1、2.1 数列极限2.1 数列极限一、 数列的概念二、 数列极限的定义一、 数列的概念 设yn=f (n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，y1, y2,yn, , 称为一个数列. yn称为数列的第n项，也称为通项,数列也可表示为yn或yn=f (n)1.数列的定义例. ,11 .1 nyn ,)1( .2 n n ,2 1)1( .3 nny , .4 2n ,1,34,23,2 nn ,)1(,31,21,1 n n ,2 1)1(,1,0,1,0 n ,9,4,1 2n注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 ., 21 nxxx1x
2、 2x3x 4x nx :.2 的函数可看作自变量为正整数数列 nyn .),( Nnnfyn ., ,3,2,1 nyn 数列对应的函数值就排列成时 等一切正整数依次取当自变量 二、 数列极限的定义1. 例解 1 x数列 nyn 11 从直观上看,这个数列当n越来越大时, 对应的项yn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于无穷大时, 数列xn趋近于1”.如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实?2y123y234y345y4yn注意到,实数a, b的接近程度由| ab |确定. | ab |越小, 则a, b越接近.因此, 要说明“ 当n越来越大时, yn越来越接近于1”就只须说明“ 当n
3、越来越大时, | yn1 |会越来越接近于0”.而要说明“| yn1 |越来越接近于0”则只须说明“ 当n充分大时,| yn1 |能够小于任意给定的, 无论多么小的正数 ” 就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数, 当n充分大时, | yn1 | 比还小,由于是任意的,从而就说明了|yn1| 会越来越接近于0.事实上, nyn 1|1| , 给 10001 , 很小, 100011|1| nyn , 只须n1000 即可, 数列中,从第1001项开始,以后各项都有10001|1| ny要使也即在这个又给 100001 , 则从第10001项开始,以后各项都有 100001|1| ny一般地,
4、 任给 0, 不论多么小, nyn 1|1|只须 1n . 因此, 从第 11 项开始, 以后各项都有 |1| ny因为是任意的, 这就说明了当n越来越大时,yn会越来越接近于1.要使若 0, 正整数N, 使得当nN时, 都有|ynA|0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|ynA|0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|ynA|N时, 有| ynA |0, 正整数N, 使得当nN 时, 都有|ynA| 0. 设 0 N时, 有 |qn 0| N 时, 有,|lnln|lnln qqn 从而有.0lim nn q故 | qn 0 | 0, 由于n nann anAyn 2222 1| )( 22 2 nann a .2na要使 | yn A | N 时, 有 122n an.1lim 22 n ann故
