1、第四章、对偶(DP)问题,对偶理论是线性规划的重要组成部分， 主要内容是：每一个LP问题都伴随一个称为对偶问题的线性规划问题，它们之间有十分密切的关系。 对偶问题的对偶最优解是进一步揭示LP模型经济含义的重要工具,一、对偶问题的提出 某厂用甲、乙、丙三种原料生产A、B两种产品，每种产品耗用的各种原料、利润以及原料库存如下表。,问题是：如何安排生产使得在现有条件下获得利润最多？ 解 设生产A、B产品数为 则有数学模型为：,用QM软件解得：75，15。最优值为570。 现在从另一个角度讨论这一问题，假设决策者决定不生产这两种产品，而将其出租。 问题是：决策者对每种资源如何定价？,设两种产品的定价分
2、别为：,用QM软件解得：5，0，0.5。最优值为570。 称这个线性规划问题为前面线性规划问题的对偶问题。,下面再从另一方面讨论对偶问题的提出 从单纯形表中知，,当,时就得到了线性规划的最优解。 可见，这两个表达式是得到最优解的条件。,二、对偶问题的定义,对称形式的线性规划问题的 对偶问题的定义,称线性规划问题,其对偶规划定义为：,说明： 原问题的变量个数是其对偶问题的约束方程个数。 原问题的约束方程个数是其对偶问题的变量个数。 原问题的目标函数系数是其对偶问题的约束方程右端常数项。 原问题的约束方程右端常数项是其对偶问题的目标函数系数。 原问题约束方程的系数矩阵的转置是其对偶问题约束方程的系
3、数矩阵。 LP与其对应的DP也可简写为：,对偶规划的矩阵形式,（LP） （DP）,非对称形式的线性规划问题的对偶问题,三、对偶问题的性质 性质1：对称性。 对偶问题的对偶问题是原问题。 性质2：弱对偶性。 原问题的可行解的目标函数值不可能超过对偶问题的可行解的目标函数值 性质3：无界性。 如果其中一个有无界解，则其另一个问题无可行解。,性质7：原问题的检验数行 对应其对偶问题的一个基解,四、对偶问题的经济意义 影子价格,在问题的提出中，我们得到原问题的最优解是（75，15），最优值是570。 并可求得在此最优方案下的资源耗用：原料甲耗用：175+115=90 原料乙耗用：575+215=405
4、 原料丙耗用：275+615=240 该问题的对偶问题的最优解为（5，0，.5），最优值为570。,所以变量 的经济意义是在其他条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化影子价格。,由以上的分析可以看出：,不同的资源，影子价格不一定相同。无剩余(松弛变量=0)的资源,影子价格不等于0有剩余(松弛变量0)的资源,影子价格等于0一种资源的影子价格越大，则增加或减少.一单位的这种资源对总利润的影响越大。影子价格的确定依赖于一定的范围与条件。影子价格只有在最优方案中才能体现出来。 影子价格是四十年代由苏联数学家康托洛 维奇提出的，影子价格对市场有调节作用。,五、对偶单纯形法的原理 及
5、其求解步骤,1、单纯形法的原理,在单纯形法的过程中，令B先满足和，然后再迭代过程中逐步满足，最后就得到最优解。而对偶单纯形法就是令B先满足、，然后在迭代过程中逐步满足，最后也同样得到最优解。实际上，将满足 的基称为正则基。在对偶单纯形法中 称为检验数。,2对偶单纯形法的步骤,说明： 对偶单纯形法是求解线性规划问题的另一 种方法，而不要简单的理解为对偶单纯形法就是求解对偶线性规划问题。 用对偶单纯形法求解LP问题时，初始解可以是非可行解，只要检验数为负时，就可以进行换基迭代了，也不需要加入人工变量，可以简化计算。 当变量多于约束条件时，用对偶单纯形法计算可以减少计算工作量。 对偶单纯形法并不是普
6、遍使用的，一般情况下，很难找到一个初始正则基。因此很少单独使用。,六、例题及解答,1.试求下列线性规划问题的 对偶问题,解 设对应于三个约束条件的对偶变量分别为： ，则由对偶问题的定义，可以直接写出其对偶问题是：,该题的原问题是最小值，因此在写出其对偶问题时，按照非对称形式的线性规划问题的对偶问题的关系，从右到左对应写出。,2用对偶单纯形法求解下面LP问题,解 Step1化为满秩标准形,Step5 判断是否为最优解 由于检验数有负数，所以B不是最优基。且负检验数对应的行中的数又负数，转入换基迭代。,返回Step5判断： 由于检验数中有负数且对应的行有负数。继续迭代得到下面的单纯形表。,A:计算机求解LP问题时的对偶价格,谢谢,
