1、椭圆中角的最值问题探究给定椭圆上一个顶点 ，点 运动时，与点 相关的角也在变化，PP如何研究角的最值问题呢？在区间 上，余弦函数 单调,0xycos递减，即角的大小与其余弦值的大小相反，故求角的最值可以转化为求角的余弦值的最值。本文将通过对两个典型题目的分析，给出两种处理最值问题的方法：基本不等式法和函数法，同时给出两个椭圆里常见的关于角的最值问题的结论，便于大家平时解题。题目 1：椭圆 ： （ ） ，椭圆 的左、右焦点分C12byax0aC别为 ， ，点 为椭圆 上的动点，求 最大时，点 的位1F2P21PF置.分析：因为点 是椭圆 上的动点，由椭圆的定义知：，即和为定值，可以考虑运用基本不
2、等式求最值.aP21解析：在 中，由余弦定理得：1F212121211221cos PFPFP42121bFa由基本不等式得： ，2221 aPFP所以 ，当且仅当 时， “=”成立，cos21abF21此时 取最小值， 取最大值，点 位于椭圆短轴的21 21FP端点处.结论 1：椭圆 ： （ ） ，椭圆 的左、右焦C12byax0aC点分别为 ， ，点 为椭圆 上的动点，当点 位于椭圆1F2PCP短轴的端点处时， 取最大值.21题目 2：椭圆 ： （ ） ，椭圆 的左、右顶点分C2byax0a别为 ， ，点 为椭圆 上的动点，求 最大时，点 的位ABPAPB置.分析：这个题目中 不是定值，很
3、难构造出基本不等式所需B的条件，可以考虑运用椭圆的参数方程设出动点 的坐标（运用参数方程设动点的坐标的优势在于只含有一个参数） ，将角的余弦值表示为参数 的函数，再求函数的最值即可.解析：由椭圆的参数方程 （ 为参数） ，可设sincobyax， ， ，)sin,co(baP)0,(A),(B则 ，iA )sin,cobaP则 22222 (1)sn(sba，)sisicoB由向量的数量积得： PBAs22222 sin)1(cosin)1(cosibaba222242 sin41sinsin)( bababa 当 ，即 时， 取最小值，1si2APBco此时 ， 取最大222sin41cos
4、 babaAPBAPB值，此时 ，点 位于椭圆短轴的端点处.b,0结论 2：椭圆 ： （ ） ，椭圆 的左、右顶C12yax0C点分别为 ， ，点 为椭圆 上的动点，当点 位于椭圆ABPCP短轴的端点处时， 取最大值.高考题目：（2017 年全国 1 卷文科 12 题）设 ， 是椭圆 ： 长轴的两个端点，若 上存在点AB32myxC满足 ，则 的取值范围是（ ）M0A. B. ,910,9,C. D.4, 43分析：题目中给出 上存在点 满足 ，这是一个存在CM120AB问题，只需确保角的最大值不小于 ，而角的最大值在点 位于 M短轴端点时取得.解：由结论 2 知：当点 位于椭圆 的短轴的端点时， 取最AB大值；（1）若 ，则长轴 ，设短轴的一个端点为点 ，)3,0(m32ABE，在 中，EBAE由余弦定理得 ，m3212cos22若 上存在点 满足 ，则 ，CM10AB10AB，则 ，232cos1mE（2）若 ，则长轴 ，设短轴的一个端点为点 ，,3mmAB2F，在 中，由余弦定理得FBAE，mE 263242cos22 若 上存在点 满足 ，则 ，CM10AB10AB，则 ，26cos1m9综上所述， .,90
