系统牛顿第二定律与整体法.pdf

1、系 统 的 牛 顿 第 二 定 律 与 整 体 法湖 北 省 恩 施 高 中 陈 恩 谱在 静 力 学 、 动 力 学 问 题 中 ， 涉 及 到 系 统 外 力 时 ， 我 们 往 往 采 用 整 体 法 处 理 ， 但 是 很 多 资 料 并 没 有 讲 清楚 整 体 法 的 适 用 条 件 ， 以 及 背 后 的 理 论 基 础 ， 甚 至 限 定 只 允 许 在 几 个 物 体 相 对 静 止 时 使 用 整 体 法 ， 使 得 整体 法 的 适 用 范 围 大 大 缩 小 。 本 文 则 从 系 统 的 牛 顿 第 二 定 律 入 手 ， 奠 定 整 体 法 解 决 静 力 学 、

2、动 力 学 问 题 的 理论 基 础 ， 并 通 过 实 例 展 示 整 体 法 的 广 阔 应 用 空 间 。一 、 系 统 的 牛 顿 第 二 定 律1、 推 导如 图 所 示 ， 两 个 物 体 组 成 一 个 系 统 ， 外 界 对 系 统 内 物 体 有 力 的 作 用 （ 系 统 外 力 ） ， 系 统 内 物 体 之 间 也有 相 互 作 用 （ 系 统 内 力 ） ， 则对 1： 1 21 1 1F F ma 对 2： 2 12 2 2F F m a 其 中 ， 21 12F F 联 立 ， 得 ： 1 2 1 1 2 2F F ma m a 这 个 方 程 中 ， 等 式 左

3、 边 只 剩 下 系 统 外 力 ， 等 式 右 边 则 是 各 个 部 分 的 质 量 乘 以 相 应 的 加 速 度 然 后 矢 量 相加 。 上 述 推 导 中 ， 研 究 对 象 只 有 两 个 ， 但 是 很 容 易 将 上 述 结 论 推 广 到 任 意 多 个 研 究 对 象 ， 方 法 仍 然 是 分 别对 各 个 物 体 列 动 力 学 方 程 ， 然 后 相 加 由 于 内 力 总 是 成 对 出 现 ， 且 每 对 内 力 总 是 等 大 反 向 ， 因 此 相 加 的结 果 仍 然 是 ： 等 式 左 边 只 剩 下 系 统 外 力 ， 等 式 右 边 则 是 各 个

4、部 分 的 质 量 乘 以 相 应 的 加 速 度 然 后 矢 量 相 加 。这 个 结 论 就 是 系 统 的 牛 顿 第 二 定 律 ， 其 通 式 为 ： 1 1 2 2 3 3 .F ma m a m a 外或 者 ： 1 1 2 2 3 3 .x x xxF ma m a m a 外 ， 1 1 2 2 3 3 .y y yyF ma m a m a 外2、 理 解系 统 的 牛 顿 第 二 定 律 表 达 式 左 边 只 有 系 统 外 力 ， 因 此 它 只 适 用 于 处 理 系 统 外 力 相 关 问 题 ， 一 旦 涉 及 系统 内 力 ， 则 只 能 用 隔 离 法 。

5、系 统 的 牛 顿 第 二 定 律 表 达 式 右 边 为 “ 各 个 部 分 的 质 量 乘 以 相 应 的 加 速 度 然 后 矢量 相 加 ” ， 因 此 并 不 要 求 各 个 部 分 相 对 静 止 各 个 部 分 有 相 对 速 度 、 相 对 加 速 度 时 ， 仍 然 可 以 选 系 统 为研 究 对 象 ， 使 用 整 体 法 处 理 问 题 。如 果 系 统 内 各 个 部 分 是 相 对 静 止 的 即 各 个 部 分 的 加 速 度 、 速 度 均 相 同 ， 则 系 统 的 牛 顿 第 二 定 律 方程 可 以 简 化 为 ： 1 2 3( .)F m m m a 外

6、 ， 这 就 是 我 们 熟 悉 的 几 个 物 体 相 对 静 止 时 的 整 体 动 力 学 方 程 。对 于 这 个 方 程 ， 我 们 甚 至 可 以 这 样 理 解 任 何 物 体 都 是 有 内 部 结 构 的 ， 组 成 物 体 的 各 个 部 分 之 间 都 存 在相 互 作 用 和 相 对 运 动 ， 但 是 ， 在 处 理 某 些 问 题 时 ， 当 内 部 运 动 相 对 整 体 运 动 可 以 忽 略 不 计 时 ， 我 们 就 可 以近 似 的 认 为 各 个 部 分 是 相 对 静 止 的 ， 把 物 体 当 作 一 个 “ 质 点 ” 来 处 理 ， 从 而 只

7、需 要 考 虑 整 体 所 受 外 力 的 影响 。 比 如 人 站 在 地 面 上 不 动 ， 求 地 面 支 持 力 的 大 小 这 个 问 题 中 ， 人 体 内 心 脏 在 跳 动 、 血 液 在 流 动 、 肺部 在 呼 吸 、 肠 胃 在 蠕 动 但 是 ， 在 大 部 分 问 题 的 处 理 中 ， 我 们 往 往 并 不 考 虑 这 些 ， 而 直 接 把 人 体 当 作 一个 质 点 来 处 理 了 。不 过 ， 上 述 推 导 过 程 中 ， 将 系 统 内 力 进 行 了 相 加 ， 并 且 依 据 一 对 内 力 总 是 等 大 反 向 （ 牛 顿 第 三 定 律 ）

8、，认 为 内 力 总 和 为 零 。 实 际 上 ， 内 力 作 用 对 系 统 内 各 个 物 体 的 加 速 度 是 有 影 响 的 ， 一 对 内 力 的 效 果 是 无 法 抵F1 F2F21 F121 2消 的 毕 竟 它 们 是 作 用 在 不 同 物 体 上 。 因 此 ， 内 力 总 和 为 零 是 从 数 学 意 义 角 度 处 理 的 ， 系 统 的 牛 顿 第 二定 律 是 一 个 有 用 的 数 学 结 论 。 有 些 学 生 无 法 理 解 明 明 是 作 用 在 1 物 体 上 的 力 ， 如 何 会 在 2 物 体 上 产 生 加 速度 ， 其 原 因 就 在 这

9、 里 因 此 ， 没 必 要 把 系 统 的 牛 顿 第 二 定 律 看 成 是 一 个 因 果 关 系 方 程 ， 仅 仅 看 作 一 个 有用 的 数 学 结 论 即 可 。二 、 整 体 法 的 应 用 举 例因 为 不 涉 及 系 统 内 力 ， 所 以 用 整 体 法 处 理 问 题 往 往 来 得 比 隔 离 法 分 别 处 理 各 个 物 体 要 简 洁 、 迅 速 得 多 ，因 此 ， 审 题 时 要 敏 锐 的 把 握 住 题 意 是 否 涉 及 的 是 系 统 外 力 ， 或 者 只 需 要 考 虑 系 统 外 力 即 可 ， 如 果 是 ，优 先 考 虑 使 用 整 体

10、法 （ 系 统 牛 顿 第 二 定 律 ） 。1、 静 力 学 中 的 应 用（ 1） 系 统 内 几 个 物 体 相 对 静 止 的 情 况【 例 1】 (2010山 东 理 综 )如 图 所 示 ， 质 量 分 别 为 m1、 m2的 两 个 物 体 通 过 轻 弹 簧 连 接 ， 在 力 F 的 作 用 下一 起 沿 水 平 方 向 做 匀 速 直 线 运 动 (m1在 地 面 ， m2在 空 中 )， 力 F 与 水 平 方 向 成 角 则 m1所 受 支 持 力 FN和摩 擦 力 Ff正 确 的 是 ( )A FN m1g m2g FsinB FN m1g m2g FcosC Ff

11、FcosD Ff Fsin【 分 析 】 地 面 对 m1的 支 持 力 、 摩 擦 力 ， 是 “ m1、 m2、 轻 弹 簧 整 体 ” 的 系 统 外 力 ， 因 此本 题 用 整 体 法 较 快 。【 解 析 】 选 m1、 m2、 轻 弹 簧 整 体 为 研 究 对 象 ， 其 受 力 如 图 所 示 ， 则 有 ：竖 直 方 向 ： FN Fsin (m1 m2)g 0水 平 方 向 ： Ff Fcos 0解 得 ： FN m1g m2g Fsin， Ff Fcos。 选 BC。【 例 2】 (2014济 宁 模 拟 )如 图 所 示 ， 两 个 光 滑 金 属 球 a、 b 置

12、于 一 个 桶 形 容 器 中 ，两 球 的 质 量 mamb， 对 于 图 中 的 两 种 放 置 方 式 ， 下 列 说 法 正 确 的 是 ( )A 两 种 情 况 对 于 容 器 左 壁 的 弹 力 大 小 相 同B 两 种 情 况 对 于 容 器 右 壁 的 弹 力 大 小 相 同C 两 种 情 况 对 于 容 器 底 部 的 弹 力 大 小 相 同D 两 种 情 况 两 球 之 间 的 弹 力 大 小 相 同【 分 析 】 容 器 壁 和 容 器 底 部 对 球 的 弹 力 都 是 系 统 外 力 ， 因 此 可 以 使 用 整 体 法 分 析 ； 不 过 本 问 题 中 ， 系统

13、 在 水 平 方 向 所 受 外 力 均 为 未 知 力 ， 因 此 仅 仅 选 整 体 为 研 究 对 象 ， 是 无 法 求 解 的 。 因 此 需 要 先 选 上 面 的 物体 为 研 究 对 象 ， 分 析 出 左 壁 对 球 的 弹 力 后 ， 再 用 整 体 法 才 可 。【 解 析 】 以 上 面 的 金 属 球 为 研 究 对 象 ， 其 受 力 如 图 1 所 示 ， 将 三 个 力 按 顺 序 首 尾 相 接 ， 得 如 图 2 闭 合三 角 形 ， 则 有 ： FN1=m 上 gtan， N cosm gF 上 ， 由 于 两 种 情况 下 不 变 ， 则 m 上 减 小

14、 时 ， FN1、 FN均 减 小 。选 两 球 整 体 为 研 究 对 象 ， 其 受 力 如 图 3 所 示 ， 则 有 ：竖 直 方 向 ： FN 地 (m1 m2)g 0水 平 方 向 ： FN1 FN2 0解 得 ： FN 地 =(m1 m2)g 不 变 ， FN1=FN2 m 上 gtan均变 化 。本 题 选 C.（ 2） 系 统 内 个 别 物 体 匀 速 运 动 的 情 况【 例 3】 (2013北 京 理 综 改 编 )倾 角 为 、 质 量 为 M 的 斜 面 体 静 止 放 置 在 粗 糙 水 平 桌 面 上 ， 质 量 为 m 的木 块 恰 好 能 沿 斜 面 体 匀

15、 速 下 滑 。 则 下 列 结 论 正 确 的 是 ( )A 木 块 受 到 的 摩 擦 力 大 小 是 mgcos B 木 块 对 斜 面 体 的 压 力 大 小 是 mgsin C 桌 面 对 斜 面 体 的 摩 擦 力 大 小 是 mgsincosD 桌 面 对 斜 面 体 的 支 持 力 大 小 是 (M m)g【 分 析 】 桌 面 对 斜 面 体 的 摩 擦 力 和 支 持 力 是 系 统 外 力 ， 可 以 选 木 块 、 斜 面 体 系 统 为 研 究 对 象 分 析 这 两个 力 。(m1+m2)gFFNFfFN1FN2 FN 地m 总 gm 上 g FN1FNm 上 g

16、FN1FN 【 解 析 】 选 木 块 为 研 究 对 象 ， 易 知 A 应 为 mgsin 、 B 应 为 mgcos ； 选 木 块 、 斜 面 体 系 统 为 研 究 对 象 ，其 受 力 如 图 所 示 ， 由 题 意 ， 木 块 、 斜 面 体 加 速 度 均 为 0， 故 有 ：竖 直 方 向 ： FN 地 (M m)g 0水 平 方 向 ： Ff 0解 得 ： FN 地 =(M m)g。 本 题 选 D。2、 动 力 学 中 的 应 用（ 1） 系 统 内 几 个 物 体 相 对 静 止 的 情 况【 例 4】 (2012江 苏 高 考 )如 图 所 示 ， 一 夹 子 夹 住

17、 木 块 ， 在 力 F 作 用 下 向 上 提 升 。 夹 子 和木 块 的 质 量 分 别 为 m、 M， 夹 子 与 木 块 两 侧 间 的 最 大 静 摩 擦 力 均 为 f。 若 木 块 不 滑 动 ， 力 F 的最 大 值 是 ( )A 2fm MM B 2fm Mm C 2fm MM (m M)g D 2fm Mm (m M)g【 分 析 】 力 F 是 系 统 外 力 ， 可 用 整 体 法 分 析 ； 但 是 ， 整 体 加 速 度 取 最 大 值 时 即 临 界 点 是 在 夹子 与 木 块 的 接 触 面 上 静 摩 擦 力 最 大 时 ， 这 是 系 统 内 力 ， 因

18、 此 需 先 用 隔 离 法 选 木 块 为 研 究 对 象 求 出整 体 加 速 度 的 最 大 值 。【 解 析 】 设 系 统 允 许 的 最 大 加 速 度 为 a。选 木 块 为 研 究 对 象 ， 有 ： 2f Mg=Ma选 整 体 为 研 究 对 象 ， 有 ： F (M+m)g=(M+m)a联 立 ， 解 得 ： F=2fm MM .选 A。【 例 5】 如 图 所 示 ， 水 平 转 台 上 放 有 质 量 均 为 m 的 两 个 小 物 块 A、 B， A 离 转 轴 中 心的 距 离 为 L， A、 B 间 用 长 为 L 的 细 线 相 连 。 开 始 时 ， A、 B

19、 与 轴 心 在 同 一 直 线 上 ， 细 线 刚好 被 拉 直 ， A、 B 与 水 平 转 台 间 的 动 摩 擦 因 数 均 为 ， 最 大 静 摩 擦 力 等 于 滑 动 摩 擦 力 ， 求 ：(1)当 转 台 的 角 速 度 达 到 多 大 时 细 线 上 开 始 出 现 张 力 ？(2)当 转 台 的 角 速 度 达 到 多 大 时 A 物 块 开 始 滑 动 ？【 解 析 】 （ 1） 转 台 角 速 度 取 值 逐 渐 变 大 的 过 程 中 ， B 所 受 静 摩 擦 力 先 达 到 最 大 值 ， 此 时 对 B， 有 ：21 2mg m L ， 解 得 ： 1 2gL

20、角 速 度 取 值 再 增 大 时 ， B 有 离 心 运 动 趋 势 ， 绳 中 出 现 张 力 。（ 2） 转 台 角 速 度 取 值 进 一 步 增 大 ， A 所 受 静 摩 擦 力 也 逐 渐 增 大 到 最 大 值 ， 此 时 ， 对 A、 B 系 统 ， 有 ：2 22 2 2mg mg m L m L ， 解 得 ： 2 23 gL 。（ 2） 系 统 的 物 体 间 存 在 相 对 运 动 的 情 况 直 线 运 动【 例 6】 一 个 箱 子 放 在 水 平 地 面 上 ， 箱 内 有 一 固 定 的 竖 直 杆 ， 在 杆 上 套 着 一 个 环 ，箱 与 杆 的 质 量

21、 为 M， 环 的 质 量 为 m， 如 图 所 示 。 已 知 环 沿 杆 以 加 速 度 a 匀 加 速 下 滑 ，则 此 时 箱 对 地 面 的 压 力 大 小 为 ( )A Mg B Mg maC Mg mg D Mg mg ma【 分 析 】 由 牛 顿 第 三 定 律 可 知 ， 箱 对 地 面 的 压 力 大 小 等 于 地 面 对 箱 的 支 持 力 ， 地 面 是 “ 箱 、环 系 统 ” 的 外 面 ， 因 此 分 析 地 面 对 箱 的 支 持 力 时 可 用 整 体 法 。【 解 析 】 选 箱 、 环 系 统 为 研 究 对 象 ， 其 受 力 如 图 所 示 ， 由

22、 系 统 的 牛 顿 第 二 定 律 ， 有 ：(M m)g FN=M 0+ma解 得 ： FN=(M m)g ma。 由 牛 顿 第 三 定 律 可 知 ， 箱 对 地 面 压 力 FN=FN=(M m)g ma。 选D. 【 例 7】 如 图 所 示 ， 滑 块 A 以 一 定 初 速 度 从 粗 糙 斜 面 体 B 的 底 端 沿 B 向 上 滑 ， 然 后 又 返 回 ， 整 个 过 程中 斜 面 体 B 与 地 面 之 间 没 有 相 对 滑 动 ， 那 么 滑 块 向 上 滑 和 下 滑 的 两 个 过 程 中 （ ）A 滑 块 向 上 滑 动 的 时 间 等 于 向 下 滑 动

23、的 时 间B 滑 块 向 上 滑 动 的 时 间 大 于 向 下 滑 动 的 时 间C 斜 面 体 B 受 地 面 的 摩 擦 力 大 小 改 变 、 方 向 不 变D 斜 面 体 B 受 地 面 的 支 持 力 大 小 始 终 等 于 A 与 B 的 重 力 之 和Ff FN 地(M+m)gFN(M+m)g【 解 析 】 滑 块 上 滑 时 做 减 速 运 动 ， 加 速 度 沿 斜 面 向 下 ， 大 小 为 1 sin cosa g g ， 下 滑 时 做 加 速运 动 ， 加 速 度 沿 斜 面 向 下 ， 大 小 为 2 sin cosa g g 。 由 于 上 滑 、 下 滑 位

24、移 相 同 ， 且 最 高 点 速 度 均为 零 ， 易 知 上 滑 时 间 短 。选 滑 块 、 斜 面 体 整 体 为 研 究 对 象 ， 其 受 力 如 图 所 示 ； 将 滑 块 加 速 度 水 平 、竖 直 分 解 ， 则 有 ：竖 直 方 向 ： (M m)g FN 地 =M 0+may水 平 方 向 ： Ff M 0+max解 得 ： FN地 =(M m)g may， Ff max。由 于 1 2a a ， 故 有 1 2y ya a 、 1 2x xa a ， 则 下 滑 过 程 相 对 上 滑 过 程 ， 有 ：摩 擦 力 方 向 始 终 向 左 ， 大 小 减 小 ； 支

25、持 力 总 是 小 于 系 统 总 重 力 ， 并 且 增 大 。 选 C。【 例 8】 如 图 所 示 ， 质 量 分 别 为 m、 2m 的 两 物 块 A、 B 中 间 用 轻 弹 簧 相 连 ， A、 B 与 水 平面 间 的 动 摩 擦 因 数 均 为 ， 在 水 平 推 力 F 作 用 下 ， A、 B 一 起 向 右 做 加 速 度 大 小 为 a 的 匀 加 速直 线 运 动 。 当 突 然 撤 去 推 力 F 的 瞬 间 ， A、 B 两 物 块 的 加 速 度 大 小 分 别 为 ( )A 2a、 a B 2(a g)、 a gC 2a 3g、 a D a、 2a 3g【

26、解 析 】 撤 去 F 瞬 间 ， 由 于 惯 性 ， A、 B 来 不 及 发 生 明 显 位 移 ， 则 弹 簧 弹 力 不 变 ， B 受 力 情 况 不 变 ，即 B 的 加 速 度 仍 为 a； 选 A、 B、 轻 弹 簧 系 统 为 研 究 对 象 ， 有 ：( 2 ) 2Am m g ma ma 解 得 ： 3 2Aa g a ， 即 A 的 加 速 度 方 向 向 左 ， 大 小 为 2a 3g。 选 D。【 例 9】 如 图 所 示 ， 木 板 静 止 于 水 平 地 面 上 ， 在 其 最 右 端 放 一 可 视 为 质 点 的 木 块 。 已 知 木 块 的 质 量 m

27、1kg， 木 板 的 质 量 M 4kg， 长 L 2.5m， 木 板 上 表 面 与 木 块 之 间 的 动 摩 擦 因 数 为 1 0.3， 下 表 面 与 地面 之 间 的 动 摩 擦 因 数 2 0.2， g 取 10m/s2。 欲 使 木 板 能 从 木 块 的 下 方 抽 出 ， 对 木 板 施 加 的 拉 力 应 满 足 什 么条 件 ？【 解 析 】 当 木 板 从 木 块 下 抽 出 时 ， 木 块 加 速 度 为 ： 11 1mga gm ；要 使 木 板 能 从 木 块 下 抽 出 ， 则 抽 出 时 木 板 加 速 度 a2需 满 足 ： 2 1a a ；选 木 块 、

28、 木 板 系 统 为 研 究 对 象 ， 由 系 统 的 牛 顿 第 二 定 律 ， 有 ：2 1 2( )F M m g ma Ma 联 立 ， 解 得 ： 1 2( )( )F M m g =25N。 曲 线 运 动【 例 10】 (2015山 东 省 桓 台 模 拟 )如 图 ， 质 量 为 M 的 物 体 内 有 光 滑 圆 形 轨 道 ， 现 有 一 质 量 为 m 的 小 滑块 沿 该 圆 形 轨 道 在 竖 直 面 内 作 圆 周 运 动 。 A、 C 点 为 圆 周 的 最 高 点 和 最 低 点 ， B、 D 点 是 与 圆 心 O 同 一 水 平线 上 的 点 。 小 滑

29、块 运 动 时 ， 物 体 M 在 地 面 上 静 止 不 动 ， 则 物 体 M 对 地 面 的 压 力 FN和 地 面 对 M 的 摩 擦 力有 关 说 法 正 确 的 是 ( )A 小 滑 块 在 A 点 时 ， FN Mg， 摩 擦 力 方 向 向 左B 小 滑 块 在 B 点 时 ， FN Mg， 摩 擦 力 方 向 向 右C 小 滑 块 在 C 点 时 ， FN (M m)g， M 与 地 面 无 摩 擦D 小 滑 块 在 D 点 时 ， FN (M m)g， 摩 擦 力 方 向 向 左【 解 析 】 小 滑 块 在 A 点 时 ， 加 速 度 竖 直 向 下 ， 在 C 点 时

30、， 加 速 度 竖 直 向 上 ； 在 B 点 ， 竖 直 加 速 度 向 下为 g， 水 平 加 速 度 向 右 指 向 圆 心 ， 在 D 点 ， 竖 直 加 速 度 向 下 为 g， 水 平 加 速 度 向 左 指 向 圆 心 。选 M、 m 系 统 为 研 究 对 象 ， 其 竖 直 方 向 受 重 力 (M+m)g 和 地 面 支 持 力 FN（ 由 牛 顿 第 三 定 律 可 知 ， 地 面支 持 力 等 于 物 体 M 对 地 面 的 压 力 ） ， 水 平 方 向 可 能 受 到 地 面 摩 擦 力 ， 则 由 系 统 的 牛 顿 第 二 定 律 ， 有 ：在 A 点 ： N( ) 0 AM m g F M ma ， Ff=0； 则 N ( ) AF M m g ma ；在 C 点 ： N ( ) 0 CF M m g M ma ， Ff=0. 则 N ( ) CF M m g ma ；在 B 点 ： N( ) 0M m g F M mg ， Ff=max； 则 NF Mg ， Ff水 平 向 右 ；在 D 点 ： N( ) 0M m g F M mg ， Ff=max。 则 NF Mg ， Ff水 平 向 左 。aiax ayFf FN 地(M+m)g