1、breaststroke,蛙泳,butterfly,蝶泳,backstroke,仰泳,freestyle,自由泳,Individual medley,个人混合泳,backspin,下旋,Change ends,交换场地,Drop shot,摆短,chop,削球,lob,放高球,Penholder,直拍,第3部分数论初步,3.1素 数,定义2.1（ 整除、倍数、因数） 设a、b为整数，,例如30=215=310=56,2，3，5都是30的因数，30是2，3，5的倍数。,若存在整数c，使b=ac，则称a可整除b。,记作a|b。,b叫做a的倍数，a叫做b的因数。,若不存在这样的整数c，则称a不能整除
2、b。,记作ab。,我 们有2，3，5分别整除30。,记作分别记为：2|30，3|30, 5|30。,或30被2，3，5分别整除。,如果a|1，则a=1,事实上，对于g=bg1（g1为整数），有b|g。,又例如7|84，-7|84，5|20，19|171，13|0,38，512。,0是任何非零整数的倍数，1是任何整数的因数，任何非零整数a是其自身的倍数。,由此我们可以得出这样的结论,如果a|b、b|a，则a=b,如果b0，b则可整除0。,如果b|g、b|h，对于任何整数m和n，则满足b|(mg+nh)。,对于h=bh1（h1为整数），满足b|h。,所以有 mg+nh=mbg1+nbh1=b(mg
3、1+nh1),所以b能整除mg+nh。,例 b=7，g=14，h=63，m=3，n=2,7|14，7|63，必满足7|(314+263)。,又由于（314+263）=7(32+29),所以有：7|(314+263)=7|(7(32+29),定义2.2 （公约数、最大公约数、素数、互素、两两互素）,设整数a,b,.l,若有整数d满足d|a，d|b，.，d|l，则称d为它们的公约数。,公约数中最大者成为它们的最大公约数。,记作：gcd(a,b,.,l),如果gcd(a,b,.,l)=1,则说a,b,l互素。,如果 a,b,.,l 中的每个数都与其它数互素，则称它们两两互素。,性质2 若,关于公约数
4、有以下性质：,性质1 若a是b的倍数，则gcd（a，b）=b。,则gcd(a,b )=gcd(b,c),定义2.3 (素数)只有1和自身为其因数的大于1的整数叫素数。,显然除2外，所有素数都是奇数。,寻找素数的方法：,设n是一个正整数，如果对所有素数p,有,其中 p1、p2、.、pt ，p1p2.Pt ，ai0,利用按模计算原理也可以用于形如,例3.7 91=713，11011=711213,有了这公式，对于较高指数运算，可以将一个较复杂的运算，变为较简单的运算。下面具一个例子来说明。,例2.8 求,解, 按最普通的算法，首先计算3的次方，然后对结果作取模运算。,（1）3的平方,（2）再次平方
5、,（3）再乘以3,利用按模计算原理，即对每次计算的中间结果作取模运算。,(4)取模运算,（1）3的平方,（2）再次平方,（3）再乘以3,对于上式指数运算作取模运算时，我们必须要小心，不能冒然作取指数运算，因为,一般不等于,但,定理3.3 设n是一正整数，a1，a2，b1，b2是四个整数，如果,a1b1 (modn),a2b2 (modn),则：a1+a2b1+b2 (modn),a1a2 b1b2 (modn),a1-a2b1-b2 (modn),证: 因为a1b1 (modn) ，a2b2 (modn)，所以存在k1，k2使得,a1=b1+k1n,a2=b2+k2n,a1+a2=b1+b2+
6、(k1+k2)n,a1a2=b1b2+(k1b2+k2b1+k1k2n)n,因为 k1+k2，k1b2+k2b1+k1k2n都是整数，所以我们有,a1+a2b1+b2 (modn),a1a2 b1b2 (modn),推理2.1 设n是一正整数，设a1，a2，at，b1，b2，bt,如果有,a1b1 (modn),a2b2 (modn),atbt (modn),(1) a1+a2+atb1+b2+bt (modn),(2) a1-a2-atb1-b2-bt (modn),特别,当b1=b2=bt=b时，则：,（1）a1+a2+attb (modn),(2) a1a2atbt (modn),2.3
7、 一次同余方程,定义2.9 设n位自然数，f(x)为正系数多项式，,且nam,其表现形式,则方程,称为关于模n的x的m次同余方程。,定理2.2（素数模的同余方程解的个数）设n为素数，则同余方程,的解的个数（包括重解的重数在内），小于等于n,例 x5+x+1=0 mod(7),首项系数为1的模7同余式。,而X=2(mod7)是该同余式的解，事实上，我们有,25+2+1=350（mod7）,还有解 x4 (mod7),所以解个数为2,在一次同余方程中我们特别感兴趣的是形如,这个方程的含义是，必存在x的值满足在modn的条件与1余。,它是我们以后将上密钥体制是要经常用到。,引理2.1,若gcd(k,
8、n)=1,则,为n的一个完全剩余系。,证 根据完全剩余系的定义，我们只要证明 ik个,分别属于n的对模n的不同的同余类即可。,若,则,则有,由,推出,但 i、j都大于0且小于n，因此是不可能的，故必有,定理2.2 若gcd（a，n）=1，则一次同余方程,有解，且有唯一的解。,定义2.9 （乘法逆元）令b,的解，,则说在关于模n乘法运算中，a与b互逆，b是a关于模n的乘法逆元。,有了乘法逆元为解方程创造一个条件，,axmodn=1,例：求5关于模14的乘法逆元。,的解，,引理2.3 若 为模n的一个缩剩余系，又 ，则 也为一个缩剩余系,证 显然有,故每个kai，都属于n,的互素的同余类。,我们只
9、要证明彼此的不同，即可证明,了此引理。,若,，同时有,则有,或,由（k，n）=1得,即,这与ai、aj为缩剩余系的不同元素矛盾，所以必有,即,分别属于不同的同余类。,对于任一素数p，小0于p且与p互素的数正数的个数显然等于p-1，从而,下面我们将引入两个素数p和q的积的定理。,定理2.3 当p、q为素数时，对 ，有,证 考虑n的完全剩余系,，除p-1个元素,和q-1个元素,以及0除外，其余所有元素都与n互素，因此有,下面我们将举一个例子对此定理的理解。,例2.7求,解 ，3和5皆为素数，有定理2.3得：,15的缩剩余系确有8个元素，它们是1，2，4，7，8，11，13，14,定理2.4 对任意
10、整数n，若其标准分解式为,则其Euler函数为：,例2.8求,所以24的剩余系包含8个元素。它们是1，3，7，11，13，17，19，23。,定理 2.5 （Euler定理 ）对任意整数k和n，若（k，n）=1，则,证 若,为模n的一个缩剩余系，则,即：,约简之后，得,当n为素数时，,，所以Euler定理也可以用来对,来对素数检测。若对任意,有,例2.9 K=3，n=10，(10)=4，所以 34=811 （mod10）；,k=2，n=11，(11)=10，所以 210=10241 （mod11）,定理2.5 （Fermat定理）设P为素数，则对任意整数a，有,证 由于p是素数，显然有,。于是
11、,当,时，由Euler定理，有：,在,时，,由于p为素数，必有,，定理显然成立。,例2.10 若p=5，a=3，所以有 35=2433 （mod5） 若p=5，a=10，所以有 105=10000010 （mod5）0 （mod5）,Fermat定理和Euler给出了方程,的解为,若n为素数，可进一步简化上式为,例：,解：,得：,下面验算之,我们很容易进一步扩充此算法，以求解一般一次同余方程,若gcd（a，n）=1，,方法,第一步：求 ax 1 ( modn),可得,第二步：求ax b (modn),由,可得,所以方程的解为,定理2.7 (孙子定理，又称为中国剩余定理),令 nk=d1d2.d
12、k，且d1,d2,.,dk两两互素,则方程组,x x1 (modd1),x x2 (modd2),.,x xk (moddk),在（0，n-1）内有惟一解。,证 对任意 i=1,2,k,有,为了便于理解我们将上式写成,所以存在yi满足：,令：,又令：,即,我们注意到dj是nk/di的因子,对于ij,所以x是方程组,的解,现在我们来证明，它也是方程组在（0，n-1）内的唯一解。,设x是方程组的第一个方程的解，所以可得,由于gcd,故由定理2.2知，以上方程中的k1对d2 是唯一的解,于是满足第一、二个方程的x对模d1、d2也是惟一的解,设,将它代入第三个方程，仿照以上证明，又可证的k2对d3也是
13、惟一的解既满足第一、二、三个方程的x对模d1d2d3也是惟一的解。,如此类推，可以证明满足全部方程的x对模d1d2dk是惟一解。,例1.5 解方程,解 由于,所以,我们首先分别求解方程,的解,解出：x1=1，x2=2,然后用孙子定理求解方程,为此首相找出满足,Y1=1,y2=3,于是得到,2.4 二次剩余,定义2.10 （二次剩余、二次非剩余、平方根）,设n为大于1的整数（a，n）=1，若二次同余方程,有解，则称a为对模n的二次剩余。,否则，则称之为对模n的二次非剩余。,满足以上方程的x成为未对模n的a的平方根。,定义2.10 （二次剩余系）在小于n正整数中，模n的二次剩余的集合称为二次剩余系
14、。记作。R2,定理2.6 对于任何奇素数p和任意a , 0ap方程,密码学中相关算法,在密码学中为了考虑更高级别的安全性需要密钥较长。,如RSA密码体制有时需要密钥长度达到1024bit长，使得现有一般计算机无法满足对此的计算，产生溢出，造成运算结果错误。,因此就有必要设计一个算法来解决运算产生溢出问题。,为了解决以上问题我们主要从以下两个方面考虑：,组织参与运算的数据,根据所组织参与运算的数据设计算法,（1）组织参与运算的数据,假设实现运算的计算机的字长为W位。,W通常是8的整数倍。,通常工作站的字长为64位或32位。,而低档的计算机字长w可能还小些。,如某些嵌入式计算机的字长是16位，而智
15、能卡的字长可能只有8位。,设整数m的二进制长度为p,t=m/W表示W位子的个数,显然整数m以二进制形式存储在一个t个w位字的数组A,A为 At-1，At-2，.A2,A1,A0,其中最右边的A0是存放最低的数据部分。,如果两个数大数分别为m1，m2,按照以上的组合方法,将m1从高位到低位分别存放到数组A:即：,At-1,At-2,.A2,A1,A0,M2从高位到低位分别存放到数组B中即：,Bt-1,Bt-2,.B2,B1,B0,(2)设计算法,加法,设加的结果放在数组元素C中即：,Ct-1,Ct-2,.C2,C1,C0,设用来存放进位位,执行以下算法,减法运算,步骤1. ( ,C0)A0+B0
16、,步骤2.1. ( ,Ci)Ai+Bi+ ,步骤2.对于i从1到t-1重复执行。,步骤3.输出（ ,C),设加的结果放在数组元素C中即：,设用来存放借位位,Ct-1,Ct-2,.C2,C1,C0,执行以下算法,步骤1. ( ,C0)A0-B0,步骤2.对于i从1到t-1重复执行。,乘法运算,设乘的结果放在数组元素C中即：,Ct-1,Ct-2,.C2,C1,C0,设（U,V)表示一个2W位的变量，,这两个变量用于存放运算的中间结果,执行以下算法,步骤1. 0=i0则存在惟一的整数q，r 使得：,a=bq+r 0=rb,反复运用欧几里德除法得：,r0=r1q1+r2 0=r2r1,r1=r2q2+r3 0=r3r2,.,rn-2=rn-1qn-1+rn 0=rnrn-1,rn-1=rnqn+rn+1 rn+1=0,定理 设a,b是任意两个整数，则gcd(a,b)=rn。,其中rn是广义欧几里得除法中最后一个非0余数。,设a=1859,b=1573,计算gcd(a,b),1859=11573+286,1573=5286+143,286=2143,
