1、固体物理学,晶格振动1,晶格振动,晶格振动的物理图像（1）假定晶体中的原子位置用布拉维格子的格矢Rn标记，但将Rn理解为原子的平衡位置；（2）原子在平衡位置附近做微小的振动，其瞬间位置对平衡位置的偏离远小于离子间距。考虑最简单的理想固体：一维单原子链,一维单原子链,一维单原子链（1）所有原子相同，质量为m；（2）相邻原子平衡位置间距相等，为a；（3）原子间的相互作用相同 ，形式为U(r)，r为原子间距；,一维单原子链,考虑原子在平衡位置附近振动，偏离平衡位置的位移m；（2）相邻原子平衡位置的间距相等，为a；（3）相邻原子间的相互作用恢复力系数为；,一维双原子链,一维双原子链,分析第2n个原子受
2、力受到第2n+1个原子的作用力大小为 (2n+1- 2n)，方向向右受到第2n-1个原子的作用力大小为 (2n- 2n-1)，方向向左第n个原子受合力为(2n+1+2n-1 -22n)根据牛顿第二定律，可得到第2n个原子的运动方程类似可得到第2n+1个原子的运动方程系统共有2N个原子，因此有2N个方程,一维双原子链,方程具有形式解由于Mm，不同质量原子振动振幅一般是不相等的；上述形式解代入运动方程可得到,一维双原子链,形式解代入运动方程可得到若要A，B有非零解，则要求系数行列式满足,一维双原子链,一维双原子链的色散关系,一维双原子链,一维双原子链的色散关系,一维双原子链,一维双原子链的色散关系
3、具有周期性，周期T=/2aq取值范围一般取第一布里渊区周期性边界条件因此 ，允许的波矢q数目为N，而每个波矢对应两个，因而总的格波数目为2N，正好等于原子数目；,一维双原子链,考虑可得到,一维双原子链,一维双原子链的色散关系（1）长波极限(a) 声学波,说明原胞中两原子振幅相同，振动方向也相同，代表原胞质心的振动,一维双原子链,一维双原子链的色散关系（1）长波极限(b) 光学波,说明相邻原子振动方向相反，代表原胞质心保持不变的振动，也即原胞中原子之间的相对运动,长声学波和长光学波,一维双原子链,一维双原子链的色散关系（1）短波极限(a) 声学波,说明质量为m的原子不动，质量为M的原子振动,一维
4、双原子链,一维双原子链的色散关系（1）短波极限(b) 光学波,说明质量为M的原子不动，质量为m的原子振动,色散关系对比,三维晶格振动,考虑三维复式格子晶体由N=N1N2N3个原胞构成，一个原胞中有n个原子 n个原子质量分别是m1, m2, m3, ,mn 第l个原胞位置 第l个原胞中各原子位置原胞中各原子偏离平衡位置第l个原胞中第k个原子的运动方程其中 表示第l个原胞中第k个原子在方向受力,三维晶格振动,总势能展开(1) 为常数，表示晶体中所有原子处于平衡位置时的势能(2) 所有原子处于平衡位置时 晶体总势能一阶导数为零 (3) 力常数，表示第l个原胞中第k个原子在方向位移单位距离时，对第l个
5、原胞中第k个原子的作用力在方向的分量(4) 简谐近似下，忽略三次以及更高次项,三维晶格振动,第l个原胞中第k个原子的作用力在方向的分量运动方程 这样的方程一共有3n个方程形式解,三维晶格振动,方程形式解代回运动方程，得到关于A1x, A1y, A1z, , Anx, Any, Anz的3n个线性齐次方程组其中C为力常数的傅里叶展开系数根据系数行列式为零的条件，可解得3n个j (j=1,2,3,3n)可以证明，其中3个声学波，3n-3个光学波,三维晶格振动,考虑三维晶格的周期性边界条件可得到q空间一个q点占据的空间体积,简正坐标,考虑由N个原子组成的固体（晶体），原子质量为m第n的原子偏离平衡位
6、置的位移为对于N个原子，将其偏离平衡位置的位移改记为N原子体系动能N原子体系势能 （简谐近似）,简正坐标,系统哈密顿量由于交叉项的存在，使得问题的求解存在困难可以将坐标变换成简正坐标，消除交叉项变换的形式系统哈密顿量变为,简正坐标,拉格朗日函数正则动量正则方程其中i=1,2,3,3N从而3N个Qi相互无关，可以独立求解说明Qi描述3N种互不耦合的简谐振动,简正坐标,坐标变换关系式将运动方程解 代入，可得到因此，第i个原子的运动实际上是3N种简谐运动的叠加,简正坐标,考虑一维单原子链的情形（N个质量为m的原子）波矢为q的格波引起第n个原子的位移第n个原子的总位移定义简正坐标则可将将原子位移改写为
7、其逆变换因此，Qq和n之间是傅里叶变换的关系， Qq表达的是N个原子的集体振动，是集体坐标,简正坐标,对比与坐标变换关系式 可得到变换系数,声子,用量子力学处理晶格振动，系统哈密顿量仍然存在q和-q的交叉项，通过线性变换引入新的算符，可得到哈密顿量，其形式是无相互作用简谐振子之和，也就是说原子之间相互耦合的晶格振动，在简谐近似下约化为独立的简谐振子系统 （参考李正中固体理论2.4节）单个谐振子的能量晶格振动总能量为,声子,晶格振动总能量为因此晶格振动能量是以 为单位量子化的，通常把这个能量量子称为声子；声子的能量为 ，动量为声子是玻色子，满足玻色统计；声子不能脱离固体单独存在，是晶格中原子集体
8、运动的激发单元，通常称为元激发(elementary excitation)或者准粒子(quasipartical),Si的格波/声子谱,黄昆简介 1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大学物理系学习，获哲学博士学位；发表稀固溶体的X光漫散射论文，理论上预言“黄散射”。 1948-1951年，在英国利物浦大学期间建立了“黄方程”，提出了声子极化激元的概念，并与李爱扶（A.Rhys）建立了多声子跃迁理论。 1947-1952年，与玻恩合著晶格动力学(Dynamical Theory of Crystal Lattices)一书。,我国科学家黄昆在晶格振动理论上做出了重要贡献,黄昆
9、对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡献。他的名字与多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振动长波唯象方程、二维体系光学声子模联系在一起。他是“极化激元”概念的最早阐述者 。,固体热容的经典理论,固体的定容热容 定义其中E为晶体能量根据经典统计物理中的能量均分定理，每个简谐振动的能量是kBT （参考统计物理教材）固体由N个原子组成，总能量固体热容为与温度和材料性质无关的常数(Dulong-Petit law),固体热容,实验观测结果表明，固体的热容随温度变化规律（1）高温下趋于常数（2）随温度下降急剧下降（3）低温下趋于零,根据实验结果总结经验公式第一项为电子贡献，在极低温下显著；第二项为
10、晶格贡献，在更高温度时占主导地位,固体热容的量子理论,晶格振动的能量其中 是q的函数，由色散关系决定；解释：(1)当晶格处于 对应的状态时， 系统中有 个 个声子；或者 系统中有 个声子在振动模式 上 ；(2)晶格中的声子总数,声子的总数及其在各个振动模式上的分布与温度T相关,固体热容的量子理论,声子是玻色子(boson)，遵从玻色统计（参考统计物理教材）温度T时，振动模式 上的平均声子数解释：(1)对任意振动模式，温度T=0K时，声子数为零（基态）(2)振动模式一定时，温度越高，该振动模式的声子数越多；(3)温度很高时， ， 为小量， 声子数与温度成正比；(4)温度T一定时，声子能量越大，声
11、子数越少，低频声子数大于高频声子数；,固体热容的量子理论,振动模式 子系统的总能量晶格振动总能量,固体热容的量子理论,考虑振动模式 子系统对热容的贡献解释：(1)低温极限，T-0， 说明温度趋近于零的时候，比热也趋于零，与实验定性符合,固体热容的量子理论,解释：(2)高温极限， ， 为小量； 说明温度非常高的时候，比热为常数，与实验定性符合所有振动模式子系统对热容的贡献,wj的具体形式与系统相关,爱因斯坦模型,爱因斯坦假设固体中所有原子以相同频率振动，即只存在一个振动模式，或者说所有振动模式贡献相同；晶格振动能量晶格比热定义爱因斯坦热容函数， 令则 晶格比热可表示为,爱因斯坦模型,定义爱因斯坦
12、温度 ，满足则 晶格比热可表示为说明：可以选适当的 以使理论计算结果与实验符合解释：(1)当温度很高时， ， 为小量；与Dulong-Petit law 一致,爱因斯坦模型,解释：(2)当温度很低时， ， 定性符合实验，热容随温度下降按指数趋于零；但实验给出的经验公式是按 趋于零，因此有一定偏差；原因在于？从爱因斯坦温度定义 可以得到对应晶格振动光波频率范围因此爱因斯坦模型相当于把所有格波都视为频率较高的光学波；而在低温时，声学波对热容的贡献更为显著；这是造成在低温时爱因斯坦模型理论与实验的偏差,晶格振动模式密度,晶格热容对j的求和实际上是对所有振动模式的求和讨论q空间的振动模式密度(振动模式
13、在q空间的分布)(1)考虑一维单原子链，N个原子，原子间距为a； 波矢 ，h为整数； q在第一布里渊区 等间距分布，共有N种q取值； 也就是说有N种振动模式； q空间的振动模式密度,晶格振动模式密度,讨论q空间的振动模式密度(振动模式在q空间的分布)(2)考虑三维晶格，共N=N1N2N3个原子，原胞基矢a1, a2, a3； 倒空间波矢 q在第一布里渊区均匀分布（假定为正交晶格）； N1种取值 N2种取值 波矢q共有N=N1N2N3种取值 N3种取值,晶格振动模式密度,正空间原胞体积倒空间原胞体积（也即第一布里渊区体积）正空间和到空间原胞体积满足 q空间振动模式密度小结(1)波矢q允许的值在q
14、空间均匀分布；(2)波矢q的分布密度为 ，也即q空间单位体积的q数目,晶格振动模式密度,虽然严格地说波矢q的取值是离散的，但由于N的数目很大，因此可以将q近似看作连续变化的，对波矢q的求和可以写成对q的积分在q空间的体积元 内允许的波矢q数目在 之间波矢q（振动模式）数目类似地，在 之间，振动模式数目其中g(w)为振动模式频率分布函数，或者振动模式态密度函数（单位频率/能量范围区间内的振动模式数目）,波矢空间,在 之间波矢q（振动模式）数目,德拜(Debye)模型,德拜假设晶体中存在的是各相同性连续介质弹性波对于确定波矢q，有1个纵波和2个横波，其色散关系分别为 纵波 ，其中 为纵(longt
15、itudinal)波波速 横波 ，其中 为横(transverse)波波速连续介质弹性波的频率和波矢成正比，不存在色散现象(1)对于纵波，因此，单位能量区间内，纵波振动模式态密度为 同理，单位能量区间内，横波振动模式态密度为,德拜(Debye)模型,总的振动模式态密度令 ，则有此外g(w)还需要满足总模式密度为3N的条件,德拜(Debye)模型,晶格比热令 ，则有其中R=NkB，为气体常数,德拜(Debye)模型,晶格热容定义德拜温度其中德拜热容函数,德拜(Debye)模型,德拜热容函数解释：(1)高温极限 与Dulong-Petit law一致,德拜(Debye)模型,德拜热容函数解释：(2
16、)低温极限 此为Debye law,德拜模型,本课小结,一维单原子链简谐近似Born-Karman周期性边界条件格波解，色散关系，长波极限，短波极限一维双原子链格波解，色散关系，声学支，光学支,本课小结,三维晶格振动晶格振动的理论力学和量子力学处理声子晶格热容的量子理论爱因斯坦模型德拜模型,网络学习资源,一维双原子晶格振动 （需要java）http:/dept.kent.edu/projects/ksuviz/leeviz/phonon/phonon.html一维双原子分子色散关系计算器（需要java）http:/solidstate.physics.sunysb.edu/teach/intl
17、earn/phonon/phonon_dispersion.html,课后任务（不需要上交）,自学“三维晶格振动”，“晶格热容的量子理论” 。自学“金属的自由电子气体模型”,作业（需要上交）,证明长波下单原子链运动方程 可以化为连续介质弹性波动方程,作业（需要上交）,质量相同的两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的力常数交错等于1=c和2=10c，且最近邻距离为a；(1)求出色散关系，计算q=0, q=pi/2a处格波的频率值；(2)大致画出色散关系示意图，标明几个关键点的q和值。,作业（需要上交）,对一维简单晶格，按德拜模型，求出晶格热容，并讨论高低温极限；用德拜模型求出三维简单晶格在绝对零度时的零点振动能。,色散现象,布里渊区,正方格子的布里渊区,
