1、解概率论与数理统计概率论与数理统计故 X,Y不独立。v64页例页例 4 设 (X,Y)的密度函数为求 (1) C的值 ; (2) 边缘密度函数 .解概率论与数理统计概率论与数理统计（一）随机变量的数学期望1.离散型随机变量的数学期望设 X的分布律为则2.连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量 X的密度函数为 f(x),则概率论与数理统计Review概率论与数理统计3.随机变量函数的数学期望（ 1） X为随机变量 ， Y=g(X),离散型 ：连续型：(2)(X,Y)为二维 随机变量 , Z=g(X,Y),离散型：连续型：概率论与数理统计解概率论与数理统计概率论与数理统计1.E (C ) = C
2、2. E (aX ) = a E (X ) 3.E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 4.当 X ,Y 独立时， E (X Y ) = E (X )E (Y ) .线性性质（二）方差1.定义 D(X)=E X-E(X)2标准差：2.计算(2) 离散型 ：(3)连续型 ：概率论与数理统计(1) 计算公式 ： D(X)=E(X2)-E2(X).概率论与数理统计(1) D(C)=0;(2) D(CX)= C2D(X);(3)若 X, Y相互独立相互独立 ,则D(X+Y)=D(X) +D(Y).D(X-Y)=D(X) +D(Y).概率论与数理统计v例例 1 解已知随机变量 X 的分
3、布律为求求 D(X).概率论与数理统计v例例 2 解概率论与数理统计v例例 3 设 X b(n,p),求 E(X),D(X). 解 X表示重伯努利试验中 “ 成功的次数 ” ，令且 Xi服从 0-1分布，则又 Xi之间相互独立，概率论与数理统计v例例 4 已知标准正态分布 N(0,1)的期望是 0，方差是 1。设 X N(,2),求 E(X),D(X). 解随机变量的标准化：分布 数学期望 方差0-1分布 B(1,p) p p(1-p)二项分布 B(1,p) np np(1-p)泊松分布均匀分布正态分布指数分布概率论与数理统计问题 对于二维随机变量 (X ,Y ):联合分布 边缘分布对二维随机
4、变量 ,除每个随机变量各自的概率特性外 , 相互之间可能还有某种联系该用一个怎样的数去反映这种联系呢 ？ 数能反映随机变量 X , Y 之间的 线性线性 关系 4.4概率论与数理统计为 X ,Y 的 协方差 . 记为 称为（ X , Y ）的 协方差矩阵称定义定义概率论与数理统计计算公式 ： cov(X,Y) =E(XY)-E(X)E(Y).v例例 5 (X,Y)分布律如下，求 cov(X,Y)概率论与数理统计解 X,Y的分布律分别如下： v例例 5 (X,Y)分布律如下，求 cov(X,Y)概率论与数理统计v例例 6概率论与数理统计解概率论与数理统计1.cov(X,X)=D(X)5.当 X
5、,Y 独立时， cov(X ,Y ) = 0 .对称性2.cov(X,Y)=cov(Y,X)3.cov(aX,bY)=abcov(X,Y)6.cov(C,X)=04.cov(X1 +X2,Y)=cov(X1,Y)+ cov(X2,Y)而当 cov(X ,Y ) = 0， X ,Y并不一定独立 .X,Y线性 不相关7.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)为了消除量纲对协方差值的影响 ,我们把 X,Y标准化后再求协方差概率论与数理统计若 D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称为 X ,Y 的 线性相关系数线性相关系数 ，记为若
6、 称 X ,Y 线性线性 不相关 .概率论与数理统计概率论与数理统计1.|XY|12.当 X ,Y 独立时， XY = 0 .3. |XY|越大 ， 则 X ,Y 线性相关程度越好当 |XY|=0时 ， X ,Y 并不是一定没有关系 ，而是线性不相关。逆命题不成立4. (X,Y) N(1,2,12,22,)就是 X ,Y 的相关系数， XY = .概率论与数理统计v例例 7 设 ( X ,Y ) N ( 1,4, 1,4, 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ解概率论与数理统计v例例 8 U-,X=sin , Y=cos ,X,Y是否相关，是否独立？概率论与数理统计解证明 (1)于是 XY= 0， 所以 X与 Y线性不相关 。例例 9 已知（ X,Y）的概率密度如下，试证 X与 Y既不相关，也不相互独立。概率论与数理统计显然， fX(x)fY(y)f(x,y)，因此， X与 Y不相互独立。例例 9 已知（ X,Y）的概率密度如下，试证 X与 Y既不相关，也不相互独立。概率论与数理统计
