1、一、离散型随机变量的分布律,二、常见离散型随机变量的概率分布,三、小结,2.1 离散型随机变量及其分布律(2),定义1 若随机变量 X 的全部可能取值是有限个或可列无限多个,则称这种随机变量为离散型随机变量。,一、离散型随机变量的分布律,定义2,离散型随机变量的分布律也可表示为,或,其中,分布函数,分布律,离散型随机变量的分布函数,离散型随机变量分布函数演示,离散型随机变量分布律与分布函数的关系,解,二、常见离散型随机变量的概率分布,设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为,2.两点分布,1.退化分布,若随机变量X取常数值C的概率为1,即,则称X服从退化分布.,实例1 “抛硬币”
2、试验,观察正、反两面情况.,随机变量 X 服从 (0-1) 分布.,则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.记为Xb(1,p),两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.,说明,3.均匀分布,如果随机变量 X 的分布律为,实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,均匀分布随机数演示,4.二项分布,若X的分布律为：,称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。 记为,其中q1p,二项分布的图形,图形演示,例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的
3、次数 X 服从 B (5,0.6) 的二项分布.,二项分布随机数演示,4. 泊松分布,泊松资料,图形演示,泊松分布的图形,泊松分布随机数演示,泊松分布的背景及应用,二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.,地震,在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.,火山爆发,特大洪水,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客
4、数,在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.,泊松定理,证明,上面我们提到,单击图形播放/暂停 ESC键退出,设1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则,可利用泊松定理计算,所求概率为,解,例2 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?,6. 几何分布,若随机变量 X 的分布律为,则称 X 服从几何分布.,实例 设某批产品的次品
5、率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数目 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律.,几何分布随机数演示,图形演示,所以 X 服从几何分布.,说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.,解,7.超几何分布,设X的分布律为,超几何分布在关于废品率的计件检验中常用 到.,说明,图形演示,离散型随机变量的分布,两点分布,均匀分布,二项分布,泊松分布,几何分布,二项分布,三、小结,超几何分布,退化分布,几种分布比较演示,例 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一 件、一件地取产品.设每次抽取时, 所
6、面对的各件 产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下, 分 别求出直到取得正品为止所需次数 X 的分布律. (1)每次取出的产品经检定后又放回 这批产品中去在取下一件产品;(2)每 次取出的产品都不放回这批产品中; (3)每次取出一件产品后总以一件正 品放回这批产品中.,备份题,解,(1) X 所取的可能值是,(2) 若每次取出的产品都不放回这批产品中时,X 所取的可能值是,(3) 每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.,故 X 的分布律为,X 所取的可能值是,例 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台
7、,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01?,解,合理配备维修工人问题,由泊松定理得,故有,即,例6 (人寿保险问题)在保险公司里 有2500个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日付12元保险费,而在死亡时,家属可在公司里领取200元.问(1)保险公司亏本的概率是多少?(2) 保险公司获利不少于一万元的概率是多少?,保险公司在1月1日的收入是 250012=30000
8、元,解 设X表示这一年内的死亡人数,则,保险公司这一年里付出200X元.假定 200X30000,即X 15人时公司亏本.,于是,P公司亏本=P X 15=1-PX 14,由泊松定理得,P公司亏本,(2) 获利不少于一万元,即 30000 -200X 10000,即X10,P获利不少于一万元=PX10,分析,这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.,例2,解,图示概率分布,解,因此,例3,Jacob Bernoulli,Born: 27 Dec 1654 in Basel, Switzerland Died: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland,伯努利资料,泊松资料,Born: 21 June 1781 in Pithiviers, France Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France,Simon Poisson,
