1、 精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：初三 课 时 数：3学员姓名：范诗源 辅导科目：数学 学科教师：季益鸣 授课类型 T(同步知识主题) C （专题方法主题） T （学法与能力主题）授课日期及时段 2013.12.15教学内容一、同步知识梳理知识点 1： 圆的有关概念（1） 圆心和半径：圆心确定位置，半径确定大小。等圆或同圆的半径都相等。（2） 弦：圆上任意两点之间的线段。直径是圆中最长的弦。（3） 弧：圆上任意两点之间的部分。完全重合的弧叫做等弧（强调度数相等且长度相等）（4） 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。（5） 经过不在同一条直线上的三个点唯一确定
2、一个圆。（6）【常作辅助线 1】连接圆心和圆上的点，形成半径。知识点 2：圆的有关性质 （1）圆是中心对称图形，也是轴对称图形。(2) 弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。(3)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，也平分弦所对的优弧和劣弧。(4) 圆周角的性质： 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。【常作辅助线 2】过圆心向弦作垂线，形成垂径定理的条件，构造直角三角形应用勾股定理进行计算。【常作辅助线 3】利用直径，构造直角。知识点 3：与圆
3、有关的位置关系（1）点与圆的位置关系：圆的半径为 r ,点到圆心的距离为 d 点在圆内 点在圆上内 点在圆外rddr（2）直线与圆的位置关系圆的半径为 r ,直线到圆的距离为 d 直线与圆相交点在圆内 直线与圆相切点在圆内 直线与圆相离点在圆内rd（1）圆与圆的位置关系两圆外离 两圆外切 两圆相交rRdrRd 两圆内切 两圆内含rRr0（2）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。（3）切线的判定：经过半径的外端点且垂直于该半径的直线是圆的切线。（4）切线长定义：从圆外一点作圆的切线，该点到切点的距离叫切线长。 （补充）（5）切线长定理：从圆外一点作出圆的两条切线，它们的切线长相等，且该点到圆
4、心的连线平分两切线的夹角。 （补充）（6）三角形的内心：是三个角的平分线的交点，它到三边的距离相等。【常作辅助线 4】连接圆心和切点得垂直。【常作辅助线 5】当直径垂直于圆内一条不是弦的线段时，延长该线段与圆相交，形成直径垂直于弦。【常作辅助线 6】遇三角形的内心时，连接内心和三角形的顶点，形成角平分线。知识点 4 圆中的计算（1）弧长公式： 180Rnl（2）扇形面积： 或 362SlS1（3）圆锥的侧面积： （指底面圆的半径， l 指母线长）rl侧A BCDO图 2图 7 图 8图 4ODA BC 图 5 图 6ACDO B题型 1：圆的有关概念1 （2006玉林市、防城港市）如图 1，四
5、边形 是扇形 的内接矩形，顶点 在 Error! No PAOBMNPMN bookmark name given.上，且不与 重合，当 点在 上移动时，矩形 的形状、大小随之变化，MN，MN AOB则 的长度（ ）AB变大 变小 不变 不能确定2 （2010 江苏扬州）如图 2， AB 为 O 直径，点 C、 D 在 O 上，已知 BOC70， AD OC，则 AOD_3如图 AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB 与 CD 的延长线交于点 E ，且 AB2DE，E18，求AOC 的度数。题型 2：圆的有关性质 4.（2008 白银）高速公路的隧道和桥梁最多如图 3 是一个隧道的横截面，
6、若它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分，路面 =10 米，净高 =7 米，则此圆的半径 =（ ）ABCDOAA5 B7 C D37575.（2007 连云港）如图 5，将半径为 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 ，则折痕 的长为（ ）2cmOABA B C D2cm3325cm 图 1O EA BC D图 3图 9图 10MHMODCBA图 11D CBAP图 136. 已知O 的半径为 R，弦 AB 的长也是 R，则AOB 的度数是_7.（2008 黄石）如图 6， 为 O 的直径，点 在 O 上， ，则 ABCD， 50BACDC8. （2010 湖北黄石）如图 7， O 中， OA B
7、C, AOB60,则 ADC .9.（2010 黄冈）如图 8，O 中， 的度数为 320，则圆周角MAN_MAN 10. 如图 9，在ABC 中，ADBC 于 D，以 AE 为直径画圆，经过点 B、C，求证：BAE=CAD11(2009 年温州)如图 10，已知正方形纸片 ABCD 的边长为 8，0 的半径为 2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使 EA恰好与0 相切于点 A (EFA与0 除切点外无重叠部分)，延长 FA交 CD 边于点G，则 AG 的长是 题型 3：与圆有关的位置关系12 （2006邵阳市）已知O 的半径为 3cm，点 P 是直线 l 上一点，OP 长为 5c
8、m，则直线 l 与O 的位置关系为（ ）A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能13 （2010 山东淄博）如图 11， D 是半径为 R 的 O 上一点，过点 D 作 O 的切线交直径 AB 的延长线于点 C，下列四个条件： AD CD； A30； ADC120； DC R其中,使得 BC R 的有（ ）3A B. C. D.14 （2009 仙桃）如图 12， AB 为 O 的直径， D 是 O 上的一点，过 O 点作 AB 的垂线交 AD 于点 E，交 BD 的延长线于点 C， F 为 CE 上一点，且 FD FE(1)请探究 FD 与O 的位置关系，并说明理由
9、；(2)若O 的半径为 2，BD ，求 BC 的长3A BCDEF图 12OEOBACDF图 14DIAB CE图 1515如图 13，P 是BAC 的平分线上一点，PDAC，垂足为 D. AB 与以 P 为圆心、PD 为半径的圆相切吗？为什么？16 已知如图 14，ABC 内接于O，AD 是O 的直径，CEAD，点 E 为垂足，CE 的延长线交 AB 于点 F。求证：2ACBF17如图15，ABC中， I为内心，AI交边BC于点D，交ABC的外接圆于点E，连结BE，试说明：BE=EC=IE。18 （2010 湖南长沙）已知O 1、O 2的半径分别是 、 ，若两圆相交，则圆心距 O1O2可能取
10、的值是（ 12r4） A、2 B、4 C、6 D、8题型 4：圆中的计算19 （2006宿迁市）如图 16，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能 围成一个圆锥模型若圆的半径为 r，扇形的半径为 R，扇形的圆心角等于 120，则 r 与 R 之间的关系是（ ）AR2r BR r CR3r DR4r 320一个扇形的圆心角为 90半径为 2，则这个扇形的弧长为_ (结果保留 )21.（2010 浙江宁波）如图， AB 是 O 的直径，弦 DE 垂直平分半径 OA， C 为垂足，弦 DF 与半径 OB 相交于点 P，连结 EF、 EO，若 DE= ， DPA=45.2(1)求 O 的半径；
11、(2)求图中阴影部分的面积. 图 16OAEPCDFB图 17三、课堂达标检测一、精心选一选(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共计 30 分)1、下列命题：长度相等的弧是等弧 任意三点确定一个圆 相等的圆心角所对的弦相等 外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个2、同一平面内两圆的半径是 R 和 r，圆心距是 d，若以 R、r、d 为边长，能围成一个三角形，则这两个圆的位置关系是（ ）A外离 B相切 C相交 D内含3、如图 1，四边形 ABCD 内接于O，若它的一个外角DCE=70，则BOD=( )A35 B.70 C110
12、D.140 4、如图 2，O 的直径为 10，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 的长的取值范围（ ）A3OM5 B4OM5 C3OM5 D4OM55、如图 3，O 的直径 AB 与弦 CD 的延长线交于点 E，若 DE=OB, AOC=84,则E 等于（ ）A42 B28 C21 D20图 1 图 2 图 36、如图 4，ABC 内接于O，ADBC 于点 D，AD=2cm，AB=4cm，AC=3cm，则O 的直径是（ ）A、2cm B、4cm C、6cm D、8cm 7、如图 5，圆心角都是 90的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起， OA3， OC1，分别连结
13、AC、 BD，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 12248、已知 O1与 O2外切于点 A， O1的半径 R2， O2的半径 r1，AB CDE 图 4BA MO图 5若半径为 4 的 C 与 O1、 O2都相切，则满足条件的 C 有（ ）A、2 个 B、4 个 C、5 个 D、6 个9、设 O 的半径为 2，圆心 O 到直线 l 的距离 OP m，且 m 使得关于 x 的方程 有实数根，012mx则直线 l 与 O 的位置关系为（ ）A、相离或相切 B、相切或相交 C、相离或相交 D、无法确定10、如图 6,把直角ABC 的斜边 AC 放在定直线 l 上，按顺时针的方向在直
14、线 l 上转动两次，使它转到A 2B2C2的位置，设 AB= ，BC=1，则顶点 A 运动到点 A2的位置时，点 A 所经过的路线为( )3A、（ + ） B、（ + ）12534C、2 D、 二、细心填一填(本大题共 6 小题，每小 4 分，共计 24 分)11、 （2006 山西）某圆柱形网球筒，其底面直径是 100cm， 长为 80cm，将七个这样的网球筒如图所示放置并包装侧面，则需 _的包装膜（不计接缝， 取 3） 2cm12、 （2006 山西）如图 7，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门 PQ 进攻，当他带球冲到 A 点时，同样乙已经助攻冲到 B 点。有两种射门方式：第一种是
15、 甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门。仅从射门角度考虑，应选择_种射门方式.13、如果圆的内接正六边形的边长为 6cm，则其外接圆的半径为 . 14、如图 8，已知：在O 中弦 AB、CD 交于点 M、AC、DB 的延长线交于点 N，则图中相似三角形有_对15、 （2006 年北京）如图 9，直角坐标系中一条圆弧经过网格点 A、 B、 C，其中， B 点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 .16、 （原创）如图 10,两条互相垂直的弦将O 分成四部分,相对的两部分面积之和分别记为 S 、S ,若圆心到两弦12的距离分别为 2 和 3,则S -S = .12AA1A2BCC2B
16、1图 6lABCDMNO图 8 图 9 图 10三、认真算一算、答一答(3 题，每题分，题 10 分，共计 66 分).17、 （2006 年丽水）为了探究三角形的内切圆半径 r 与周长 L、面积 S 之间的关系,在数学实验活动中,选取等边三角形(图甲)和直角三角形(图乙)进行研究.O 是ABC 的内切圆,切点分别为点 D、E、F.(1)用刻度尺分别量出表中未度量的ABC 的长,填入空格处,并计算出周长 L 和面积 S.(结果精确到 0.1 厘米)(2)观察图形,利用上表实验数据分析.猜测特殊三角形的 r 与 L、S 之间关系,并证明这种关系对任意三角形(图丙)是否也成立?图甲 图乙 图丙18
17、、 （2006 年成都）如图，以等腰三角形 的一腰 为直径的ABCO 交 于点 ，交 于点 ，连结 ，并过点 作BCDAGD，垂足为 根据以上条件写出三个正确结论（除EE外）是：AO， （1） ；（2） ；（3） 19、 （2004 年黄冈）如图，要在直径为 50 厘米的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面。问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？AC BC AB r L S图甲 0.6图乙 1.0AB CO G EDABCPEDHFO20、 （2005 年山西）如图是一纸杯,它的母线 AC 和 EF 延长后形成的立体图形是圆锥,该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB.经测量,纸杯上开口圆
18、的直径是 6cm,下底面直径为 4cm,母线长为 EF=8cm.求扇形 OAB 的圆心角及这个纸杯的表面积(面积计算结果用 表示) 21、如图，在ABC 中，BCA =90，以 BC 为直径的O 交 AB 于点 P，Q 是 AC 的中点判断直线 PQ 与O 的位置关系，并说明理由22、 （2006 年黄冈）如图，AB、AC 分别是O 的直径和弦，点 D 为劣弧 AC 上一点，弦 ED 分别交O 于点 E，交 AB于点 H，交 AC 于点 F，过点 C 的切线交 ED 的延长线于点 P（1）若 PC=PF，求证：ABED；（2）点 D 在劣弧 AC 的什么位置时，才能使 AD2=DEDF，为什么
19、？yOC BAEDFx24、 （2004 年深圳南山区）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的面积为 15，边 OA 比 OC 大 2E 为 BC 的中点，以 OE 为直径的O交 轴于 D 点，过点 D 作 DFAE 于点 Fx（1）求 OA、OC 的长；（2）求证：DF 为O的切线；（3）小明在解答本题时，发现AOE 是等腰三角形由此，他断定：“直线BC 上一定存在除点 E 以外的点 P，使AOP 也是等腰三角形，且点 P 一定在O外” 你同意他的看法吗？请充分说明理由参考答案一、选择题1B 2C 3D 4A 5B 6C 7C 8D 9B 10B二、填空题1112000 12第二种 1
20、36cm 144 15(2,0) 1624(提示:如图 1,由圆的对称性可知, S -1S 等于 e 的面积,即为 234=24)2三、解答题17(1)略 (2)由图表信息猜测,得 S= Lr,并且对一般三角形都成立.连接 OA、OB、OC,运用面积法证明2118 （1） ， （2） ， （ 3） 是 的切线（以及BAD=BAD，ADBC，弧BDCRttDEAC DEOABD=弧 DG 等） 19设计方案如图 2 所示， 在图 3 中，易证四边形 OAO C 为正方形，/OO +O/ B=25，所以圆形凳面的最大直径为 25（ -21）厘米图 1 图 2 图 320扇形 OAB 的圆心角为 4
21、5,纸杯的表面积为 44.21连接 OP、CP，则OPC=OCP.由题意知ACP 是直角三角形,又 Q 是 AC 的中点,因此 QP=QC, QPC=QCP.而OCP+QCP=90 ,所以OPC+QPC=90 即 OPPQ,PQ 与 O 相切.0022 （1）略 （2）当点 D 在劣弧 AC 的中点时，才能使 AD2=DEDF23变化一、连接 OQ，证明 OQQR；变化二 （1） 、结论成立 （2）结论成立，连接 OQ，证明B=OQB，则P=PQR，所以 RQ=PR （3）结论仍然成立24 （1）在矩形 OABC 中，设 OC=x 则 OA= x+2，依题意得解得：(2)5x123,5（不合题
22、意，舍去） OC=3， OA=5 （2）连结 OD 在矩形 OABC 中，OC=AB，OCB=ABC=90 ，CE=BE=052 OCEABE EA=EO 1=2在O中， OO= OD 1=3 3=2 ODAE， DFAE DFOD又点 D 在O上，OD 为O的半径 ，DF 为O切线(3) 不同意. 理由如下:当 AO=AP 时，以点 A 为圆心，以 AO 为半径画弧交 BC 于 P1和 P4两点过 P1点作 P1HOA 于点 H，P 1H = OC = 3，A P 1= OA = 5A H = 4， OH =1 求得点 P1（1，3） 同理可得：P 4（9，3） 当 OA=OP 时，同上可求
23、得:：P 2（4，3） ，P 3（ 4，3）因此，在直线 BC 上，除了 E 点外，既存在O内的点 P1，又存在O外的点 P2、P 3、P 4，它们分别使AOP 为等腰三角形课后作业1.如图，在 RtABC 中，斜边 1230C， ， D为 B的中点， ABD 的外接圆 O 与 AC交于 F点，过 作 O 的切线 E交 DF的延长线于 E点（1）求证： ；（2）计算： 的值A EFODB C2如图，AB、CD 是半径为 5 的O 的两条弦，AB = 8，CD = 6，MN 是直径，ABMN 于点 E，CDMN 于点 F，P 为 EF 上的任意一点，则 PA+PC 的最小值为 .3如图，已知点
24、E 在ABC 的边 AB 上，以 AE 为直径的O 与 BC 相切于点 D，且 AD 平分BAC .求证：ACBC .4.(1)已知，如图 l，ABC 的周长为 ,面积为 S，其内切圆圆心为 0，半径为 r，求证： ；l 2Sl(2)已知，如图 2，ABC 中，A、B、C 三点的坐标分别为 A(一 3，O)、B(3，0)、C(0，4)若ABC 内心为 D。求点 D 坐标；(3)与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆，叫旁切圆，圆心叫旁心请求出条件(2)中的ABC 位于第一象限的旁心的坐标。C BO A xy5如图，在平面直角坐标系中， 两点的坐标分别为 ，以 为一边作正方形 ，再以BA, )
25、8,0(2,ABABCD为直径的半圆 设 轴交半圆 于点 ，交边 于点 CDPxPECDF（1）求线段 的长；EF（2）连接 ，试判断直线 与 的位置关系，并说明你的理由；B（3）直线 上是否存在着点 ，使得以 为圆心、 为半径的圆，既与 轴相切又与 外切？若存在，QryP试求 的值；若不存在，请说明理由r6.如图，在直角梯形 ABCD 中， ， 90B， AB=AD，BAD 的平分线交 BC 于 E，连接 DEACD（1）说明点 D 在ABE 的外接圆上；（2）若AED=CED，试判断直线 CD 与ABE 外接圆的位置关系，并说明理由7我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与
26、这个圆相交类似地，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点为 O(0，0)、A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)(1)判断直线 y x 与正方形 OABC 是否相交，并说明理由；13 56(2)设 d 是点 O 到直线 y xb 的距离，若直线 y xb 与正方形 OABC 相交，求 d 的取值范围3 38、如图，点 在 的直径 的延长线上，点 在 上， ， ，DO ABCO ACD30（1）求证： 是 的切线；C（2）若 的半径为 3，求弧 BC 的长 （结果保留 ） 9、已知：如图，直径为 OA的 M 与 x轴交于点 OA、 ， 点 BC、 把 A分为三等份，连接 MC并延长交 y轴于点 (03)D， （1）求证： B ； （2）若直线 l： ykxb把 的面积分为二等份，求证： 30kbA O B DCyxC BAMO42 1 3D，
