1、裂项相消求和法裂项相消求和法是数列求和的基本方法之一，要求学生掌握常见裂项公式，在练习中形成裂项相消求和的方法，能够对新的形式进行裂项求和。对裂项相消求和法的考查主要有三种形式：1. 直接对公式 ， 的考查；1)(1nn )1()(knk2. 在等差数列中，对公式 的考查；11nnada3. 对于非等差数列的形式，能够进行裂项求和，主要是对裂项求和方法的考查；1定义裂项相消求和法是把数列的通项拆开（一般拆成两项之差） ，正负相消，剩下首尾若干项，再求和。二常用公式公式 1： ，1)(nn例 1：计算 0932解： 109109321121 公式 2： ；)()(knkn例 2. 计算 1095
2、31解： 1095312109531)0(2注：例 1，例 2 是小学数学中常考的题目，非常简单，其中蕴含着裂项相消求和法的基本思想，有助于我们直观感受裂项相消求和法。公式:3： （其中数列 为等差数列， 为公11nnadanad差） ；例 3. 等差数列 ， ， ，求数列 的前n231nnabnb项和 .nnT解： ，)1(31nnaabn21.13)1(3)(31321 nn注：裂项相消求和法最基本的应用就是对数列 进行求和，1nnab要深刻理解公式 的本质，能够灵活应用。11nnada三高考试题例 1：（2017 年全国二卷理科 15 题）等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 = .na
3、nS3a104SnkS1解：由条件得： ，解得 ， ，64213d1d所以 ，nan)(1则 ， ，2)1(nS 12)1(nnS所以.1232211 nSnnk 小结：数列 的前 项和的倒数 ，可直接运用an )1(nS进行裂项，再相消求和.1)(例 2：（2015 年江苏卷理科 11 题）设数列 满足 ，且 （ ） ，则数列na111nan *N的前 10 项和为 .n1解： 12211 )(ann，)(2所以 ，1)1(nna则数列 的前 10 项和为n.120)321(102 aa小结：通过叠加法求出数列 的通项公式，其倒数 ，na)(na可直接运用 进行裂项，再相消求和.1)(n注：
4、例 1，例 2 直接考查 的运用.1)(n例 3：（2017 年全国 3 卷文科 17 题）设数列 满足 .naaan2)(21 （1）求 的通项公式；na（2）求数列 的前 项和.12n解：（1） nan2)1()3(311 2)(12 aan-得： ，所以 ，nn（2） ，12)12(1n则数列 的前 项和为：an.121253125321 nnn 例 4：（2013 年全国 1 卷文科 17 题）已知等差数列 的前 项和 满足 ， .nanS035S（1）求 的通项公式；（2）求数列 的前 项和.12na解：（1）由条件得： ，解得：503153dS， ，1ad所以 ，2)(1nn（2）
5、 ，)12212 nnnaa则数列 的前 项和为：12n )111(2224312531 nnn aaaaa .)(2小结：考查 .11nnada例 5：（2015 年全国 1 卷理科 17 题）为数列 的前 项和.已知 ， .nSn 0n 342nnSa（1）求 的通项公式；a（2）设 ，求数列 的前 项和.1nnbnb解：（1）令 ，则 ，即 ，所以34211a0321a，3a当 时， 2n2nnSa34111-得： ，nnna412，)()(11naa因为 ，所以 ，所以 ，001n 21n故数列 为等差数列，其首项 ，公差 ，n 31ad所以 ，2)(1da（2） ，)11nnnb数列
6、 的前 项和为n 96)321()1(232121 naaann 小结：先证明等差数列，在利用 裂项相消.11nnd例 6：（2014 大纲全国卷理科 18 题）等差数列 的前 项和为 .已知 ， 为整数，且 .nanS01a2 4Sn（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .1nnabnbnT解：（1）因为 为整数，所以公差 为整数，2 d，其对称轴为 ，nadnaS)2()(121 dan12因为 ，所以 ， ，所以4n5.405.3d30.，3d所以 ，nan1)(1（2） )311nnab数列 的前 项和 为nnT)1(32121 nn a.)0()30(n小结：考查 .
7、11nnada注：例 4，例 5，例 6 都是以等差数列为背景，运用进行裂项相消求和。11nna例 7：（2015 年安徽卷文科 18 题）已知数列 是递增的等比数列，且 ， .n 941a832（1）求数列 的通项公式；a（2）设 为数列 的前 项和， ，求数列 的前 项nSn 1nnSbnb和 .nT解：（1） ，所以 ， 是方程 的两个83241a14a0892x根，解得： ， ， ， ，所以 ，1a848314qa2112nnqa（2） ，则 ，2nnS )(11nnnnb则 122213221 nnnnbT .11nn小结：运用裂项的思想.例 8：（2011 年全国卷理科 17 题）
8、等比数列 的各项均为正数，且 ， .na13221a6239a（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和.nnab32313logllog nb解：（1） ，所以 ，所以 ，46239a91234q3q，则 ，所以 ，1211q1annna11（2） 2)()2(logllog32313 abnn ，)()(nn所以数列 的前 项和为nb.12)1321(12 nnn 小结：等比转化为等差，在裂项相消求和.例 9：（2014 年山东卷理科 19 题）已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ， ， 成等na2nnS124S比数列.（1）求数列 的通项公式；n（2）令 ，求数列 的前 项和 .14)(nabnbnT解：（1） ， ， ，1Sd2 daS641因为 ， ， 成等比数列，所以 ，124 2即： ， ，21)()6(ada2112，所以 ， ；021)(ndan（2）， 12)1(2)(14)(4)(11 nnanb nn所以 )()53(121 bT nnn .)(n小结：运用裂项的思想.4小结列项相消求和法的基本思路为将数列的通项进行裂项，正负相消，再进行求和。关键在于如何裂项，通过练习使学生树立裂项相消求和的思想！补充： )2(1)(21)( nnn
