1、第三章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布习题 1设(X,Y)的分布律为XY 1 2 3 1 1/6 1/9 1/182 1/3a1/9求 a.分析：dsfsd1f6d54654646解答：由分布律性质ijPij=1, 可知1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得a=2/9.习题 2(1)2.设(X,Y)的分布函数为 F(x,y)，试用 F(x,y)表示：(1)Paa,Yb.解答：PXa,Yb=F(+,b)-F(a,b).习题 3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(1)P12Y=1，且由正态分布图形的对称性，知PXY=PXY, 故 PXY=12.
2、习题 7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=k(6-x-y),01, 有F(x,y)=PX1,Yy=40xudu01ydy=x2.最后，设 x1,0y1, 有F(x,y)=PX1,Yy=401xdx0yvdv=y2.函数 F(x,y)在平面各区域的表达式F(x,y)=0,x0 或y0x2,0x1,y1x2y2,0x1,0y1.y2,x习题 9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=4.8y(2-x),0x1,xy10,其它,求边缘概率密度 fY(y).解答：fX(x)=-+f(x,y)dy=0x4.8y(2-x)dy,0x10,其它=2.4x2(2-x),0x10,其它.f
3、Y(y)=-+f(x,y)dx=0y4.8y(2-x)dx,0y10,其它=2.4y(4y-y2),0y10,其它.习题 10设(X,Y)在曲线 y=x2,y=x所围成的区域 G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.解答：区域 G的面积 A=01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)=6,0x1,x2yx0,其它,从而 fX(x)=-+f(x,y)dy=6x2xdy=6(x-x2),0x1, 即fX(x)=6(x-x2),0x10,其它,fY(y)=-+f(x,y)dx=6yydx=6(y-y),0y1,即 fY(y)=6(y-y),0y10,其它.3
4、.2 条件分布与随机变量的独立性习题 1二维随机变量(X,Y)的分布律为XY 01 01 7/157/307/301/15(1)求 Y的边缘分布律；(2)求 PY=0X=0,PY=1X=0;(3)判定 X与 Y是否独立？解答：(1)由(x,y)的分布律知，y 只取 0及 1两个值.Py=0=Px=0,y=0+Px=1,y=0=715+730=0.7Py=1=i=01Px=i,y=1=130+115=0.3.(2)Py=0x=0=Px=0,y=0Px=0=23,Py=1x=0=13.(3)已知 Px=0,y=0=715, 由(1)知 Py=0=0.7, 类似可得Px=0=0.7.因为 Px=0,
5、y=0Px=0Py=0, 所以 x与 y不独立.习题 2将某一医药公司 9月份和 8份的青霉素针剂的订货单分别记为 X与 Y. 据以往积累的资料知 X和 Y的联合分布律为XY 5152535455 51525354550.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.050.020.010.010.030.050.060.050.010.03(1)求边缘分布律;(2)求 8月份的订单数为 51时，9 月份订单数的条件分布律.解答：(1)边缘分布律为X 5152535455pk 0.180.150.350.120.20对应
6、 X的值,将每行的概率相加,可得 PX=i.对应 Y的值(最上边的一行), 将每列的概率相加，可得 PY=j.Y 5152535455pk 0.280.280.220.090.13(2)当 Y=51时,X 的条件分布律为PX=kY=51=PX=k,y=51PY=51=pk,510.28, k=51,52,53,54,55.列表如下:k 5152535455PX=kY=51 6/287/285/285/285/28习题 3已知(X,Y)的分布律如下表所示，试求：(1)在 Y=1的条件下,X 的条件分布律;(2)在 X=2的条件下,Y 的条件分布律.XY 012 012 1/41/8001/301
7、/601/8解答：由联合分布律得关于 X,Y的两个边缘分布律为X 012 pk 3/81/37/24Y 012 pk 5/1211/241/8故(1)在 Y=1条件下，X 的条件分布律为X(Y=1) 012pk 3/118/110(2)在 X=2的条件下，Y 的条件分布律为Y(X=2) 012pk 4/703/7习题 4已知(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y)=3x,0X=05x52(5-y)125dydx=13.习题 7设随机变量 X与 Y都服从 N(0,1)分布，且 X与 Y相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数.解答：由题意知，随机变量 X,Y的概率密度函数分别是fX(x)=12e
8、-x22， fY(y)=12e-y22因为 X与 Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是f(x,y)=12e-12(x+y)2.习题 8设随机变量 X的概率密度f(x)=12e-x(-0, 各有PXa,Xa=PXaPXa,而事件XaXa, 故由上式有PXa=PXaPXa,PXa(1-PXa)=0PXa=0 或 1=PXa(a0)但当 a0时，两者均不成立，出现矛盾，故 X与X不独立.习题 9设 X和 Y是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为fY(y)=12e-y2,y00,y0,(1)求 X与 Y的联合概率密度；(2)设有 a的二次方程 a2+2Xa
9、+Y=0, 求它有实根的概率.解答：(1)由题设易知fX(x)=1,000,其它;(2)因a 有实根=判别式 2=4X2-4Y0=X2Y,故如图所示得到：Pa有实根=PX2Y=x2yf(x,y)dxdy=01dx0x212e-y2dy=-01e-x22dx=1-1e-x22dx-0e-x22dx=1-212-1e-x22dx-12-0e-x22dx=1-2(1)-(0),又 (1)=0.8413, (0)=0.5, 于是 (1)-(0)=0.3413, 所以Pa有实根=1-2(1)-(0)1-2.510.3413=0.1433.3.3 二维随机变量函数的分布习题 1设随机变量 X和 Y相互独立
10、，且都等可能地取 1,2,3为值，求随机变量U=maxX,Y和 V=minX,Y的联合分布.解答：由于 UV, 可见 PU=i,V=j=0(ij),于是，随机变量 U和 V的联合概率分布为V概率U 1 2 31 1/92/92/92 0 1/92/93 0 0 1/9习题 2设(X,Y)的分布律为XY -112 -12 1/101/53/101/51/101/10试求：(1)Z=X+Y; (2)Z=XY; (3)Z=X/Y; (4)Z=maxX,Y的分布律.解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意，Z 的相同值的概率要合并.概率 1/101/5
11、3/101/51/101/10(X,Y)X+YXYX/Ymaxx,Y (-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221112222于是(1)X+Y -20134 pi 1/101/51/21/101/10(2)XY -20134 pi 1/21/51/101/101/10(3)X/Y -2-1-1/212 pi 1/51/53/101/51/10(4)maxX,Y -112 pi 1/101/57/10 习题 3设二维随机向量(X,Y)服从矩形区域 D=(x,y0x2,0y1的均匀分布，且U=0,XY1,XY, V=0
12、,X2Y1,X2Y,求 U与 V的联合概率分布.解答：依题(U,V)的概率分布为PU=0,V=0=PXY,X2Y=PXY=01dxx112dy=14,PU=0,V=1=PXY,X2Y=0,PU=1,V=0=PXY,X2Y=PY00,z0.习题 5设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=12(x+y)e-(x+y),x0,y00,其它,(1)问 X和 Y是否相互独立？(2)求 Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=-+f(x,y)dy=0+12(x+y)e-(x+y)dy,x00,x0under2line令 x+y=tx+12te-tdt=12(x+1)e-x,x00,x0,由对称
13、性知 fY(y)=12(y+1)e-y,y00,y0, 显然f(x,y)fX(x)fY(y),x0,y0,所以 X与 Y不独立.(2)用卷积公式求 fZ(z)=-+f(x,z-x)dx.当x0z-x0 即 x0x0时，fZ(z)=0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y 的概率密度为fZ(z)=12z2e-z,z00,z0.习题 6设随机变量 X,Y相互独立，若 X服从(0,1)上的均匀分布，Y 服从参数 1的指数分布，求随机变量 Z=X+Y的概率密度.解答：据题意，X,Y 的概率密度分布为fX(x)=1,00时，fZ(z)=0+fX(z-y)e-ydy=max(0,z-1)ze
14、-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即fZ(z)=0,z01-e-z,01.习题 7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=be-(x+y),000,x0, 2(y)=e-y,y00,y0,其中 0,0, 试求系统 L的寿命 Z的概率密度.解答：设 Z=minX,Y, 则F(z)=PZz=Pmin(X,Y)z=1-Pmin(X,Y)z=1-PXz,Yz=1-1PX00,z0.习题 9设随机变量 X,Y相互独立，且服从同一分布，试证明：Paa2-PXb2.解答：设 minX,Y=Z,则Paz=1-PXz,Yz=1-PXzPYz=1-PXz2,代入得Pab2-(1-PXa2)=PXa
15、2-PXb2.证毕.复习总结与总习题解答习题 1在一箱子中装有 12 只开关，其中 2 只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：(1)放回抽样；(2) 不放回抽样.我们定义随机变量 X,Y 如下：X=0,若第一次取出的是正品 1,若第一次取出的是次品, Y=0,若第二次取出的是正品 1,若第二次取出的是次品,试分别就(1),(2)两种情况，写出 X 和 Y 的联合分布律 .解答：(1)有放回抽样，(X,Y) 分布律如下：PX=0,Y=0=10101212=2536; PX=1,Y=0=2101212=536,PX=0,Y=1=1021212=536, PX=1,Y=1=221212
16、=136,(2)不放回抽样，(X,Y) 的分布律如下：PX=0,Y=0=1091211=4566, PX=0,Y=1=1021211=1066,PX=1,Y=0=2101211=1066, PX=1,Y=1=211211=166,Y X 01 01 45/6610/6610/661/66 习题 2假设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布，随机变量Xk=0,若 Yk1,若 Yk(k=1,2),求(X1,X2)的联合分布率与边缘分布率.解答：因为 Y 服从参数为 1 的指数分布，X1=0, 若 Y11,若 Y1, 所以有PX1=1=PY1=1+e-ydy=e-1, PX1=0=1-e-1,同理
17、PX2=1=PY2=2+e-ydy=e-2,PX2=0=1-e-2,因为PX1=1,X2=1=PY2=e-2，PX1=1,X2=0=PX1=1-PX1=1,X2=1=e-1-e-2,PX1=0,X2=0=PY 1=1-e-1,PX1=0,X2=1=PX1=0-PX1=0,X2=0=0,故(X1,X2)联合分布率与边缘分布率如下表所示：X1slashX2 0 1 PX1=i0 1-e-1 0 1-e-11 e-1-e-2e-2 e-1PX2=j 1-e-2 e-2 习题 3在元旦茶话会上，每人发给一袋水果，内装 3 只橘子，2 只苹果，3 只香蕉. 今从袋中随机抽出 4 只，以 X 记橘子数，Y
18、 记苹果数，求(X,Y)的联合分布.解答：X 可取值为 0,1,2,3,Y 可取值 0,1,2.PX=0,Y=0=P=0,PX=0,Y=1=C30C21C33/C84=2/70,PX=0,Y=2=C30C22C32/C84=3/70,PX=1,Y=0=C31C20C33/C84=3/70,PX=1,Y=1=C31C21C32/C84=18/70,PX=1,Y=2=C31C22C31/C84=9/70,PX=2,Y=0=C32C20C32/C84=9/70,PX=2,Y=1=C32C21C31/C84=18/70,PX=2,Y=2=C32C22C30/C84=3/70,PX=3,Y=0=C33C
19、20C31/C84=3/70,PX=3,Y=1=C33C21C30/C84=2/70,PX=3,Y=2=P=0,所以，(X,Y)的联合分布如下：XY 0123 012 03/709/703/702/7018/7018/702/703/709/703/700习题 4设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于 X 与 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处：XY y1 y2 y3 pi x1 1/8 x2 1/8 pj 1/6 1 解答：由题设 X 与 Y 相互独立，即有pij=pipj(i=1,2;j=1,2,3), p1-p21=p
20、11=16-18=124,又由独立性，有p11=p1p1=p116故 p1=14.从而 p13=14-124-18, 又由 p12=p1p2, 即 18=14p2.从而 p2=12. 类似的有p3=13,p13=14,p2=34.将上述数值填入表中有XY y1 y2 y3 pi x1 1/24 1/8 1/12 1/4 x2 1/8 3/8 1/4 3/4 pj 1/6 1/2 1/3 1 习题 5设随机变量(X,Y)的联合分布如下表：求：(1)a 值； (2)(X,Y)的联合分布函数 F(x,y)；(3)(X,Y)关于 X,Y 的边缘分布函数 FX(x)与 FY(y).解答：(1)becau
21、se 由分布律的性质可知ijPij=1, 故 14+14+16+a=1,a=13.(2)因 F(x,y)=PXx,Y y当 x0 时，F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0=1/2;当 x2,y0 时，F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1+PX=1,Y=0+PX=2,Y=0=1;综上所述，得(X,Y)联合分布函数为F(x,y)=0,x0,y00,其它,(1)确定常数 c; (2)求 X,Y 的边缘概率密度函数；(3)求联合分布函数 F(x,y); (4)求 PYX;(5)求条件概率密度函数 fXY(x y); (6)求 PX00,x 0=2e-2x,x00,x0,f
22、Y(y)=-+f(x,y)dx=0+2e-2xe-ydx,y00,其它 =e-y,y00,y0.(3)F(x,y)=-x-yf(u,v)dvdu=0x0y2e-2ue-vdvdu,x0,y00,其它=(1-e-2x)(1-e-y),x0,y00,其它.(4)PYX=0+dx 0x2e-2xe-ydy=0+2e-2x(1-e-x)dx=13.(5)当 y0 时，fXY(xy)=f(x,y)fY(y)=2e-2xe-ye-y,x00,x0=2e-2x,x00,x0.(6)PXR 时，fX(x)=-+ f(x,y)dy= -+0dy=0;当-RxR 时，fX(x)=-+f(x,y)dy=1R2-R2
23、-x2R2-x2dy=2R2R2-x2.于是 fX(x)=2R2-x2R2,-RxR0,其它.由于 X 和 Y 的地位平等，同法可得 Y 的边缘概率密度是：fY(y)=2R2-y2R2,-RyR0,其它.(2)fXY(xy)=f(x,y)fY(y)注意在 y 处 x 值位于xR2-y2 这个范围内，f(x,y)才有非零值，故在此范围内，有fX Y(xy)=1R22R2R2-y2=12R2-y2,即 Y=y 时 X 的条件概率密度为fX Y(xy)=12R2-y2,xR2-y20,其它.同法可得 X=x 时 Y 的条件概率密度为fY X(yx)=12R2-x2,yR2-x20,其它.由于条件概率
24、密度与边缘概率密度不相等，所以 X 与 Y 不独立.习题 15设(X,Y) 的分布律如下表所示XY-112 -12 1/102/103/102/101/101/10求：(1)Z=X+Y; (2)Z=maxX,Y的分布律.解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类似，本质上是利用事件及其概率的运算法则. 注意，Z 的相同值的概率要合并.概率 (X,Y)X+YXYX/YmaxX,Y 1/102/103/102/101/101/10 (-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221-112222于是(1)X+Y -201
25、34 pi 1/102/105/101/101/10(2)maxX,Y -112pi 1/102/107/10习题 16设(X,Y) 的概率密度为f(x,y)=1,00,y00,其它,求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数 .解答：按定义FZ(Z)=Px+2yz,当 z0 时， FZ(Z)=x+2yzf(x,y)dxdy= x+2yz0dxdy=0.当 z0 时，FZ(Z)=x+2y zf(x,y)dxdy=0zdx 0(z-x)/22e-(x+2y)dy=0ze-x(1-ex-z)dx=0z(e-x-e-z)dx=-e-x0z-ze-z=1-e-z-ze-z,故分布函数为 FZ(Z)=0,z0
26、1-e-z-ze-z,z0.习题 18设随机变量 X 与 Y 相互独立，其概率密度函数分别为fX(x)=1,0x10,其它, fY(y)=Ae-y,y00,y 0,求：(1)常数 A; (2)随机变量 Z=2X+Y 的概率密度函数.解答：(1)1= -+ fY(y)dy=0+Ae-ydy=A.(2)因 X 与 Y 相互独立，故(X,Y) 的联合概率密度为f(x,y)=e-y,0x1,y00,其它.于是当 z2 时，有F(z)=P2X+Y2=01dx0z-2xe-ydy= 01(1-e2x-z)dx.利用分布函数法求得 Z=2X+Y 的概率密度函数为fZ(z)=0,z0(1-e-z)/2,0z2
27、(e2-1)e-z/2,z2.习题 19设随机变量 X,Y 相互独立，若 X 与 Y 分别服从区间(0,1)与(0,2)上的均匀分布，求U=maxX,Y与 V=minX,Y的概率密度.解答：由题设知，X 与 Y 的概率密度分别为fX(x)=1,0x10,其它, fY(y)=1/2,0y20,其它,于是，X 与 Y 的分布函数分别为FX(x)=0,x0x,0x11,x1, FY(y)=0,y0y/2,0y21,y 2,从而 U=maxX,Y的分布函数为FU(u)=FX(u)FY(u)=0,u0u2/2,0u1u/2,1 u21,u2,故 U=maxX,Y的概率密度为fU(u)=u,0u11/2,1u20,其它.同理，由FV(v)=1-1-FX(v)1-FY)=FX(v)+FY(v)-FX(v)FY(v)=FX(v)+FY(v)-FU(v),得 V=minX,Y的分布函数为FV(v)=0,v0v2(3-v),0v11,v1,故 V=minX,Y的概率密度为fV(v)=32-v,0v10,其它.注：(1)用卷积公式，主要的困难在于 X 与 Y 的概率密度为分段函数，故卷积需要分段计算；(2)先分别求出 X,Y 的分布函数 FX(x)与 FY(y), 然后求出 FU(u)，再求导得 fU(u); 同理先求出 FV(v), 求导即得 fV(v).
