1、第8章 轴向拉压杆的强度计算,1 轴向拉伸与压缩的概念,在工程中以拉伸或压缩 为主要变形的杆件，称 为：拉杆和压杆,若杆件所承受的外力或外力合力作用线与杆轴线重合的 变形，称为轴向拉伸或轴向压缩。,预备知识,这些杆件虽然形状、加力方式等各有不同，但是他们具有共同的受力和变形特点：外力（或外力的合力）的作用线与杆件的轴线重合，杆的两相邻横截面沿杆轴线方向产生相对移动，而杆件的长度伸长或缩短，同时横向尺寸相应的缩短或伸长。,2 轴向拉(压)杆的内力与轴力图,拉压杆的内力：切、留、代、平,唯一内力分量为轴力，其作用线垂直于横截面沿杆轴线 并通过形心。通常规定：轴力使杆件受拉为正，受压为负。,轴力图,
2、用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，以此表示轴力与横截面位置关系的几何图形，称为轴力图。,作轴力图时应注意以下几点：,1、轴力图的位置应和杆件的位置相对应。轴力的大小，按 比例画在坐标上，并在图上标出代表点数值。,2、习惯上将正值（拉力）的轴力图画在坐标的正向；负值（压力）的轴力图画在坐标的负向。,例1：,内力是由“外力”引起的，仅表示某截面上分布内力向截面形心简化的结果。而构件的变形和强度不仅取决于内力，还取决于构件截面的形状和大小以及内力在截面上的分布情况。为此，需引入应力的概念,应力：指截面上一点处单位面积内的分布内力；或是指内力在一点处的集度。
3、,81、应力与应变的基本概念,1、应力的概念,平均应力：,M点处的内力集度（总应力）：,一点处的总应力p是矢量，其方向为此处内力的极限方向。,应力与截面既不垂直也不相切，力学中总是将它分解为垂直于截面和相切于截面的两个分量，如图：,正应力（或法向应力）：指与截面垂直的应力分量，用表示； 剪应力（或切向应力）：指与截面相切的应力分量，用表示。,应力的正、负号规定：正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以使所作用的微段有顺时针方向转动趋势者为正，反之为负。,应力的单位：帕斯卡，简称为帕，符号为“Pa” Pa ， kPa （千帕） ，MPa（兆帕） ， GPa（吉帕）,1MPa=106N/m2=10
4、6N/106mm2=1N/mm2,五,2、应变的概念,试验现象（矩形截面试件）： 周线：平移，形状不变，保持平行； 纵向线：伸长，保持平行，与周线正交。,应力是内力的集度，内力或应力均产生在杆件内部，是 看不到的。应力与变形有关， 所以研究应力还得从 观察变形出发。,82、轴向拉压杆的应力计算,1、横截面上的应力,拉（压）杆横截面上的内力是轴力，其方向垂直于横截面，因此，与轴力相应的只可能是垂直于截面的正应力，即拉（压）杆横截面上只有正应力，没有切应力。,平面假设：受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，两平面相对位移了一段距离。,假想杆件是由若干与轴线平行的纵向纤维组成的，任意两个 横截
5、面之间所有纵向纤维的伸长均相同；又因为材料是均匀 的，各纤维的性质相同，因此其受力也一样，即轴力在横截 面上是均匀分布的。,轴向拉压等截面直杆， 横截面上正应力均匀 分布,式中FN为轴力，A为横截面的面积。,的正负符号约定：拉应力为正，压应力为负,-轴向拉（压）杆件横截面上各点正应力的计算公式。,注意：1、 杆端集中力作用点附近区域内的应力分布比较复杂，并非均匀分布，= FN/A只能计算该区域内横截面上的平均应力，而不是应力的真实情况。,2、实际上，外荷载作用方式有各种可能，引起的变形规律比较复杂，从而应力分布规律及其计算公式亦较复杂，其研究已经超出材料力学范围。3、研究表明，弹性杆件横截面上
6、的应力分布规律在距外荷载作用区域一定距离后，不因外荷载作用方式而改变。这一结论称为圣维南原理。4、今后假定，在未要求精确计算杆上外力作用点附近截面内的应力时，轴向拉（压）杆在全长范围内， = FN/A均适用。,例: 图示阶梯杆，第、段为铜质的，横截面积A1=20cm2， 第段为钢质的，横截面积A2=10cm2，试求杆中的最大正应力。,解：作出轴力图如图,压应力,拉应力,中的负号表示BC杆的应力为压应力，即BC杆为压杆。,例 图示三角托架中，AB杆为圆截面钢杆，直径d =30mm；BC杆为正方形截面木杆，截面边长a100mm。已知F 50kN，试求各杆的应力。 解 取结点B为分离体，其受力 如图
7、所示，由平衡条件可得,可得,例 一阶梯形直杆受力如图所示，已知横截面面积为,试求各横截面上的应力。,解：1、计算轴力画轴力图,利用截面法可求得阶梯杆 各段的轴力为： F1=50kN，F2=-30kN，F3=10kN，F4=-20kN。 轴力图。,F,（2）、计算各段的正应力,AB段：,BC段：,CD段：,DE段：,F,称为轴力方程。该轴力方程表明FN是关于截面位置x的 一次函数，轴力图如图所示。,例：图示杆AB，上端固定、下端自由，长为l，横截面面积为 A，材料密度为，试分析该杆由自重引起的轴力及横截面上 的应力沿杆长的分布规律。 解：由截面法，在距下端为x截面上的轴力为,表明该杆的轴力是截面
8、位置x 的连续函数，,时，,时，,沿杆长的分布规律如图（c）所示；并可得,横截面上的正应力沿杆长 呈线性分布。,时，,时，,在下一节拉伸与压缩试验中会看到，铸铁试件压缩时，其断面并非横截面，而是斜截面。这说明仅计算拉压杆横截面上的应力是不够的，为了全面分析解决杆件的强度问题，还需研究斜截面上的应力。,2、斜截面上的应力,图示一等直杆，其横截面面积为A，下面研究与横截面成角的斜截面 m-m 上的应力。此处角以从横截面外法线到斜截面外法线逆时针向转动为正。沿 m-m 截面处假想地将杆截成两段，研究左边部分，如图（b）所示，可得m-m截面上的内力为：,和横截面上正应力分布 规律的研究方法相似， 同样
9、可以得出斜截面上 的总应力也是均匀分布的，故,为杆件横截面上的正应力。,所以,将总应力p分解为两个分量： m-m截面法线方向的正应力和切线方向的切应力,和都是角的函数， 随变化而变化，其极值及 其所在截面的方位为：,1. 当=0 时，即横截面上， 达到极值；当=90时，即纵截面上， 达到极值0，在正应力的极值面上切应力为零。,在实际工程中，由于构造上的要求，有些构件需要开孔或挖槽（如油孔、沟槽、轴肩或螺纹的部位），其横截面上的正应力不再是均匀分布的。,板条受拉时，圆孔直径 所在横截面上的应力分 布由试验或弹性力学结 果可绘出，如图（b） 所示，其特点是： 在小孔附近的局部区 域内，应力急剧增大
10、， 但在稍远处，应力迅速 降低而趋于均匀。,3、应力集中的概念,这种由于杆件形状或截面尺寸突然改变而引起局部区域的应力急剧增大的现象称为应力集中。,称为应力集中因数，它反映了应力集中的程度，是一个大于1的因数。,设产生应力集中现象的截面上最大应力为max，同一截面视作均匀分布按净面 积A0计算的名义应力为0， 即,则比值,工程构件受力后，其几何形状和几何尺寸都要发生改变，这种改变称为变形。当荷载不超过一定的范围时，构件在卸去荷载后可以恢复原状。但当荷载过大时，则在荷载卸去后只能部分地复原，而残留一部分不能消失的变形。,83、轴向拉压杆的变形胡克定律,1、轴向变形,弹性变形：是指在卸去荷载后能完
11、全消失的那一部分变形 塑性变形：是指不能消失而残留下来的那一部分变形,以图示等直圆杆为例，设杆件变形前原长为l，横向尺寸为d，变形后长度为l，横向尺寸为d，,轴向变形,横向变形,l、d表示杆件轴向、横向的绝对变形量，量纲均为长度。,绝对变形量不能全面反映杆件的变形程度，引入线应变的概念。线应变是指单位长度的长度改变量，用表示，量纲为一。,-轴向线应变，简称线应变。,-横向线应变,拉伸时，l0，d0，0，0；,，,与是反号的。,试验表明：当拉（压）杆内的应力不超过材料的比例极限时， 横向线应变与轴向线应变的比值为一常数，即,称为泊松比，量纲为一，其值随材料而异，可通过试验测定。,-计算出的是轴向
12、纤维在全长l内的平均线应变，当沿杆 长度均匀变形（所有截面的正应力都相等）时，它也代表 l长度范围内任一点处轴向方向的线应变。当沿杆长度非均 匀变形时（如一等直杆在自重作用下的变形）并不反映沿 长度各点处的轴向线应变。,说明：,拉（压）杆的变形与材料的性能有关，只能通过试验来获得。试验表明，在弹性变形范围内，杆件的变形l与轴力FN及杆长 l成正比，与横截面面积A成反比，即,引入比例系数E，把上式写成,式中E为弹性模量，表示材料抵抗弹性变形的能力，是一个只 与材料有关的物理量，其值可以通过试验测得，量纲与应力量 纲相同。弹性模量E和泊松比都是材料的弹性常数。,EA称为轴向拉（压）杆的抗拉（压）刚
13、度，表示杆件抵抗 拉伸（压缩）的能力。对于长度相等且受力相同的杆件，其抗拉（压）刚度越大 则杆件的变形越小。,-轴向拉（压）杆件的变形与EA成反比。,或,称为胡克定律，表明，在弹性变形范围内，应力与应变成正比。,几种常用材料的E和的约值,只适用于在杆长为l长度内F 、FN、E、A均为常值的情况下，即在杆为l长度内变形是均匀的情况。,胡克定律,若杆件的轴力FN及抗拉（压）刚度EA沿杆长分段为常数，则,式中FNi、(EA) i和li为杆件第i段的轴力、抗拉（压）刚度和长度。 若杆件的轴力和抗拉（压）刚度沿杆长为连续变化时，则,例 图示一等直钢杆，横截面为bh=1020mm2的矩形，材料的弹性模量E
14、=200GPa。试计算：（1）每段的轴向线变形；（2）每段的线应变；（3）全杆的总伸长。 解 （1）设左、右两段分别为、段， 由轴力图：,全杆的总伸长,bh=1020mm2 E=200GPa,例 图示阶梯杆，第段横截面为直径20mm的圆形，第段横截面为边长30mm的正方形，第段横截面为直径15mm的圆形， 两端的轴向拉力F=20kN，材料的弹性模量E=210GPa。求杆中的最大正应力和杆的总伸长。 解,第段直径20mm,第段边长30mm，第段直径15mm,各段伸长量,总伸长量,材料的力学性质是指在外力作用下材料在变形和破坏过程 中所表现出的性能，如前面提到的弹性常数 E 和，以及胡克 定律本身
15、等都是材料所固有的力学性质。材料的力学性质是对构件进行强度、刚度和稳定性计算的 基础，一般由试验来测定。,84、材料在拉伸与压缩时的力学性能,材料的力学性质除取决于材料本身的成分和组织结构外，还与荷载作用状态、温度和加载方式等因素有关。重点讨论常温、静载条件下金属材料在拉伸或压缩时的力学性质。为使不同材料的试验结果能进行对比，对于钢、铁和有色金属材料，需将试验材料按金属拉伸试验试样的规定加工成标准试件，分为圆截面试件和矩形截面试件。,，,金属材料的压缩试验， 试件一般制成短圆柱体。 为了保证试验过程中试件不 发生失稳，圆柱的高度取为直径的13倍。,标准试件：试验段l0称为标距。 试件的尺寸统一
16、的规定： 对于矩形截面试件，记中部原始横截面面积为A0，,短试件： / =5.65,长试件： / =11.3,对于圆截面试件，设中部直径为d0，则,五倍试件：,十倍试件：,工程上常用的材料品种很多， 以低碳钢和铸铁为主要代表，介绍材料的力学性质。,实验设备：一类称为万能试验机；另一类设备是用来测试变形的变形仪。,低碳钢拉伸时的力学性能,低碳钢是指含碳量在0.3%以下的碳素钢。这类钢材在工程中使用较广，其力学性质具有代表性。,将试件装入材料试验机的夹头中，启动试验机开始缓慢 匀速加载，直至试件最后被拉断或压坏。加载过程中，试件所受的轴向力F可由试验机直接读出，而试件标距部分的变形量l可由变形仪读
17、出。根据试验过程 中测得的一系列数据，可以绘出F与l之间的关系曲线，称 为荷载位移曲线。,荷载位移曲线与试件的几何尺寸有关，不能准确反映材料的 力学性能，为了消除影响，用试件横截面上的正应力，即,作为纵坐标；用试件轴向线应变,作为横坐标。这样所得的拉伸试验曲线称为应力-应变曲线。,应力 - 应变曲线全面描述了材料从开始受力到最后破坏 全过程中的力学性态，从而可以确定不同材料发生失效时的应力值，也称为强度指标，以及表征材料塑性变形能力的塑性指标。,低碳钢拉伸时的荷载位移曲线（也称为拉伸图）和-曲线如图。,荷载位移曲线,-曲线,低碳钢为典型的塑性材料。 在应力应变图中呈现如下四个阶段：, 弹性阶段
18、：曲线的初始阶段（OB段），试件的变形是 弹性变形。 当应力超过B点所对应的 应力后，试件将产生塑性 变形。,将OB段最高点所对应的应力 即只产生弹性变形的最大应 力称为弹性极限，用e表示。,在弹性阶段的直线（OA）段，与成正比，胡克定律就是由此而来。称直线OA段的最高点A点处的应力为比例极限，用p表示。,只有当,时，材料才服从胡克定律， 即与成正比，这时，称 材料是线弹性的。,根据胡克定律,直线OA段的斜率即为弹性模量E的值，由试验测得低碳钢的弹性模量为200GPa左右。,弹性极限和比例极限的意义虽然不同，但他们的数值 非常接近，因此在工程应用中对二者不作严格区分。 对于低碳钢，取,。, 屈
19、服阶段。应力超过弹性极限后，试件将同时产生弹性变形和塑性变形，且应力在较小的范围内上下波动，而应变急剧增加，曲线呈大体水平但微有起落的锯齿状。如图中的BC段。这种应力基本保持不 变，而应变却持续增长的 现象称为屈服或流动。屈服阶段最低点所对 应的应力称为屈服极限， 用S表示，是判别材料 是否进入塑性状态的重要 参数。低碳钢,表面经抛光的试件在屈服阶段，其表面会出现与轴线大致成45的倾斜条纹，称为滑移线。这是由于拉伸时，与轴线成45截面上有最大切应力作用，使内部晶粒间相互滑移所留下的痕迹。材料进入屈服阶段后将产生显著的塑性变形，这在工程构件中一般是不允许的，所以屈服极限S是确定材料设计强度的主要
20、依据。, 强化阶段。试件经过屈服后，材料内部结构重新进行了调整，具有了抵抗新变形的能力，-曲线表现为一段上升的曲线（CD段）。这种现象称为强化， CD段即为强化阶段。强化阶段最高点 D点所 对应的应力，称为强度极限， 用b表示，其中，抗拉强度 极限记为,抗压强度极限记为,强度极限是衡量材料强度的另一个重要指标。 对于低碳钢，,强化阶段试件的变形主要是塑性变形，其变形量远大于 弹性阶段。在此阶段可以较明显地观察到整个试件横向尺寸 的缩小。, 局部变形阶段：在-曲线中，D点之前，试件沿长度方向其变形基本上是均匀的，但当超过D点之后，试件的某一局部范围内变形急剧增加，横截面面积显著减小，形成图示的“
21、颈”，该现象称为颈缩。由于颈部横截面面积 急剧减小，使试件变形增 加所需的拉力在下降，所 以按原始面积算出的应力 （即=F/A），称为名义 应力）也随之下降，如图 中DG段，直到G点试件断 裂。,其实，此阶段的真实应力（即颈部横截面上的应力）随变形 增加仍是增大的，如图中的虚线DG 所示。,（2）两个塑性指标试件断裂后，弹性变形全部消失，而塑性变形保留下来，工程中常用以下两个量作为衡量材料塑性变形程度的指标，即 延伸率:设试件断裂后标距长度为l1 ，原始长度为l0 ，则延伸率定义为, 断面收缩率:设试件标距范围内的横截面面积为A0，断裂后颈部的最 小横截面面积为A1，则断面收缩率定义为,和越大
22、，说明材料的塑性变形能力越强。 工程中将十倍试件的延伸率,-塑性材料,-脆性材料,低碳钢的延伸率约为20%30%，是一种典型的塑性材料。,称为卸载定律。外力全部卸去后，图中on段 表示m点时试件中的塑性应变， 而nk段表示消失的弹性应变。,卸载定律及冷作硬化当加载到任一点，如图中的m点，然后缓慢卸载，试验表明，-曲线将沿直线mn到达n点，且直线mn与初始加载时的直线OA平行。这说明在卸载过程中应力与应变也保持为线性关系，即,冷作硬化：若加载到强化阶段某点m，卸载后立即再次加载，- 曲线将沿直线nm发展，到m点后大致沿曲线mDG变化，直到 试件破坏。因为nm段的、 都是线性关系，所以第 二次加载
23、时，材料的比 例极限提高到m点对应 的应力，但塑性变形和 延伸率有所降低，这种 现象称为冷作硬化。,若第一次卸载到n点后，让试件“休息”一段时间后再加载，重新加载时-曲线将沿nmmDG发展，材料会获得更高的 比例极限和强度极限，但是塑性能力进一步降低，这种现象称 为冷拉时效。钢筋经过冷拉处理， 可提高其抗拉强度，但是 冷拉降低了塑性性能且不 能提高抗压强度。,低碳钢压缩时的力学性质低碳钢压缩时的-曲线如图实线所示。 试验表明：其弹性模量E、屈服极限S与拉伸时基本相同，但流幅较短。屈服结束以后， 试件抗压力不断提高，既没有 颈缩现象，也测不到抗压强度 极限，最后被压成腰鼓形甚至 饼状。,铸铁在拉
24、伸和压缩时的力学性质,铸铁试件外形与低碳钢试件相同，其-曲线如图所示。铸铁拉伸时的-曲线没有明显的直线部分，也没有明显的屈服和颈缩现象。工程中认为整个拉伸阶段 都近似服从胡克定律，约定取 其弹性模量E为150180GPa。 试件的破坏形式是沿横截面拉 断，是内部分子间的内聚力抗 抵不住拉应力所致。,铸铁试件直至拉断时变形 量很小，拉伸时的延伸率,铸铁压缩破坏时，其断面 法线与轴线大致成4555，是斜截面上的切应力所致。,是典型的脆性材料。 抗拉强度极限,等于150MPa左右。,铸铁抗压强度极限等于800MPa左右，说明其抗压能力远远 大于抗拉能力。,铸铁压缩破坏属于剪切破坏。,低碳钢是典型的塑
25、性材料，铸铁是典型的脆性材料， 塑性材料的延性较好，对于冷压冷弯之类的冷加工性能比 脆性材料好，同时由塑性材料制成的构件在破坏前常有显 著的塑性变形，所以承受动荷载能力较强。脆性材料如铸铁、混凝土、砖、石等延性较差，但其 抗压能力较强，且价格低廉，易于就地取材，所以常用于 基础及机器设备的底座。值得注意的是，材料是塑性的还是脆性的，是随材料 所处的温度、应变速率和应力状态等条件的变化而不同的。,混凝土，压缩时的应力应变图如图示,混凝土的抗压强度要比抗拉强度大10倍左右。,1、 许用应力材料发生断裂或出现明显的塑性变形而丧失正常工作能力时的状态称为极限状态，此时的应力称为极限应力，用0表示。塑性
26、材料制成的拉（压）杆，当其达到屈服而发生显著的塑性变形时，即丧失了正常的工作能力，所以通常取屈服极限S作为极限应力；无明显屈服阶段的塑性材料，则用名义屈服极限0.2作为极限应力。脆性材料，由于在破坏前不会产生明显的塑性变形，只有在断裂时才丧失正常工作能力，所以取强度极限b作为极限应力。,85、轴向拉压杆件的强度计算,把极限应力除以一个大于1的因数，得到的应力值称为材料的许用应力。,极限应力0由试验测定，而构件工作状态、环境及复杂 情况与试验有很大不同，为确保构件不致因强度不足而破坏， 必须考虑一定的安全储备。因此，须将极限应力0除以大于 1的安全因数n，即,安全因数n的确定需考虑的基本因素有以
27、下几个： （1）强度条件中，有些量的本身就存在着主观认识与客观 实际间的差异。例如对荷载的估算、材料的均匀程度、计算理论及其公 式的精确程度等，实际工作时与理论设计计算时所处的条件 往往不完全一致，而是偏于不安全的一面。 （2）考虑到构件的重要性以及当构件破坏时后果的严重性等， 需要以安全因数的形式给构件必要的强度储备。,（3）以不同的强度指标作为极限应力，所用的安全系数n也就不同： 塑性材料：,脆性材料：,由于脆性材料的破坏以断裂为标志，发生破坏的后果更严重， 且脆性材料的均匀性较差，因此对脆性材料要多给一些强度储备，所以一般,工程中安全因数n的取值范围，由国家标准规定，一般不能任意改变。,
28、强度计算,轴向拉（压）杆工作时，正应力绝对值最大的横截面 称为危险截面。为确保轴向拉（压）杆正常工作，其危险 截面上的工作应力不得超过材料的许用应力，即,-轴向拉（压）杆的强度条件。,根据强度条件，可以解决以下三种强度计算问题：（1）强度校核已知杆件几何尺寸、荷载以及材料的许用应力判断其强度是否满足要求。一般若max超过在5%的范围内，工程中仍认为满足强度要求。 （2）截面设计 已知杆件材料的许用应力及荷载，按强度条件选择杆件的横截面面积或尺寸。,（3）确定许用荷载已知杆件材料的许用应力及杆件的尺寸，可先求得杆件所能承受的最大轴力（或称许用轴力），即,再利用平衡条件，确定杆件所能承受的最大荷载
29、（或称许用 荷载）。,例 图（a）所示三角托架的结点B悬挂一重为F的重物，杆为钢杆，横截面面积A1=600mm2，许用应力1=160MPa；杆为木杆，横截面面积A2=1104mm2，许用应力2=7MPa；。（1）当F10kN时，试校核三角托架的强度；（2）试求结构的许用荷载F；（3）当外力F=F时，重新选择杆的截面。 解 （1）取结点B为分离体， 如图（b）所示，可得,由强度条件可得,故该三角托架的强度满足要求。,当杆的强度被充分发挥时，即,当杆的强度被充分发挥时可得,（2）考察杆，其许用轴力为：,考察杆,可得托架的许用荷载为,（3）外力F=F时，杆的强度已经被充分发挥，所以面积A2不变。而杆
30、此时的轴力FN1FN1，重新计算其截面，,所以,而,例 图示起重链条，链环为钢质，容许应力=100MPa，链环所用圆钢的直径d=15mm，起吊重量FW=30kN。忽略自重，试校核圆钢所受轴向拉伸部分的强度。,解：圆钢拉伸部分轴力,圆钢横截面上的正应力：,满足抗拉强度要求。（未考虑弯曲）,例 图示桁架各杆为园截面，已知F=24kN，杆件材料的允许 应力=120MPa，试选择指定杆的直径。,解：1）分析整体 求支反力,2）取- 截面：,再取结点C：,3）根据强度条件：,=120MPa,同理：d2=20.6mm；d3=15.9mm。 按标准件选择：d1=15mm； d2=21mm；d3=16mm。,
