1、Ch.4 线性系统的能控性和能观性,目录(1/1),目 录概述4.1 线性连续系统的能控性4.2 线性连续系统的能观性4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性4.4 对偶性原理4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消4.6 能控规范形和能观规范形4.7 实现问题4.8 Matlab问题本章小结,对偶性原理(1/8),重点喔!,要理解喔!,4.4 对偶性原理本节主要讨论状态空间模型中存在的特殊结构性问题-对偶性问题，以及对偶性原理在系统分析中的应用。讨论的主要问题:1. 基本概念: 对偶性的定义2. 对偶系统的结构特征3. 对偶性与能控性和能观性的关系4. 对偶性的意义,对偶性原理(2/8),能
2、控性,能观性,意义,代数判据,rankB AB An-1B=n,rankC AC (A)n-1C=n,模态判据1,同一特征值的约旦块对应B的分块的最后一行是否相关,同一特征值的约旦块对应C的分块的第一列是否相关,rankI-A B=n ,rankI-A C=n ,模态判据2,从前三节的讨论中可以看出,系统状态能控性和能观性,无论是从定义或判据方面来看,在形式和结构上都极为相似。这种相似关系可以总结成下表,对偶性原理(3/8)对偶性定义,满足下列关系:则称系统(A,B,C)和 互为对偶。 显然,若系统(A,B,C)是一个r维输入,m维输出的n阶系统,则其对偶系统 是一个m维输入,r维输出的n阶系
3、统。,这种相似关系决非偶然的巧合,而是系统内在的结构上的必然联系。这种必然联系称为对偶性原理。下面给出对偶系统的定义。定义4-6 若给定的两个线性定常连续系统,对偶性原理(4/8),下图是对偶系统和 的结构图。从图中可以看出,两系统互为对偶意味着输入端与输出端互换;信号传递方向的相反;信号引出点和相加点的互换,对应矩阵的转置,以及时间的倒转。,对偶性原理(5/8),即互为对偶系统的传递函数阵是互为转置的。,根据状态空间模型的对偶关系可以导出下述结论：互为对偶系统的传递函数阵是互为转置的且其特征方程相同。现推证如下:对于系统 ,其传递函数阵是如下rm矩阵:,对偶性原理(6/8)定理16,类似地，
4、还可以得出如下结论：互为对偶系统的特征方程和特征值相同。对于互为对偶系统之间的状态能控性和能观性的关系,有如下定理:定理4-16 设线性定常连续系统(A,B,C)和 是互为对偶,则系统的状态能控(能观)性等价于系统 的状态能观(能控)性。,对偶性原理(7/8)定理16,的秩为n,则 为状态完全能观。由对偶性关系,上式又可记为,证明 对系统 而言,若能观性矩阵,对偶性原理(8/8),即系统 的状态能观性等价于系统的状态能控性。同理可证,系统 的状态能控性等价于系统的状态能观性。上面讨论了线性定常连续系统的对偶性关系和对偶性原理,对于线性时变连续系统和线性离散系统,也存在类似的对偶性关系和对偶性原理,有兴趣的读者可参阅其他教材和文献。对偶性概念的引入使得对线性系统的分析得以大大简化。,
