1、代数方程拓展题型基本思想特殊方法题型一、二次三项式的因式分解(1)若方程 的两根为 ，则二次三项式 可分解为：02cbxa21,xcbxa2=cbxa2 )(21(2)推导出公式=a（x-x 1） （x-x 2）步骤：1. 形如 ， 可令代数方程的解法1、消元：将多元化成一元2、降次：将高次降成低次换元法、因式分解法、公式法、配方法、配项法、有理化法、变更主元法等 若，则方程有两个实数解 和 ，则 1x2 若，则在实数范围内无法再分解因式。2. 形如，可令（此处将看成未知数，而作为一个参数）注意：1、分解因式时 a 不能去掉，这和解方程不是一回事； 2、是 x 与两根之差的积，不是和。例 1
2、把分解因式。解： 方程的根是(PS:写成如上形式即可)例 2 把 分解因式。 2)5(4)8(的 根 是0的 方 程解 ： 关 于 22yyxx646)264)(24(5822 yxyxyx 分析：将 y 看作常数，将原式看成是关于 的二次三项式。巩固练习1、把 在实数范围内分解因式，正确的是( )aba63922(A) (B)31(b )31)(31(baba(C ) (D)(3aa 2、在实数范围内分解因式： _。223yx3、在实数范围内分解因式： 。3)4()(1x题型二：高次方程（一）一元高次方程的特点：（1）整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）含未知数的项最高次数大于 2。一般
3、的，如果 =0，则： 或 或 ；)()(210 nxxa01x2x0nx=nnax110 )(210 n则 是方程 =0 的 n 个根。n,21 naxx110解高次方程的基本思想： 化高次为低次 （二）常用方法：（1）因式分解法；把高次方程化成 A=0 的形式，再把 A 分解因式，即 =0，所以： 或)()(210 nxxa01x或02x0nx例 1 解方程解：原方程可变形为，所以说明 ：当 ad=bc0 时，形如的方程可这样解决： 令，则于是方程可化为：即 方程也可以用类似方法处理针对练习：1、 的解是_。2130nnxx2、方程 的解是_。523、 的解是_。543240xx方法思路：按
4、照从高到低降次排列，提公因式或者分组分解。 （系数成一定的比例更方便提取公因数）（2）换元法；通过换元把高次方程化为次数较低的方程，这种方法在高次方程、分式方程、无理方程、方程组中都很有用处，这种方法应该掌握，根据题目的特点合理加以利用。例 2 解方程分析：如果将式子展开再用因式分解法，显然计算量过大，不显示，故而要寻求别的方法。观察左边 4 个因式，看如何两两组合相乘，能产生相同的项？解：把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得：设，则即 解得 125,y将 分别代入中得，125,y所以 123485855,22xxxx思考：对于这种形式的方程，你找到规律了吗？针
5、对练习：1、解方程 。420x2、方程 的解是_。178)3(22x3、方程 的解是_。)4(1x题型三、分式方程拓展（一）分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。注意：分式的分母不能为 0。解分式方程的基本思想： 化分式方程为整式方程（二） 常用方法：（1）直接去分母法；步骤：1、分子分母能因式分解的先因式分解；2、找所有分式的最简公分母；3、方程两边都乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程；4、解整式方程；5、验根（将根代入到最简公分母，看最简公分母是否为 0） ；6、下结论。例 1 解方程 241x分析：去分母，转化为整式方程解：原方程可化为： 14212()xx方程两边各项
6、都乘以 ：2x2(2)4()4x即 ， 整理得：36230x解得： 或 1x2检验：把 代入 ，不等于 0，所以 是原方程的解；1x241x把 代入 ，等于 0，所以 是增根2 2所以，原方程的解是 1x（2）换元法；解题思路：用换元法将原方程变形，然后去分母，化为整式方程，求出新方程的解，最后代入换元的式子，再求根验根。一般应用于较为复杂，直接去分母会导致计算量过大的方程，以下举例均为常见的题型。例 2 解方程 228()3(1)xx分析：注意观察方程特点，可以看到分式 与 互为倒数因此，可以设 ，即可21x2x21xy将原方程化为一个较为简单的分式方程解：设 ，则21xy21xy原方程可化
7、为： 23 3883018y或(1)当 时， ；1y22212xxx(2)当 时， 382223 1863516305xx或检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0所以，原方程的解是 ， ， 12x315x说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想例 3 1201013022xxx分析：观察三个分式分母，有 2 个不能分解因式，如果直接去分母，显然不现实；观察三个分母的特点，都含有 ，故而可以考虑换元。注意体会本题中的解题思想。21x解：设方程转化为解得 y = （注意，既然换元了，就暂且将 y 理解成未知数， 为参数）x= -7x
8、解得 1234,5,5xx经检验， 均为元方程的根1234,x例 4 解方程时，设 085)(62x分析：如果直接去分母，将变成高次方程。观察题目特点，有 ， ，可考虑配方，换元。1x2x解：原方程化为 2216()5()0xx令 ，则原方程化为y6y解得： 1250,3将 代入 解得， ；1y1x12,x将 代入 解得，203y341,3经检验， ， 均为原方程的根12,x341,3x巩固练习:解下列方程（1） （答案： ）22317x1234,12,xx（2） （答案： ）20x1234,12x（3） （答案： ）222110838xx1234,8（3）倒数法解题思路：观察方程，形如： 的
9、形式，可直接得出 。Ax1Ax1， 或例 5 已知： _。212x， 求分析：已知条件中，x， 互为倒数 ，其中 互为倒数关系，利用此关系，可有下面解法。121，解： ，x124112x， 或例 6 解方程： 213274x分析：方程的左边两项为倒数之和，因此可用倒数法简化求解，设 213321xyxy， 则解：原方程变形为 y4y41或当 时，则 ，解之得234xx190当 解之得yx141时 ， 则 ， 265经检验 是原方程的根。129065，拓展公式：的解是cx1;1,21cx（即 ）的解是;1,21cx的解是cx2;2,1cx的解是3;3,21思考（）请观察上述方程的特征，比较关于
10、x 的方程 与他们的关系，猜想它的解是什)0(mcx么，（）请利用这个结论解关于 x 的方程 。1212ax（4）分组通分法；解题思路：当分母相邻两个的差相等，且分子可化为相同时，先分组通分，会使计算更简便。例 7 解方程 11234xx解：（检验）例 8 解方程 6532176xx解： （分离常数）（思考为何要移项相减？）步骤同上题（检验）巩固练习：解方程（1）（2）117236xx94587236xx（三）分式方程与增根相关的问题1、分式方程的增根同时满足两个条件：（1）是由分式方程化为整式方程的根。 （2）使最简公分母为 0。2、增根与无解的区别联系：分式方程有增根，指的是解分式方程时，
11、在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为 0，它是原方程的增根，从而原方程无解。例 1 若方程 - =1 有增根，则它的增根是（ ）)1(6xmA、0 B、1 C、-1 D、1 或-1分析：使方程的最简公分母 ,但不能忽略增根除满足最简公分母为零,还必须是所化整式方程的根。解：原方程易化成整式方程：整理得：当时,此时 m 无解；
12、当时,解得 m=3。由此可得答案为 B。注意：-1 虽然能使分母为零，但是它不是原方程的根。例 2 已知关于 x 的方程 无解，求 m 的值。解：先把原方程化为 （1）若方程（1）无解，则原方程也无解，方程（1）化为，当 ，而 时，方程（1）无解，此时 。若方程（1）有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，所以，当方程（1）的解为时原方程无解， 代入方程（1） ，得 ，故 。综合以上，当 或 时，原方程无解。m=1 原方程无解，m=3 原方程产生增根。注意：原方程无解包括两种情况：原方程本身就无意义，原方程的解全部是增根。（1）由增根求参数的值这类题的解题思路为：1、将分式方程去
13、化成整式方程（方程两边同时乘以最简公分母）2、确定增根（题目已知或使分母为零的未知数的值）3、将可能的增根分别代入整式方程，求出参数的值（增根是由分式方程化成的整式方程的根）例 3 已知关于 x 的方程 有增根，求 k 的值。解：把原方程去分母，化为 。 （1）因为原方程的最简公分母是 ，所以方程的增根可能是 或若增根为 ，代入方程（1） ，得 ， ；若增根为 ，代入方程（1） ，得 ， 。故当 或 时，原方程会有增根。（2）由分式方程根的情况，求参数的取值范围这类题的解题思路为：1、 将原方程化为整式方程。2、把参数看成常数求解。3、根据根的情况，确定参数的取值范围。 （注意要排除增根时参数
14、的值）例 4 关于 x 的方程 -2= 有一个正数解，求 m 的取值范围。3xm分析：把 m 看成常数求解，由方程的解是正数，确定 m 的取值范围，但不能忽略产生增根时 m 的值。原方程易化为整式方程：，整理得：，原方程有解，故不是增根。由此可得答案为 m 的取值范围是综上所述关于增根的问题，一定要弄清楚增根的定义，及增根必须满足的条件，和解这类题的思路。巩固练习1、 当 m=_时，分式方程 会产生增根。632xm2、方程 xkx21（）当 k 为何值，解这个方程时会产生增根；（）k 为何值时，这个方程只有一个实数解。题型四：无理方程拓展（一）无理方程的概念：根号内含有未知数的方程叫做无理方程
15、。注意：被开方数要为非负数。无理方程的解法思想： 化无理方程为整式方程（二）理方程的常用方法：（1）直接平方法；步骤：1、将无理方程整理成 同号） ；cabb,0(由此，可判断方程是否有根。当 ，方程有实根；当 方程无实根。,0bc2、将等式两边平方，将无理方程变为整式方程；3、解整式方程；4、验根（和分式方程一样，无理方程必须要验根） 。验根是将根代入原方程，看方程两边是否相等；5、下结论。例 1 解方程 323x分析：直接平方将很困难可以把一个根式移右边再平方，这样左右两边平方，整理后就可以转化的模式，再将等式两边平方，将无理方程变为整式方程解方程cab解：原方程可化为： 323xx两边平
16、方得： 96整理得： 6314237xxx两边平方得： 29()整理得： ，解得： 或 230x1x检验：把 代入原方程，左边=右边，所以 是原方程的根1把 代入原方程，左边 右边，所以 是增根，舍去。2x2x所以原方程的解是 1例 2 解方程 解移项得两边平方后整理得再两边平方后整理得 x23x-280，所以 x 1=4，x 2=-7经检验知，x 2=-7 为增根，所以原方程的根为 x=4说明：含未知数的二次根式恰有两个或三个的无理方程的一般步骤：移项，使方程的一边只保留一个含未知数的二次根式；两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；两边同时平方，得到一个整式方程；解整式方程并验
17、根练习题1、解方程 3134x2、解方程 056（2）换元法；解题思路：用换元法将原方程变形，然后去根号，化为整式方程，求出新方程的解，最后代入换元的式子，再求根验根。例 3 解方程 22151xx分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现： 因此，可以设 ，这样就可将原方2233(5)xx251xy程先转化为关于 的一元二次方程处理y解：设 ，则251x22251315()xyxy原方程可化为： ，23()y即 ，解得： 或 250y153y(1)当 时， ；122010xxx或(2)当 时，因为 ，所以方程无解53y2
18、51y检验：把 分别代入原方程，都适合1,0x所以，原方程的解是 ,x说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想练习题：解方程（1） ； （2）3942x253156xx（3）有理化因式法；解题思路：原方程两个根式的平方差是一个实数，用平方差方程除以原方程，得到原方程的有理化方程，再把原方程与有理化方程结合，加减消元法，求出式子的值，再求根验根。例 4 解方程解 观察到题中两个根号的平方差是 13，即便得 由+得： 巩固练习1、解方程 ，因为 ，则 ，所以1x1x1_x，由此解得 。_x2、若方程 ，那么， ，方程154522 xxx 22545_
19、xx的解是_。145x（4）配项法解法思路：观察原方程中有可以配成两项和的一半的项，即用完全平方将方程配方。从而将原方程转化为完全平方的形式。例 5 解方程解析：需要注意的是： 可看成是 2 x ，且,巧好等于原方程中的二次项一次项，这就启发我们是否可用“两项和的平方” ，即完全平方公式将方程的左端配方将原方程变形为 222(3)39xx即 ，所以 或22(3)9x23x2由 解得：2129,由 解得：233x345757,xx经检验， 为原方程的根；129,当 时， ，所以 为增根345757,xx(3)0x34597597,xx所以原方程的根为 129,例 6 解方程解：考虑到 ,且= 2
20、x+2 ,于是将方程化为： 即 所以移项得 题型五：二元二次方程组拓展1、概念：二元二次方程：方程中含有 2 个未知数，方程的最高次数为 2。二元二次方程组：含有 2 个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为 2 次的方程组。方程组的解：同时满足方程组中两个二元方程的的解。2、二元一次 + 二元二次；解题思路：当方程组是一个二元一次方程和一个二元二次方程组成时，将二元一次方程变形后代入二元二次方程，使二元二次方程变为一元二次方程，求其解，代入原方程组，求出原方程组的解；练习题1、已知 ，那么 ；5,132yxyx _2yx2、已知 ，则 _。05422yxyxy3、二元一次
21、 + 二元一次解题思路：当方程是由两个二元二次方程（其中一个可以分解为两个二元一次方程）组成时，先将可以分解为两个二元一次方程的二元二次方程组组成两个新方程组，求其解并合在一起，既为原方程组的解。小秘书：如果方程组中含有分式方程或无理方程，则要对方程组进行验根。练习题1、解方程组240xy4、形如 解题思路：把 x,y 看作是一元二次方程 的两根，化二元二次方程组为一元xyab 20tab二次方程。练习题：方程组（1）（2）86xy57xy5、形如 解题思路：换元法，化分式方程组为整式方程组。abcxyefg做一做1方程组 ，的解是_。32764yx6、由方程组解的情况求方程中参数解题思路：此
22、类题中的方程组一般由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成，将二元一次方程变形后代入二元二次方程，使二元二次方程变为一元二次方程，方程组的解的个数和一元二次方程的解的个数相同，由一元二次方程的解的情况，可判定方程中参数的取值（范围） 。例 1、：已知方程组 有两组实数解，求 m 的取值范围。2410ymx()2解：将(1)代入（2）得 （3）2(4)xx由题意方程组有 2 组解，可知（3）为一元二次方程，且有 2 个不等的实数根，故而有：20(4)0m解得： 1,且针对练习：（1）若方程组 有正整数解，求 的值； 256xaya（2）若 为一个三角形三边的长，方程组 只有一组解，试判断三角形的形状。abc、 、220xybaca（3）已知方程组 对于任意的实数 都只有一组解，求 的值；22(1)4yaxbckkabc、 、（1） （答案： ） ；（2）等腰三角形；（3） ；16或 1,2,abc
