1、第五章 图形变换之旋转技巧提炼1旋转是中考压轴题中常见题型,在解这类题目时,什么时候需要构造旋转,怎么构造旋转 下面,就不同类型的旋转问题,给出构造旋转图形的解题方法:(1)遇中点,旋 180,构造中心对称;(2)遇 90,旋 90,造垂直;(3)遇 60,旋 60,造等边;(4)遇等腰,旋顶角综上四点得出旋转的本质特征:等线段,共顶点,就可以有旋转2图形旋转后我们需要证明旋转全等,而旋转全等中的难点实际上是倒角 下面给出旋转常用倒角,只要是旋转,必然存在这两个倒角之一如图(a)所示,若AOB= COD,必有AOC=BOD,反之亦然如图(b)所示,若A=D,必有B=C(a) (b)例题精讲例
2、1 (1)如图,边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30到正方形ABCD,图中阴影部分的面积为( )A B C D34321(2)如图,边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30到正方形 ABC D ,图中阴影部分的面积为_例 2 如图所示,EF 分别是正方形 ABCD 的边 BCDC 上的点,且EAF=45,求证:EF=BE+DF例 3 如图所示,在ABC 的边 AC,AB 为一边,分别向三角形的外侧作正方形 ACFG 和正方形 ABDE,连接 EC 交AB 于点 H,连接 BG 交 CE 于点 M,求证:BGCE 例 4 如图,在等腰ABC 中,AB=AC
3、 ,ABC=,在四边形 BDEC 中,DB=DE,BDE=2,M 为 CE 的中点,连接AM,DM(1)在图中画出DEM 关于点 M 成中心对称的图形;(2)求证:AMDM;(3)当 =_,AM=DM 例 5 已知:在ABC 中,BC= a,AC=b,以 AB 为边作等边三角形 ABD探究下列问题:(1)如图 1,当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时,a=b=3,且ACB=60,则 CD=_;(2)如图 2,当点 D 与点 C 位于直线 AB 的同侧时,a=b=6,且ACB=90,则 CD=_;(3)如图 3,当ACB 变化,且点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时 ,求 CD 的
4、最大值及相应的ACB 的度数例 6 已知MAN,AC 平分MAN(1)在图 1 中,若MAN=120 ,ABC= ADC=90,AB+AD_AC(填写“”,“AD), B=90 ,AB=BC,E 是 AB 上一点,且DCE=45,BE=4,DE=10,求直角梯形 ABCD 的面积7请阅读下列材料:问题:如图 1,在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中,点 A,B,E 在同一条直线上 ,P 是线段 DF 的中点,连接 PG,PC.若ABC=BEF=60,探究 PG 与 PC 的位置关系及 PGPC 的值.小聪同学的思路是:延长 GP 交 DC 于点 H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.请
5、你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:(1)写出上面问题中线段 PG 与 PC 的位置关系及 PGPC 的值;(2)将图 1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转,使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD 的边 AB 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图 2).你在(1) 中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明;(3)若图 1 中ABC= BEF=2(0 90),将菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出 PGPC 的值(用含 的式子表示) .8已知: 在 RtABC 中,AB=BC,在 RtADE 中,AD
6、=DE,连接 EC,取 EC 的中点 M,连接 DM 和 BM(1)若点 D 在边 AC 上,点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合,如图 1,探索 BMDM 的关系并给予证明;(2)如果将图 1 中的ADE 绕点 A 逆时针旋转小于 45的角,如图 2,那么(1) 中的结论是否仍成立?如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明 9已知正方形 ABCD 和等腰 RtBEF,BE=EF,BEF=90,按图放置,使点 F 在 BC 上,取 DF 的中点 G,连接EGCG(1)探索 EGCG 的数量关系和位置关系并证明;(2)将图中BEF 绕 B 点顺时针旋转 45,再连接 DF,取 DF 中点
7、 G(如图),问(1 )中的结论是否仍然成立证明你的结论;(3)将图中BEF 绕 B 点转动任意角度( 旋转角在 0到 90之间),再连接 DF,取 DF 的中点 G(如图),问(1) 中的结论是否仍然成立,证明你的结论10在 Rt ABC 中, ACB =90, A =30,BD 是 ABC 的角平分线, DE AB 于点 E .(1)如图 1,连接 EC ,求证: EBC 是等边三角形;(2)点 M 是线段 CD 上的一点(不与点 C,D 重合), 以 BM 为一边,在 BM 的下方作 BMG =60, MG 交 DE 延长线于点 G .请你在图 2 中画出完整图形 ,并直接写出 MD,D
8、G,与,AD 之间的数量关系;(3)如图 3,点 N 是线段 AD 上的一点,以 BN 为一边,在 BN 的下方作 BNG =60,NG 交 DE 延长线于点 G ,且MB=MG.试探究 ND,DG 与 AD 数量之间的关系,并说明理由.11请阅读下列材料:问题:如图 1,ABC 中,ACB=90,AC=BC,MN 是过点 A 的直线,DBMN 于点 D,联结 CD求证:BD+AD= CD2小明的思考过程如下:要证 BD+AD= CD,需要将 BD,AD 转化到同一条直线上,可以在 MN 上截取 AE=BD,并2联结 EC,可证ACE 和BCD 全等,得到 CE=CD,且ACE=BCD,由此推
9、出CDE 为等腰直角三角形,可知DE= CD,于是结论得证2小聪的思考过程如下:要证 BD+AD= CD,需要构造以 CD 为腰的等腰直角三角形,可以过点 C 作 CECD 交2MN 于点 E,可证ACE 和 BCD 全等,得到 CE=CD,且 AE=BD,由此推出CDE 为等腰直角三角形,可知 DE=CD,于是结论得证2请你参考小明或小聪的思考过程解决下面的问题:(1)将图 1 中的直线 MN 绕点 A 旋转到图 2 和图 3 的两种位置时,其它条件不变,猜想 BD,AD,CD 之间的数量关系,并选择其中一个图形加以证明;(2)在直线 MN 绕点 A 旋转的过程中,当BCD=30,BD= 时,CD=_ 2
