1、习题 2.3,A 组,1. 判断下列命题是否正确, 正确的说明理由, 错误的举例说明:(1) 平面 a平面 b, 平面 b平面 g 平面 a平面 g;(2) 平面 a /平面 a1, 平面 b /平面 b1, 平面 a平面 b 平面 a1平面 b1.,解:,(1) 错, 如图.,(2) 对.,ab,a /a1,a1b;,b /b1,a1b1.,习题 2.3,A 组,2. 已知平面 a, b, g, 且 ag, b /g, 求证 ab.,证明:,在 g 内作直线 am,aa., ag,过 a 作平面 db = b, bg, a/b,b b, ba.,b,如图, 设 a 与 g 的交线为 m,m,
2、而 aa.,ba.,解:,平面 VBA 平面 VBC.,其理由:,由VAB=VAC= 90 得,VA平面ABC,则 VABC,又ABC=90, 即 ABBC,BC平面VBA,而 BC平面VBC,平面 VBC 平面 VBA.,4. 如图, 三棱锥 V-ABC中, VA=VB=AC=BC=2, AB= VC=1, 试画出二面角 V-AB-C 的平面角, 并求它的度数.,解:,取AB的中点D,连接 VD, CD,D,而 VA=VB=AC=BC=2,VDAB, CDAB,则VDC就是二面角V-AB-C的平面角.,而,则由勾股定理求得 VD=CD=1,又 VC=1,VCD是等边三角形, VDC=60,即
3、二面角 V-AB-C 的大小为60.,5. 已知平面 a, b, g 满足 ag, bg, ab = l. 求证 lg.,l,证明:,如图,设 ag =m, bg =n.,取 Pg, Pm, Pn,m,n,P,A,B,作 PAm, PBn., ag, bg, PAa, PBb.,又 ab =l, PAl, PBl.,PAg, PBg,PAPB = P, lg.,6. 求证: 如果共点的三条直线两两垂直, 那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直.,已知: PAPB, PAPC, PBPC.,求证: 平面PAB平面PBC, 平面PAB平面PAC, 平面PBC 平面PAC.,P,A,B,C,证明:
4、, PAPB, PAPC, PA平面PBC.,而 PA平面PAB,PA平面PAC, 平面PAB平面PBC,平面PAC平面PBC.,同理可证平面PAB平面PAC.,7. 如图, 正方体ABCD-ABCD中平面ABCD与正方体的其他各个面所成二面角的大小分别是多少?,解:,与上底面所成二面角,的平面角是,BCB,=45.,与下底面所成二面角的,平面角是,CB C,=45.,与前面所成二面角的,平面角是,BBC,=45.,与后面所成二面角的,平面角是,BCC,=45.,平面AC过左、右面的垂线AB,所以与左、右面成90的二面角.,8. 如图, m, n 是两条相交直线, l1, l2 是与 m, n
5、 都垂直的两条直线, 且直线 l 与 l1, l2 都相交, 求证: 1=2.,证明:, l1m,l1n, mn=O, m、n 确定的平面, 设为 a, l1a,同理, l2a, l1l2,又直线 l 与 l1、l2 都相交, 1=2.,9. 求证: 两条平行线和同一个平面所成的角相等.,如果两平行线中的一条垂直平面, 则另一条也垂直这个平面, 它们与平面所成的角都等于90.,证明:,如果两平行线中的一条与平面所成的角是 0, 则另一条平行平面或在平面内,即另一条与平面所成的角也是 0.,当两平行线是平面的斜线时, 如图,E,已知: ABa=B, CDa=D, ABCD.,分别过AB、CD上的
6、点,E、F 作 EMa, 垂足为M,FNa, 垂足为N.,N,M,F,且得 EMFN,又 ABCD,BEM=DFN,于是在两直角三角形中可得EBM=FDN,则MB、ND分别是EB、FD在,即两平行线与平面 a 所成的角相等.,9. 求证: 两条平行线和同一个平面所成的角相等.,证明:,求证: AB, CD 与 a 所成的角想等.,平面 a 内的射影.,B 组,证明:,在正方体中,底面 ABCD 是正方形,所以 ACBD.,又因为侧棱垂直底面,所以 AABD.,于是得 BD平面 AACC.,而 BD平面ABD,平面 ABD平面 AACC.,习题 2.3,B 组,答: 能判定.,由 VA=VB,
7、AD=BD 得,VDAB.,又由VO平面 ABC 得,VOAB.,于是得AB平面VOD, OCD, ABOD., ABCD,而 AD=BD,从而得 AC=BC.,B 组,3. 求证: 三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.,已知, 如图, ab, ag, bg, ab =AO, ag = BO, bg =CO.,求证: AOBO, AOCO, BOCO.,证明:,取点 Pg, PBO, PCO,E,F,作 PEBO, PFCO, ga, ga = BO,gb, gb = CO, PEa, PFb.,而 AOa, AOb, PEAO, PFAO,则 AOg,又 BOg, COg,P,AOBO, A
8、OCO.,又 ba, ba = AO,COb, COa,BOa,COBO.,4. 如图, AB 是 O 的直径, 点 C 是 O 上的动点, 过动点 C 的直线 VC 垂直于 O 所在平面, D, E 分别是 VA, VC 的中点. 试判断直线 DE 与平面 VBC 的位置关系, 并说明理由.,解:,DE平面VBC.,由直径所对的圆周角是直角得,ACBC.,又由 VC 垂直于 O 所在平面得,ACVC.,而 D, E 分别是 VA, VC 的中点得,DE/AC, DE平面VBC., AC平面VBC.,复习,提高,与,返回目录,1. 线面垂直的定义,定义可用于推证线线垂直.,如果直线 l 与平面
9、 a 内的任意一条直线都垂直, 就说直线 l 与平面 a 互相垂直.,2. 线面垂直的判定,两平行线中的一条垂直于一个平面, 另一条也垂直这个平面.,如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面.,过空间任意一点, 有且只有一条直线和已知平面垂直.,3. 三垂线定理,如果平面内的一条直线垂直平面的斜线, 则这条直线垂直斜线在平面上的射影;,如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的射影, 则这条直线垂直斜线.,4. 直线和平面所成的角,平面的斜线和斜线在平面上的射影的夹角.,要点:,(1) 由线面垂直找射影;,(2) 在三角形中计算.,特例:,(1) 线面垂
10、直, 线面角为90.,(2) 线面平行或在其内, 线面角为0.,5. 直线与平面垂直的性质,垂直于同一个平面的两条直线平行.,由线面垂直得线线平行.,6. 二面角,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.,7. 二面角的平面角,以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,二面角的大小由它的平面角确定.,AOB 是二面角 a-l-b 的平面角.,8. 两平面垂直的定义与判定,定义:,判定:,两个平面相交成直二面角时, 称这两个平面互相垂直.,一个平面过另一个平面
11、的垂线, 则这两个平面垂直.,9. 两平面垂直的性质,两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.,两平面垂直, 平行于一平面的直线垂直于另一平面.,例题选讲,返回目录,例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若PDA=45. 求证: MN平面PCD.,分析:,需证MN垂直PCD三边中的两边.,若 MN平面PCD,注意 N 是 PC 的中点,则 MN 必是 PC 的中垂线.,即考虑 MP=MC.,于是思考是否PAMCBM,由此可得 MNPC.,又如此思考 MN 是否是 AB 的中垂线,即 NA=NB 是否成立?,NA, NB分别
12、是RtPAC和RtPBC斜边PC的中线,NA=NB 即可成立.,例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若PDA=45. 求证: MN平面PCD.,证明:,PA矩形ABCD, PDA=45,连结 PM, CM,PAD是等腰直角三角形.,则 PA=AD=BC.,又 M 是 AB 的中点得 AM=BM,得 RtPAMRtCBM,MP=MC.,而 N 是 PC 的中点, MNPC.,由 PA矩形ABCD, 得PAC 是直角三角形.,由 CBAB, CBPA, 得PBC 是直角三角形.,则 AN, BN 是两直角三角形斜边 PC 的中线,AN=BN,得
13、MN 是 AB 的中垂线, MNAB.,由 AB/DC, 得 MNDC.,由得 MN平面 PCD.,例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若PDA=45. 求证: MN平面PCD.,其他思考:,E,思考一:,证 MNPC 同上.,要证 MNDC, 可作PCD,的中位线 NE.,证 DC平面 NEM, 即可证得 DCMN.,例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若PDA=45. 求证: MN平面PCD.,其他思考:,F,思考二:,将 MN 平移到平面 PAD 内,即取 PD 中点 F,可证得 AF
14、/MN.,只需证 AF平面 PCD, 即得 MN平面PCD.,P,A,B,C,D,M,N,例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若PDA=45. 求证: MN平面PCD.,其他思考:,思考三:,将原图补形为长方体.,可证 MN/BC1, BC1平面PDCB1,B1,即得 MN平面 PCD.,侧面B1BCC1是正方形.,C1,平面PCD是其对角面.,例 2. 如图, ABC 和DBC 是空间的两个等边三角形, E 是 BC 的中点. 点 A 在平面 DBC 内的射影是否在 DE 上? 为什么?,ABC 和DBC 是等边三角形,AEBC, DEBC
15、,E 是 BC 的中点.,其理由如下:,则 BC平面AED,得平面DBC平面AED.,则 AF平面DBC .,点 A 在平面 DBC 内的射影在 DE 上.,答: 一定在 DE上.,平面DBC平面AED=DE,作AFDE, 垂足为F,(面面垂直的性质),(面面垂直的判定),F,例 3. 如图, 四棱锥ABCD 的各条棱长都等于 a, E 是 AD 的中点. (1) 求这个棱锥的高;(2) 求CE与平面BCD所成角的正弦.,解:,取 BC 的中点 F,得 BCAF, BCDF, BC平面AFD,则平面BCD平面AFD.,F,(1),O,作 AODF, 垂足为O,则 AO平面 BCD.,AO 是三
16、棱锥 ABCD 的高.,RtAOBRtAOCRtAOD,得 OB=OC=OD,O是BCD的重心,即棱锥的高为,例 3. 如图, 四棱锥ABCD 的各条棱长都等于 a, E 是 AD 的中点. (1) 求这个棱锥的高;(2) 求CE与平面BCD所成角的正弦.,解:,作 EHDF, 垂足为 H,则 EH平面BCD, CH 是 CE 在平面 BCD 上的射影,ECH 即为所求的线面角.,F,H,(2),O,例 4. 如图, 四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, SD 垂直于底面 ABCD, SB= 求面SAD与面 SBC 所成二面角的大小.,分析:,要找二面角的平面角,需找到构成二面
17、角的棱.,由 SD正方形 ABCD 面,可联想一个几何体,长方体.,于是补形如图.,A,B,C,则所求二面角的棱即是AS.,AAB 即是它的一个平面角.,例 4. 如图, 四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, SD 垂直于底面 ABCD, SB= 求面SAD与面 SBC 所成二面角的大小.,解:,ABCD 是正方形,SD底面ABCD.,则可补形为如图的长方体,SAAA, SAAB,AAB 就是平面 SAD 与,平面 SBC 所成二面角的平面角.,正方形 ABCD 的边长为 1,在 RtSDB 中求得 SD=1.,则所构成的几何体是正方体.,AAB =45,即所求二面角的大小为4
18、5.,返回目录,(共8题),练,习,题,1. 给出下列命题: 垂直于同一直线的两平面平行. 垂直于同一平面的两平面平行. 垂直于同一平面的两直线平行. 垂直于同一直线的两直线平行. 其中正确命题的序号有 .,的反例,的反例,2. 已知直线 m, n 和平面a, b 满足 mn, ma, ab, 则 ( )(A) n b (B) n/b, 或 nb(C) na (D) n/a, 或 na,n,情形 1,D,排除 A, C.,情形 2,排除 B.,3. 如图, AB 是 O 的直径, C 是圆上一点, 空间直线 PCBC. 求证: BC平面 PAC.,证明:,AB 是 O 的直径,C 是圆上一点,
19、 BCAC, BC平面 PAC.,BCPC,PCAC=C,证明:,SA=AB, E 是 SB 的中点,AESB,SA正方形 ABCD 所在平面, BCSA, BCAB,得 BC平面 SAB,BCAE,由得AE平面SBC,AESC.,同理可证AFSC.,SC平面 AEF.,5. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 求证: 对角线 B1D平面 A1C1B.,证明:,在正方体中,得 DD1 A1C1.,连结 B1D1, 得 A1C1 B1D1,于是 A1C1平面B1D1D,同理, 连结 B1C,从而得 BC1B1D.,B1D平面A1C1B., A1C1B1D.,DD1平面 A1B1C1
20、D1,可得 BC1平面B1CD,6. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、F分别是 AB、BB1 的中点, 求证: 平面 ADF 平面A1ED1.,证明:,在正方形A1ABB1中,A1AEABF.,得AA1E=BAF,又A1AF=AFB,则A1GA=90.,G,设 AFA1E=G,A1EAF.,又 DA平面 A1ABB1,A1EDA.,A1E平面ADF,则平面A1ED1平面ADF.,AA1E+A1AF=BAF+AFB=90.,G,解:,7. 如图, 在长方体 ABCD-ABCD 中, AB= BB=BC=2, 求二面角 A-BC-B 的大小.,连接 BC, 交BC于G,则在
21、正方形 BBCC中, BCBC.,又由 AB平面 BBCC 得,ABBC.,BC平面ABG,得 BCAG.,则AGB 为二面角 A-BC-B 的平面角.,由 BB=BC=2, 得,ABG 是等腰直角三角形,AGB=45,即二面角 A-BC-B 的大小为45.,(1),证明:,PA底面ABCD, BDPA.,底面 ABCD 为菱形, BDAC.,则 BD平面 PAC,BDPC.,连结 EO,PA=2, PE=2EC,则得,COECPA,于是得,则CEO=CAP=90,PCOE,则在 RtPAC中可得,由得,PC平面BED.,(2),解:,二面角 A-PB-C 为90, 平面PAB平面PBC.,作 AGPB 于 G,则 AG平面PBC, BCAG.,又 BCPA, BC平面PAB,AD/平面PBC,得DPH=30., BCAB,G,得ABCD是正方形.,则得 AB=2,H,作 DH平面PBC于H.,又求得,即 PD 与平面 PBC,所成的角为30.,完,完,
