把各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形2、我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫做圆内接多边形。3、正多边形一定是轴对称图形，但不一定是中心对称图形4、n 边形的内角和为（n-2）180温馨提醒：等边三角形、正方形是最简单的正多边形【典型例题】题型一、
29、正多边形的概念例 1、下列说法中正确的是（ ）A. 各边都相等的多边形是正多边形 B. 正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C. 正多边形都有内切圆和外接圆，且两圆为同心圆 D. 各内角都相等的圆内接多边形为正多边形 例 1 例 2 例 3 例 415题型二、正多边形的角度、边数计算例 1、已知正 n 边形的一个内角为 135，则 n 的值为（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 例 2、正五角星通常是经过先把圆五等分，然后连结五个等分点而得到的，则图中的每一个顶角的度数是（ ）A.30 B.35 C.36 D.72 例 3、如图，过正五边形 ABCDE 的顶点 A 作直线 lBE
30、，则1 的度数为【 】A30 B36 C38 D45例 4、用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形（如下图）方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为 AB，以AB 的中点 O 为顶点将平角五等份，并沿五等份的线折叠，再沿 CD 剪开，使展开后的图形为正五边形，则OCD等于（ ）A108 B90 C72 D60题型三、正多边形的长度、面积计算例 1、如图，正八边形 ABCDEFGH 内接于圆 O，圆 O 的半径为 ，求边 AB 的长2FE DCBAHG题型四、证明一个多边形是正多边形、及角度、长度的证明例 1、如图，正五边形 ABCDE 的对角线 AC 和 BE 相交于点 M。求证：（1）ACED；（
31、2）ME=AEEDCBA例 2、如图，正六边形 ABCDEF 的对角线 AC，AE 分别与 BF 交于点 G，H，求证：BG=GH=HF16DBAC例 3、如图（1）、（2）、（3），M，N 分别是O 的内接正ABC、正方形 ABCD、正五边形 ABCDE 的边 AB，BC上的点，且 BMCN，连接 OM，ON.（1）求图（1）中MON 的度数；（2）图（2）中MON 的度数是_，图（3）中MON 的度数是_；（3）试探究MON 的度数与正 n 边形边数 n 的关系.（直接写出答案）题型五、正多边形的画法【课本相关知识点】1、弧长公式：在半径为 R 的圆中，n的圆心角所对的弧长 的计算公式为
32、= ll2、在弧长公式中，有 3 个变量： ，已知其中的任意两个，都可以求出第 3 个变量。我们只需要记住一个公式即可。（有些老师要求它的另外两个变形公式都要记住，其实完全没有必要）3、扇形面积公式 1：半径为 R，圆心角为 n的扇形面积为 。这里面涉及 3 个变量： ，已知其中任意两个，都可以求出第 3 个变量。我们中需要记住一个公式即可。4、扇形面积公式 2：半径为 R，弧长为 的扇形面积为 l5、求阴影部分面积一般遵循“四步曲”，即：一套，二分，三补，四换一套：直接套用基本几何图形面积公式计算；二分：将其分割成规则图形面积的和或差；三补：用补形法拼凑成规则图形计算；四换：将图形等积变换后
33、计算。【典型例题】【题型一】静止图形的弧长计算与运动图形的弧长计算【例 1】、如图所示，在ABC 中，ACB=90，B=15，以 C 为圆心，CA 的长为半径的圆交 AB 于点 D。若 AC=6，求 的长A【例 2】、如图，菱形 ABCD 中，AB=2，C=60，菱形 ABCD 在直线 l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转 60叫一次操作，则经过 36 次这样的操作菱形中心 O 所经过的路径总长为 170BAEDAB C【题型二】求阴影部分的面积问题【例 1】、如图，在矩形 ABCD 中，AD=2AB=2，以 B 为圆心，以 BA 为半径作圆弧，交 CB 的延长线于点 E，连接DE。求
34、图中阴影部分的面积。【例 2】、如图所示，分别以 n 边形的顶点为圆心，以单位 1 为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 【例 3】、如上图，RtABC 中，ACB=90，CAB=30，BC=2，O、H 分别为边 AB、AC 的中点，将ABC 绕点 B 顺时针旋转 120到A 1B1C1的位置，则整个旋转过程中线段 OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）A B C D738473843【例 4】、如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6cm，其中水面高 0.3cm，求截面上有水部分的面积。【题型三】用弧长及扇形面积公式解决实际问题【例 1】、当汽车在雨天行驶时，为了看清楚
35、道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆 AB 与雨刷 CD 在 B 处固定连接（不能转动），当杆 AB 绕 A 点转动 90时，雨刷 CD 扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得 CD=80cm、DBA=20，端点C、D 与点 A 的距离分别为 115cm、35cm他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果。也请你算一算雨刷 CD 扫过的面积为cm2（ 取 3.14）【例 2】、如图是一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是 10cm，当重物上升 10cm 时，滑轮的一条半径 OA绕轴心 O 按逆时针方向旋转的角度约为 度（假设
36、绳索与滑轮之间没有滑动， 取 3.14，结果精确到1）巩 固 练 习1、如果一条弧长等于 r，它的半径是 r，那么这条弧所对的圆心角度数为 14AHBOC 11A例 2例 318CDOA B2、如果一条弧长为 ，它的半径为 R，这条弧所对的圆心角增加 1，则它的弧长增加 l3、扇形的弧长为 20cm，半径为 5cm，则其面积为 cm 24、一个扇形的弧长是 20 cm，面积是 240 cm2，那么扇形的圆心角是 5、图中 4 个正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的图形个数是（ ）A.0 B.2 C.3 D.46、如图所示，扇形 AOB 的圆心角为 90，分别以 OA、OB 为直径在扇形内
37、作半圆，P 和 Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么 P 和 Q 的大小关系是 7、如图，AB=12，C、D 是以 AB 为直径的半圆上的三等分点，则图中阴影部分面积为 8、如图，在 RtABC 中，C=90，AC=4，BC=2，分别以 AC、BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留 ）（到了初中阶段，其实即使不说，结果也要保留 ，这是一个基本常识） 9、如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，AB=2将ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转至ABC的位置，B，A，C三点共线，则线段 BC 扫过的区域面积为 10、（2013 年温州中考题）在ABC 中，C 为锐角，分别以 AB
38、，AC 为直径作半圆，过点 B，A，C 作 ，如图所示，若 AB=4，AC=2， ，则 的值是（ ）421S43SA. B. C. D. 42931511、如图，O 的半径为 R，AB 与 CD 是O 的两条互相垂直的直径，以 B 为圆心，BC 为半径为 ,交 AB 于点ACDE，求圆中阴影部分的面积。12、如图，已知矩形 ABCD 中，BC=2AB，以 B 为圆心，BC 为半径的圆交 AD 于 E，交 BA 的延长线于 F ，设AB=1，求阴影部分的面积.第 6题第 7题第 8题第 9 题 第 10题19BECAF13、如图，在ABC 中，已知 AB=4cm，B=30，C=45，若以 A 为
39、圆心，AC 长为半径作弧，交 AB 于点 E，交 BC 于点 F。（1）求 的长 （2）求 CF 的长ACE第三章 圆的基本性质的知识框图及章节考点1、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。过三点可作 个圆。过四点可作 个圆。2、旋转与旋转中心的概念圆圆的相关计算求半径、弦长、弦心距求圆心角、圆周角、弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积及表面积求不规则阴影部分的面积圆的相关证明证明线段长度之间的数量关系；证明角度之间的数量关系证明弧度之间的数量关系；证明多边形的形状；证明两线垂直圆的轴对称性垂径定理及其2个逆定理圆的中心对称性和旋转不变性圆心角定理及逆定理点
40、和圆的位置关系不在同一直线上的三点确定一个圆圆的基本性质圆周角定理及2个推论圆心角定理及逆定理都是根据圆的旋转不变性推出来的三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等圆内接四边形的概念及性质圆心角、圆周角概 念圆、圆心、半径、直径弧、弦、弦心距、等弧三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形弧可分为劣弧、半圆、优弧在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫等弧图形的旋转的概念及性质、要会作图及找旋转中心正多边形的概念及作图20一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个固定的点叫做旋转中心。3、图形旋转的性质
41、（1）图形旋转所得到的图形和原图形全等（2）对应点到旋转中心的距离相等。任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度4、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 垂径定理的逆定理 1：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 垂径定理的逆定理 2：平分弧的直径 5、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ，所对的 圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么 都相等。注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。在题目中，若让你求 ，那么所求的是弧长AB6
42、、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆周角定理推论 1：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90的圆周角所对的弦是 圆周角定理推论 2：在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等；相等的圆周角所对 的也相等7、如果一个四边形的的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。圆内接四边形有以下的性质定理：圆内接四边形的对角互补8、 我们把各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形 我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫做圆内接多边形。 正多边形一定是轴对称图形，但不一定是中心对称图形9、弧长公式：在半径为 R 的圆中，n
43、的圆心角所对的弧长 的计算公式为 = ll10、扇形面积公式 1：半径为 R，圆心角为 n的扇形面积为 。这里面涉及 3 个变量： ，已知其中任意两个，都可以求出第 3 个变量。我们中需要记住一个公式即可。扇形面积公式 2：半径为 R，弧长为 的扇形面积为 l考点一、与圆相关的命题的说法正确的个数，绝大多数是选择题，也有少部分是填空题（填序号）考点二、利用旋转的概念及性质解题考点三、求旋转图形中某一点移动的距离，这就要利用弧长公式考点四、求半径、弦长、弦心距，这就要利用勾股定理和垂径定理及逆定理考点五、求圆心角、圆周角考点六、圆内接四边形性质的应用考点七、求阴影部分的面积考点八、证明线段、角度
44、、弧度之间的数量关系；证明多边形的具体形状考点九、利用不在同一直线上的三点确定一个圆的作图题考点十、方案设计题，求最大扇形面积巩 固 练 习一、选择题1、下列命题中： 任意三点确定一个圆；圆的两条平行弦所夹的弧相等； 任意一个三角形有且仅有一个外接圆； 平分弦的直径垂直于弦； 直径是圆中最长的弦，半径不是弦。正确的个数是（ ）A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个2、如图， AB 是半圆 O 的直径，点 P 从点 O 出发，沿 的路径运动一周设 为 ，运动时间ABOOPs为 ，则下列图形能大致地刻画 与 之间关系的是（ ）t st21GEDA CF O B3、如图所示，长方形 ABCD
45、 中，以 A 为圆心，AD 长为半径画弧，交 AB 于 E 点。取 BC 的中点为 F，过 F 作一直线与 AB 平行，且交 DE 于 G 点。求 AGF=（ ）(A) 110 (B) 120 (C) 135 (D) 150 。4、如图，AB 是O 的直径，AD=DE，AE 与 BD 交于点 C，则图中与BCE 相等的角有（ ）A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个5、如图，弧 BD 是以等边三角形 ABC 一边 AB 为半径的四分之一圆周， P 为弧 BD 上任意一点，若AC=5，则四边形 ACBP 周长的最大值是（ ） A 15 B 20 C15+ D15+5256、如图，已知 O 的半径为 5，点 到弦 的距离为 3，则 O 上到弦 所在直线的距离为 2 的点有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个7、如图，C 为O 直径 AB 上一动点，过点 C 的直线交O 于 D、E 两点，且ACD=45，DFAB 于点 F,EGAB于点 G,当点 C 在 AB 上运动时，设 AF= ，DE= ，下列中图象中，能表示 与 的函数关系式
