1、 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/2007 年 第 6 期 牡 丹 江 教 育 学 院 学 报 No1 6 , 2007( 总 第 1 0 6期 ) JOU RNAL OF MUDANJ IAN G COLL EGE OF EDUCA TION Serial No1106收 稿 日 期 2007 - 06 - 18作 者 简 介 费 绍 金 (1974 - ) ,男 ,江 苏 宿 迁 人 ,宿 迁 学 院 讲 师 。用 矩 阵 的 秩 判 断 空 间
2、 中 平 面 与 平 面 、 直 线 与直 线 及 直 线 与 平 面 间 的 位 置 关 系费 绍 金(宿 迁 学 院 , 江 苏 宿 迁 223800)摘 要 利 用 线 性 方 程 组 解 的 理 论 讨 论 空 间 中 平 面 与 平 面 、 直 线 与 直 线 及 直 线 与 平 面 间 的 位 置 关 系 ,给出 用 矩 阵 的 秩 判 定 以 上 关 系 的 方 法 及 结 论 。关 键 词 矩 阵 的 秩 ;平 面 ;直 线 ;直 线 与 平 面 ;位 置 关 系中 图 分 类 号 O13 文 献 标 识 码 A 文 章 编 号 1009 - 2323 (2007) 06 -
3、0139 - 021. 引 言判 断 空 间 中 平 面 与 平 面 、 直 线 与 直 线 及 直 线 与 平 面 的位 置 关 系 是 代 数 知 识 在 空 间 解 析 几 何 上 的 应 用 ,体 现 了 几何 与 代 数 的 完 美 结 合 ,因 此 也 是 历 年 考 研 中 常 考 的 题 型 。在 文 献 1 中 作 者 给 出 了 两 条 判 定 定 理 ,但 在 实 际 应 用 中 这两 条 定 理 是 不 够 用 的 ,本 文 用 矩 阵 的 秩 对 这 三 个 关 系 作 出系 统 研 究 ,并 给 出 了 一 些 非 常 有 用 的 结 论 。2. 主 要 命 题 及
4、 证 明2. 1 平 面 与 平 面 的 位 置 关 系2. 1. 1 两 平 面 间 的 位 置 关 系命 题 1 设 平 面 1 , 2 的 方 程 分 别 为 A1 x + B1 y + C1 z+ D1 = 0 , A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0设 A = A1 B1 C1A2 B2 C2, B = A1 B1 C1 D1A2 B2 C2 D2则 (1) 当 R ( A) = 2 时 ,平 面 1 与 1 相 交 于 一 条 直 线 ;(2)当 R ( B) = 1 时 ,平 面 1 与 2 重 合 ;(3)当 R ( A) = 1 , R ( B) = 2 ,
5、平 面 1 与 2 平 行 。证 明 :联 立 平 面 1 与 2 方 程 得 线 性 方 程 组 , A , B 分 别为 其 系 数 矩 阵 和 增 广 矩 阵 ,且 1 R ( A) R ( B) 2(1)当 R ( A) = 2 时 , R ( B) = 2 ,方 程 组 有 无 穷 多 解 。 但R ( A) = 2 说 明 平 面 1 与 2 互 异 ,故 平 面 1 与 2 只 能 相交 于 一 条 直 线 。(2)当 R ( B) = 1 , R ( A) = 1 ,方 程 组 有 无 穷 多 解 。 由 R( B) = 1 知 ,平 面 1 与 2 的 法 线 向 量 分 量
6、 对 应 成 比 例 ,即面 平 1 与 2 平 行 或 重 合 ,而 平 行 与 方 程 组 有 无 穷 多 解 矛盾 ,故 平 面 1 与 2 重 合 。(3)当 R ( A) = 1 , R ( B) = 2 ,方 程 组 无 解 ,故 平 面 1 与 2 平 行 。2. 1. 2 三 个 平 面 间 的 位 置 关 系命 题 2 平 面 1 , 2 , 3 的 方 程 分 别 为 A i x + B i y + Ci z+ Di = 0 , ( i = 1 ,2 ,3) ,设 A =A1 B1 C1A2 B2 C2A3 B3 C3, B =A1 B1 C1 D1A2 B2 C2 D2A
7、3 B3 C3 D3则 (1) 当 R ( A) = R ( B) = 2 时 ,三 平 面 交 于 一 点 (图 a) 。(2) 当 R ( A) = 2 , R ( B) = 3 时 ,三 平 面 两 两 相 交 (图 b) ;或 三 平 面 中 有 两 个 平 面 相 交 ,另 一 平 面 与 其 中 一 平 面 平 行(图 c) 。(3) 当 R ( A) = 1 , R ( B) = 2 ,三 平 面 交 于 一 条 直 线 (图d) ;或 两 平 面 相 交 ,另 一 平 面 与 其 中 一 个 平 面 重 合 (图 e) 。(4) 当 R ( A) = 1 , R ( B) =
8、2 时 ,三 平 面 平 行 且 三 平 面 互异 (图 f ) ;或 三 平 面 平 行 ,其 中 有 两 平 面 重 合 ( g) 。(5) 当 R ( A) = R ( B) = 1 时 ,三 平 面 重 合 (图 h) 。证 明 :联 立 三 个 平 面 方 程 得 线 性 方 程 组 , A , B 分 别 为其 系 数 矩 阵 和 增 广 矩 阵 。(1) 当 R ( A) = R ( B) = 3 时 ,方 程 组 有 唯 一 解 ,因 而 三平 面 交 于 一 点 (图 a) 。(2) 当 R ( A) = 2 , R ( B) = 3 ,由 于 R ( A) R ( B) ,
9、方 程 组无 解 ,因 而 三 平 面 无 交 点 。因 为 R ( A) = 2 ,说 明 其 中 必 有 两 平 面 的 法 线 向 量 的 分量 不 成 比 例 ,也 就 是 法 线 向 量 不 平 行 ,故 必 有 两 个 平 面 相交 ;由 R ( B) = 3 可 知 三 平 面 互 异 。 故 有 两 种 情 况 :三 平 面两 两 相 交 且 互 异 (图 b) ;或 三 平 面 中 有 两 个 平 面 相 交 ,另 一平 面 与 其 中 一 个 平 面 平 行 (图 c) 。(3) 当 R ( A) = R ( B) = 2 时 ,方 程 组 有 无 穷 多 解 ,因 而三
10、平 面 有 无 穷 多 交 点 。因 为 R ( A) = 2 ,必 有 两 平 面 相 交 ;又 R ( B) = 2 ,知 三 平面 中 至 少 有 两 个 互 异 。 故 有 两 种 情 况 :三 平 面 交 于 一 条 直线 (图 d) ;或 两 平 面 相 交 ,另 一 平 面 与 其 中 一 个 平 面 重 合(图 e) 。(4) 当 R ( A) = 1 , R ( B) = 2 时 ,由 于 R ( A) R ( B) ,方程 组 无 解 ,因 而 三 平 面 不 相 交 。由 R ( A) = 1 且 R ( B) = 2 知 三 平 面 中 没 有 两 平 面 相931 1
11、994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/交 ,故 三 平 面 平 行 ;又 当 R ( B) = 2 可 知 三 平 面 中 至 少 有 两平 面 互 异 ,故 有 两 种 情 况 :三 平 面 互 异 且 相 互 平 行 (图 f ) ;或 三 平 面 平 行 ,其 中 有 两 平 面 重 合 (图 g) 。(5)当 R ( A) = R ( B) = 1 时 ,方 程 组 有 无 穷 多 解 ,因 而三 平 面 有 无 穷 多 交 点 。由 R ( A)
12、= 1 知 ,没 有 两 平 面 相 交 ;而 R ( B) = 1 ,三 平 面中 至 少 有 一 个 互 异 ,但 当 有 两 个 或 三 个 互 异 时 ,与 三 平 面 有无 穷 多 交 点 矛 盾 ,故 三 平 面 只 能 重 合 (图 h) 。2. 2 空 间 两 条 直 线 的 位 置 关 系空 间 中 两 条 直 线 的 位 置 关 系 可 分 为 :异 面 、 重 合 、 相 交 、平 行 。 在 文 献 1 中 给 出 当 两 条 直 线 方 程 都 是 用 一 般 式 表示 时 的 结 论 ,当 两 条 直 线 都 是 用 参 数 式 表 示 时 有 以 下 结 论 :命
13、 题 3 设 直 线 L1 , L2 的 方 程 分 别 为x = m1 t1 + x1y = n1 t1 + y1 , t1 R;z = p1 t1 + z1x = m2 t2 + x2y = n2 t2 + y2 , t1 Rz = p2 t2 + z2又 设 A =m1 m2n1 n2p1 p2, B =m1 m2 x2 - x1n1 n2 y2 - y1p1 p2 z2 - z1则 (1) R ( B) = 3 时 ,直 线 L 1 与 L2 异 面 ; (2) R ( A) = R( B) = 2 时 ,直 线 L1 与 L2 相 交 ; (3) R ( A) = R ( B) =
14、1 时 ,直线 L 1 与 L 2 重 合 ; (4) R ( A) = 1 , R ( B) = 2 时 ,直 线 L1 与 L2平 行 。证 明 :两 直 线 方 程 相 减 得m1 t1 - m2 t2 = x2 - x1n1 t1 - n2 t2 = y2 - y1p1 t1 - p2 t2 = z2 - z1,令 t = - t2 ,则m1 t1 + m2 t2 = x2 - x1n1 t1 + n2 t2 = y2 - y1p1 t1 + p2 t2 = z2 - z1显 然 1 R ( A) 2 , R ( A) R ( B) 3 ,用 线 性 方 程 组 解的 理 论 判 定
15、此 方 程 组 解 的 情 况 。(1)当 R ( B) = 3 时 , B 的 列 向 量 线 性 无 关 ,因 此 A 的 列向 量 也 线 性 无 关 ,故 R ( A) = 2 且 R ( A) R ( B) 此 时 方 程 组无 解 ,即 L 1 与 L 2 不 相 交 ;由 R ( A) = 2 知 L 1 与 L2 的 方 向向 量 不 平 行 ,所 以 直 线 不 平 行 ,于 是 直 线 L 1 与 L2 异 面 。(2)当 R ( A) = R ( B) = 2 时 ,方 程 组 有 唯 一 解 ,故 直 线L1 与 L2 相 交 。(3)当 R ( A) = R ( B)
16、 = 1 时 ,方 程 组 有 无 穷 多 解 ,故 直线 L 1 与 L 2 重 合 。(4)当 R ( A) = 1 , R ( B) = 2 时 ,方 程 组 无 解 ,由 R ( A) =1 知 直 线 L1 与 L 2 上 的 方 向 向 量 平 行 ,故 直 线 L1 与 L 2 平行 。当 两 条 直 线 的 方 程 用 一 般 式 或 点 向 式 给 出 时 ,可 以 把直 线 方 程 转 化 为 参 数 式 方 程 ,然 后 用 此 定 理 来 判 断 。2. 3 直 线 与 平 面 的 位 置 关 系命 题 4 空 间 直 线 L : A1 x + B1 y + C1 z
17、+ D1 = 0A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0和 平面 2 :A 3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0 ,设 , A =A 1 B1 C1A 2 B2 C2A 3 B3 C3, B =A1 B1 C1 D1A2 B2 C2 D2A3 B3 C3 D3则 (1) 当 R ( A) = R ( B) = 3 时 ,直 线 L 与 平 面 相 交 ;特 别 地 ,当 A1 A 3 + B1 B3 + C1 C3 = 0 或 A2 A3 + B2 A3 + C2 C3= 0 时 ,直 线 L 与 平 面 垂 直 。(2)当 R ( A) = R ( B) = 2
18、 时 ,直 线 L 在 平 面 上 。(3)当 R ( A) = 2 , R ( B) = 3 时 ,直 线 L 与 平 面 平 行 。证 明 :联 立 直 线 L 与 平 面 方 程 得 线 性 方 程 组 , A , B分 别 为 系 数 矩 阵 和 增 广 矩 阵 ,且 有 2 R ( A) 3 , R ( B) 3.(1) 当 R ( A) = R ( B) = 3 时 ,方 程 组 有 唯 一 解 ,故 直 线L 与 平 面 相 交 ,当 A1 A3 + B1 B3 + C1 C3 = 0 或 A2 A3 +B2 B3 + C2 C3 = 0 时 ,构 成 直 线 L 的 某 一 平
19、 面 法 线 向 量 与 平面 的 法 线 向 量 垂 直 ,这 时 直 线 L 与 平 面 垂 直 ;结 论 (2)和 (3) 由 方 程 组 解 的 理 论 易 得 。当 直 线 的 方 程 是 参 数 式 或 点 向 式 时 ,判 定 直 线 与 平 面的 位 置 关 系 比 较 简 单 ,不 在 此 赘 述 。3. 应 用 举 例例 1 确 定 直 线 A1 + B1 y + C1 z = 0A2 x + B2 y + C2 z和 平 面 ( A 1 + A2 )x + ( B1 + B2 ) y + ( C1 + C2 ) z = 0 的 相 互 关 系解 根 据 命 题 1 ,B
20、=A1 B1 C1 0A2 B2 C2 0A1 + A2 B1 + B2 C1 + C2 0A1 B1 C1 0A2 B2 C2 00 0 0 0所 以 R ( A) = R ( B) = 2 ,直 线 在 平 面 内 。例 2 (2002 年 数 一 )有 三 张 不 同 的 平 面 方 程 aia x + aia y+ a i3z = bi , i = 1 ,2 ,3. 它 们 所 组 成 的 线 性 方 程 的 系 数 矩 阵 与增 广 矩 阵 的 秩 都 为 z ,则 这 三 张 平 面 可 能 的 位 置 关 系 为A . 图 a B. 图 d C. 图 b D. 图 c解 由 命
21、题 2 知 选 B.例 3 (1998 年 数 一 ) 设 矩 阵a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3是 满 秩 的 ,则 直 线 x - a3a1 - a3= y - b3b1 - b2= z - c3c1 - c2与 直 线 x - aaa2 - a3= y - b1b2 - b3=z - c1c2 - c3A . 相 交 于 一 点 B. 重 合 C. 平 行 但 不 重 合 D. 异 面解 化 直 线 方 程 为 参 数 方 程 ,得B =a1 - a2 a2 - a3 a3 - a1b1 - b2 b2 - b3 b3 - b1c1 - c2 c2 - c3 c3 - c
22、1a1 - a2 a2 - a3 0b1 - b2 b2 - b3 0c1 - c2 c2 - c3 0,又 因 为a1 b1 c1a2 b2 c2a3 c3 c3a1 - a2 b1 - b2 c1 - c2a2 - a3 b2 - b3 c2 - c3a3 b3 c3且 满秩 ,所 以 R ( A) = R ( B) = 2 ,由 命 题 3 知 两 直 线 相 交 于 一 点 ,选 A .例 4 (1995 年 数 一 )设 直 线L : x + 3 y + 2 z - 1 = 02 x - y - 10 z + 3 = 0及 平 面 :4 x - 2 y + z - 2 = 0 ,则
23、直线 LA . 平 行 于 平 面 B. 在 平 面 上 C. 垂 直 于 平 面 D. 与 平 面 斜 交解 根 据 命 题 4 , B =1 3 2 - 12 - 1 - 10 34 - 2 1 - 21 3 2 - 10 - 7 - 14 50 0 21 - 8,故 R ( A) = R ( B) = 3 直 线 与 平 面相 交 ,又 1 4 + 3 ( - 2) + 2 1 = 0 ,所 以 直 线 垂 直 于 平 面 ,选 C.参 考 文 献 1 用 矩 阵 的 秩 判 断 两 空 间 直 线 及 直 线 与 平 面 的 位 置 关 系 J . 高等 数 学 研 究 ,2005 , (3) :54 - 55.2 王 中 良 . 高 等 代 数 与 解 析 几 何 M . 北 京 :科 学 出 版 社 ,2000.3 潘 晏 仲 ,李 洪 军 . 高 等 代 数 与 几 何 M . 西 安 :西 安 交 通 大 学 出版 社 ,1999.责 任 编 辑 :丛 爱 玲 041
