导数经典大题.doc

1、导数经典大题：1、已知函数 f(x)=(2x kx k)e2 -x ()当 为何值时， 无极值； ()试确定实数 的值，使 的极小值为k(f k)(xf02、已知函数 ()lnfxa()R.()若 ，求曲线 yfx在 1处切线的斜率； ()求 ()fx的单调区间；（）设 2()g，若对任意 (0,)，均存在 20,1，使得 12()fxg，求a的取值范围.3、设函数 1xfxae。（I）求函数 单调区间； （II ）若 0Rfx对 恒成立，求 a 的取值范围；（III）对任意 n 的个正整数 1212, nnaA记（1）求证： ,iaiAe（2）求证： 12nna4、已知函数 bxaxf 23

2、1)( ，其中 ,aR（）若曲线 fy在点 )(,fP处的切线方程为 45xy，求函数 )(xf的解析式；（）当 0a时，讨论函数 x的单调性导数经典大题：5、已知函数 为自然对数的底数2()1)(Rxfxaea， ).(I)当时，求函数 的极值；()若函数 在-1，1上单调递减，求 的取值范围()fx6、已知函数 2()3)xfxe，设 2t, (),()fmftn.（）试确定 t的取值范围,使得函数 ()f在 上为单调函数；（）试判断 mn的大小并说明理由；（）求证：对于任意的 2t,总存在 0(2,)xt，满足 0 2()(1)3xfte,并确定这样的0x的个数.7、已知函数 2()ln

3、()fxax（）若 在 处取得极值，求 a 的值；1（）求函数 在 上的最大值()yfx2,8、已知函数 . .221()lnfxaxa()R（I）当 时，求曲线 在 处的切线方程（ ） ；0()yfe,fe2.718（II）求函数 的单调区间.()fx导数经典大题：9、已知函数 ，其中 为自然对数的底数.()1)e(0)xafxe（）当 时，求曲线 在 处的切线与坐标轴围成的面积；2yf(1,)f（）若函数 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为 ，求 的值.()f 5ea10、已知函数 36)2(3)( xaxf .（1）当 a时，求函数 f的极小值；（2）试讨论曲线 )(

4、y与 轴的公共点的个数。11、已知函数 xfe， 1gax（ 是不为零的常数且 aR） 。（1）讨论函数 Ff的单调性；（2）当 a时，方程 t在区间 ,1上有两个解，求实数 t的取值范围；（3）是否存在正整数 N，使得当 n且 N时，不等式120123ffff恒成立，若存在，找出一个满足条件的 N，并证明；若不存在，说明理由。12、设函数 ()(1)ln(1).fxaxa（1）求 的单调区间；（2）当 0时，设 ()fx的最小值为 (),gt若 恒成立，求实数 t 的取值范围。导数经典大题：13、设函数 f(x)=ax3-(a+b)x2+bx+c，其中 a0，b，cR (1)若 =0，求函数

5、 f(x)的单调增区间；1)(2)求证：当 0x1 时，| | ( 注：maxa，b 表示 a，b 中的最大值)max(0),1f14、已知函数 1ln)(2xpxf .（）讨论函数 的单调性；（）当 1p时， kxf)(恒成立，求实数 k的取值范围；（）证明： nn132l )(*N.15、已知 是二次函数， 是它的导函数，且对任意的 ， 恒成)(xf )(xf Rx2)1()xfxf立()求 的解析表达式；)(f()设 ，曲线 ： 在点 处的切线为 ， 与坐标轴围成的三角形面积0tC)(xfy)(,tfPl为 求 的最小值)(S)(16、设函数 与 的图象分别交直线 于点 A，B ，且曲线

6、2()lnfxax1()gxa1x在点 A 处的切线与曲线 在点 B 处的切线平行。y ()y（1）求函数 的表达式；(),fxg（2）当 时，求函数 的最小值；a()()hxfgx（3）当 时，不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围。m1,42m导数经典大题：函数与导数解答题1、解：（I） xx ekekxf )1(2()4()= 3 分xxkx )24(2在 R 上单调递减，(,0)()2 fefk时 ，所以，f(x) 无极值 6 分（II）当 时，令 ，得40)2()( xekxf 2,1xk（1） k4 时， ，有k令 ，得 k=8 所以，由（1） （2）知，k=0 或 8 时， 有

7、极小值 0)(f )(xf2、解：()由已知 ()(0)fx，2 分()3f.故曲线 yf在 1处切线的斜率为 3.4 分() ()(0)axfx.5 分当 0a时，由于 ，故 1， ()0fx所以， ()fx的单调递增区间为 (,).6 分当 时，由 ()0f，得 xa.在区间 1(0,)a上， ，在区间 1(,)上 (0fx，所以，函数 fx的单调递增区间为 0,a，单调递减区间为 1,)a.7 分（）由已知，转化为 maxax()()fg.8 分max()2g9 分由()知，当 0时， ()f在 0,)上单调递增，值域为 R，故不符合题意.(或者举出反例：存在 3e2a，故不符合题意.)

8、10 分导数经典大题：当 0a时， ()fx在 10,)a上单调递增，在 1(,)a上单调递减，故 ()f的极大值即为最大值， ()lnln()f a，11 分所以 21ln()，解得 3ea.12 分3、解：（I） 1()xfa1 分当 0a时， 0， ()f在 R上是增函数2 分当 时，令 ()fx得 lna3 分若 1lnx则 ，从而 ()fx在区间 (,1ln)a上是增函数若 a则 ()0fx，从而 在区间 上是减函数综上可知：当 时， f在区间 (,)上是增函数。当 0时，在区间(,1ln)上是增函数， )x在区间 1lna上是减函数4 分（II）由（I）可知：当 0a时， (0f不

9、恒成立5 分又当 0a时， ()fx在点 l处取最大值，且 ln(1lnlafe6 分令 得 故若 ()0fx对 R恒成立，则 的取值范围是 1,7 分（III）证明：（1）由（II）知：当 a时恒有 1()0xfe成立即 xe 1iaiAe9 分（2）由（1）知：1aA；21aAe； 1naAe把以上 n个式子相乘得1212nanA 12nn故 12nAa 12导数经典大题：4、解：（） 2()(1)fxax，-1 分由导数的几何意义得 5f，于是 3a-3 分由切点 (2,)Pf在直线 4yx上可知 26b，解得 4-5 分所以函数 x的解析式为 3()4fx-6 分（） 21()1)(f

10、axa，-7 分当 01时， ，函数 (f在区间 , 及 1(, )a上为增函数；在区间 (, )a上为减函数；-9 分当 时， ，函数 ()fx在区间 (,)上为增函数；-10 分当 1时， ，函数 在区间 1 a及 (, )上为增函数；在区间 (, )a上为减函数-12 分命题意图：本题考查了导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间的方法以及分类讨论的数学思想。5、解：（I）当 时， ，1xexf)12()2 分xxexf )3()2()2当 变化时， ， 的变化情况如下表：f)f所以，当 时，函数 的极小值为 ，极大值为 .5 分1a(x0)1(f 34)(ef（II） 22)2() 2

11、 xaxexaexf x令 3(2xg若 ，则 ，在 内， ，即 ，函数 在区间0a)()1(， 0)(xg0)(xf)(xf上单调递减.7 分1，若 ，则 ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为 ，3)(2)(xaxg 1ax当且仅当 ，即 时，在 内 ， ，01)， 0(xg)(xf函数 在区间 上单调递减.9 分)(xf，若 ，则 ，其图象是开口向下的抛物线，a3)(2)(xaxg导数经典大题：当且仅当 ，即 时，在 内 ， ，0)1(g035a)1(，0(xg)(xf函数 在区间 上单调递减.11 分xf，综上所述，函数 在区间 上单调递减时， 的取值范围是 12 分)(f1，a135a

12、6、解：（）因为 2(3)(23)()xxxxeee-1 分由 ()00fx或 ；由 01f,所以 )f在 ,上递增,在 上递减-3 分要使 在 t上为单调函数,则 t-4 分（）因为 (在 (1)上递增,在 (,)上递减， )fx在 处有极小值 e-5 分又 23e， ()f在 ,上的最小值为 (2)f-7 分从而当 t时 , )(fft，即 mn-8 分（）证： 0 20xe，又 0 2(1)3xfte， 20(1)3t,令 2()gx,从而问题转化为证明方程 22()(1)3gxt=0 在 (,)t上有解,并讨论解的个数-9 分 2(2)6(1)()43tt,21()3gt,-10 分

13、当 4tt或 时, 0g,所以 ()0x在 ()上有解,且只有一解-11 分当 1t时, 2(t且 ,但由于 2()(1)03gt,所以 ()g在 (,)t上有解,且有两解-12 分当 t时, 01xx或 ,故 x在 ,t上有且只有一解；当 4时, 262或 ,所以 ()0在 (,4)上也有且只有一解-13 分综上所述,对于任意的 t,总存在 ),(0tx,满足 0 2()1)3xfte,且当 421t或 时,有唯一的 适合题意；当 1时,有两个 0适合题意.-14 分（说明:第（3）题也可以令 2()x, (,)xt,然后分情况证明 2(1)3t在其值域内）导数经典大题：7、解：（） ，函数

14、的定义域为 1 分2()ln()fxax(0,) 3 分211()2axaxf 在 处取得极值，()fx即 ， 5 分12)(10a1a当 时，在 内 ，在 内 ，a,)fx(,)(0fx 是函数 的极小值点 6 分x(y（） ， 7 分201a2()(21)()()xaxafxx ， ， 在 上单调递增；在 上单调递减，9 分0,10ax()f0,(,)当 时， 在 单调递增，2()f2, ；10 分3max()lnf a当 ，即 时， 在 单调递增，在 单调递减，21a2a()fx21,)1(,)2a ；11 分max1()lnln42aff当 ，即 时， 在 单调递减，2a()fx2,

15、12 分2532max()lnff a综上所述，当 时，函数 在 上的最大值是 ；10()yfx,32lnaa当 时，函数 在 上的最大值是 ；12af2,a1l4当 时，函数 在 上的最大值是 13 分()yfx2,5322lnaa8、解：（I）当 时， ， ，2 分0a()lnf()lfx导数经典大题：所以 ， ，4 分()0fe()1fe所以曲线 在 处的切线方程为 .5 分yx,)fyxe（II）函数 的定义域为()f(0,，6 分21()ln1(2)lnfxaaxxax当 时， ，在 上 ，在 上00(,)0f,()0f所以 在 上单调递增，在 上递减；8 分()fx,11,当 时，

16、在 和 上 ，在 上02a(0,),)2a(0fx1(,)2a()0fx所以 在 和 上单调递增，在 上递减； 10 分()fx,1,当 时，在 上 且仅有 ，2a(0,)(0fx(1)0f所以 在 上单调递增；12 分()fx,当 时，在 和 上 ，在 上12a1(0,)a(,)(0fx(,1)2a(0fx所以 在 和 上单调递增，在 上递减14 分()fx, ,9、解：（） ，3 分2()exxf当 时， ， ， ，a2 12(1)ef()ef所以曲线 在 处的切线方程为 ，5 分()yfx1,()fyx切线与 轴、 轴的交点坐标分别为 ， ，6 分(,0),e)所以，所求面积为 .7 分

17、2e（）因为函数 存在一个极大值点和一个极小值点，()fx所以，方程 在 内存在两个不等实根，8 分20a(,)则 9 分 所以 .10 分4,0.4a设 为函数 的极大值点和极小值点，12,x()fx则 ， ，11 分a12因为， ， 所以， ，12 分5ef125eexxa导数经典大题：即 ， ， ，1251212()exxa25ea5ea解得， ，此时 有两个极值点， 所以 .14 分5()f10、（）方程 2()fxa, 12ln()0xx.记 ()1ln)g, / 1g,由 /0x,得 x1 或 x0()ffx()f(ff()f(0)f1f所以| | 8 分fma0,1f导数经典大题

18、：当 ，即-ab 2a，则 013 23ba()fxma(0),1f(i)当-ab 时，则 0a+b 2所以 0(1)f323b22()3ab214a所以| | 12 分fxma(0),1f(ii)当 b2a 时，则 0，即 a2+b2 0(2)b5所以 = 0，即 23243a53()f23ab所以| | ()fxm(0),1f综上所述：当 0x1 时，| | 16 分()fxma(0),1f14、解：（） ()f的定义域为（0，+） ， xppxf 2 122 分当 1p时， fx0，故 ()fx在（0，+）单调递增；当 时， ()0，故 在（0，+）单调递减；4 分当 0 p1 时，令

19、fx=0，解得 12p.Ks5u则当 2,x时， ()f0； ,x时， ()fx0.故 ()f在 1,0p单调递增，在 ,12p单调递减.6 分（）因为 x，所以当 时， kxf)(恒成立 xkxln1ln令 hln1)(，则 max)(hk,8 分因为 2x，由 0得 1，且当 )1,0(时， )(；当 ),(x时， 0)(xh.所以 h在 上递增，在 ,上递减.所以 1)(ma，故 k10 分（）由（）知当 k时，有 xf)(，当 1时， xf即 1ln，导数经典大题：令 nx1，则 n1l，即 n1l)l(12 分所以 2l， 23， ，相加得 1ll1而 )1ln(23lnl23ln

20、所以 11)l( ， )(*N.Ks5u14 分15、解：()设 （ ） ，则 ，(2 分)cbxaxf20abaxf2(cf )()()( 2由已知，得 ，221)xxx ，解之，得 ， ， ，bca01a0b1c (4 分)(2xf()由（1）得， ，切线 的斜率 ，1,(2tPltfk2)(切线 的方程为 ，即 (6 分)l )()txy1txy从而 与 轴的交点为 ， 与 轴的交点为 ，x0,2(tAl ),0(2B （其中 ） (8 分)ttS4)1()2 (9 分)2)13( tt当 时， ， 是减函数；30t0)St当 时， ， 是增函数(11 分)(t( (12 分)934)(

21、minSt16、解：（1）由 ，得 ，2 分2()lnfxax2(xaf由 ，得 又由题意可得 ，1()ga()g(1)fg导数经典大题：即 ，故 ， 或 4 分2a21a所以当 时， , ；()lnfxx()2gx当 时， ， 12a21由于两函数的图象都过点 ，因此两条切线重合，不合题意，故舍去(,)所求的两函数为 , 6 分2lnfxx1()2gx（2）当 时， ，得1a()()h2121)() 2xxx，8 分4()()2x由 0x，得 ，1)0x故当 时， , 递减，(,1)()0hx(当 时， , 递增,x)所以函数 的最小值为 10 分()h13(12ln2h（3） ， , ，12a2lnfxx)gx当 时, , ，)4( 214(0xf在 上为减函数， ，12 分(fx12， )ln2fxf当 时 ， , ，,)4()gx14()02xg在 上为增函数， ，且 14 分()gx12， ()2 1()4gx要使不等式 在 上恒成立，当 时， 为任意实数；()()fxmg 1,4xm导数经典大题：当 时， ，而 .1(,42x()fxmg min1()()2)ln(4effxg所以 .16 分()ln(e