1、Partial Differential Equation (P.D.E),数学物理方程,吴事良,2019/3/12,西电应用数学系,2,Keep mind active, make yourself comfortable.,2019/3/12,西电应用数学系,3,PDE的起源及发展：,欧拉最早提出了弦振动的二阶方程，随后，达朗贝尔也在论动力学中提出了特殊的偏微分方程。,1746年，达朗贝尔在其论文张紧的弦振动时形成的曲线的研究中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。,丹尼尔贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题
2、的一般方法。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程。,2019/3/12,西电应用数学系,4,今天，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。,偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪。法国数学家傅立叶，在从事热流动的研究中，写出了热的解析理论，在文章中他提出了三维空间的热方程。,2019/3/12,西电应用数学系,5,教材：,数学物理方程 谷超豪等 高教出版社(第三版),参考：,偏微分方程, 周蜀林, 北大出版社 偏微分方程, 陈祖墀, 中科大出版社(第二版),P
3、artial Differential Equations, L.C.Evans,AMS,2008, fourth printing http:/math.berkeley.edu/evans/,2019/3/12,西电应用数学系,6,Definitions:,Differential equation: Equation that relates the derivatives of an unknown function,ODE: the unknown function in the differential Eq. only depends on a single variable,P
4、DE: the unknown function in the differential Eq. depends on more than one variable,1.,2.,E.g.,(ODE),(PDE),2019/3/12,西电应用数学系,7,ODE One Variable Calculous(一元微积分),PDE Multi-Variable Calculous(多元微积分),2019/3/12,西电应用数学系,8,记号(Notations),be a function.,the set of all derivatives of order k.,gradient(梯度).,Le
5、t,2019/3/12,西电应用数学系,9,Laplacian of u.,be a vector-valued function,Let,Divergence(散度) of u.,Clearly,= | all derivatives of order k are continuous ,2019/3/12,西电应用数学系,10,1.1. Basic Concepts(PDE的基本概念),unknown function,order PDE:,Order：,Classical solution： and satisfies the Eq. (1) .,the highest order de
6、rivative occurring in the Eq.,2019/3/12,西电应用数学系,11,分类一：,Linear,Non-linear,Semilinear(半线性),Quasilinear(拟线性),Full nonlinear(完全非线性),PDE,2019/3/12,西电应用数学系,12,线性 DE：,PDE中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。例如(二阶线性PDE)：,常系数线性PDE:,不然称为变系数的,齐次线性PDE:,不然称为非齐次的,线性PDE的主部: 具有最高阶数偏导数组成的部分,主部,2019/3/12,西电应用数学系,13,PDE中对最高阶导数项是线性
7、的。例如：,半线性PDE：,完全非线性PDE：,PDE中对最高阶导数不是线性的。,拟线性PDE：,拟线性PDE中，最高阶导数项的系数仅为自变量的函数。例如：,非线性PDE：,PDE中含有未知函数及其各阶导数的非线性项。,2019/3/12,西电应用数学系,14,例子经典方程（未知函数为二元函数）：,1.,2.,Transport Eq.(输运方程),2019/3/12,西电应用数学系,15,4.,3.,Wave Eq. (波动方程),2019/3/12,西电应用数学系,16,5.,Laplace Eq.,6.,Heat Eq. 热传导方程,2019/3/12,西电应用数学系,17,7.,8.,
8、二阶拟线性,9.,一阶完全非线性,Reaction-Diffusion Eq.,Hamilton-Jacobi Eq.,极小曲面方程,二阶半线性,2019/3/12,西电应用数学系,18,例子经典方程组：,1.,这里 分别为电场强度和磁场强度， 为光速.,1873年，伦敦皇家科学院J.C.Maxwell用系统而精确的形式表达了有关电和磁的全部定律。爱因斯坦称赞它是“在牛顿以来物理上所经历的最深刻、最有成果的一次真正观念上的变革”，它开辟了无线电时代的新纪元。,2019/3/12,西电应用数学系,19,2.,System of conservation laws (守恒律方程组),3.,Reac
9、tion-diffusion system(反应扩散方程组),行波解(传播过程中波形不变)：传染病、神经网络、化学反应等,2019/3/12,西电应用数学系,20,4.,其中 为粘性系数， 分别为流体的速度和压力,Navier-Stokes Eqs. for incompressible, viscous flow(不可压缩粘性流),1、The NavierStokes equations are the most fundamental equations of fluid mechanics. 2、The existence or non-existence of global solut
10、ions is a major unsolved problem (open problem) in mathematics！,2019/3/12,西电应用数学系,21,1.2. Well-posed problems(适定性问题),1、定解问题PDE+定解条件(具体方程时阐述),2、适定性若一个偏微分方程定解问题满足：(i) 它的解存在；(ii) 它的解唯一；(iii) (稳定性)它的解连续的依赖定解条件和定解问题中的已知函数，则称此定解问题是适定的；否则称为是不适定的.,注：稳定性是非常必要的.数学模型是实际问题的近似，得到的初始与边值数据都会有误差，因而定解问题的解与实际问题的解必定有差
11、异，我们只能要求测量的误差越小时，定解问题的解与实际问题的解越靠近.,2019/3/12,西电应用数学系,22,Wave Eq. (波动方程)双曲型,Poissions Eq(位势方程)椭圆型,Heat Eq. 热传导方程 抛物型,内容：,三类方程解的适定性：存在、唯一、稳定 性；解的正则性、渐近性(衰减性)等,2019/3/12,西电应用数学系,23,存在性：Step1、形式解假定定解问题的解具有非常好的性质(如光滑性)，进而求出定解问题的解的表达式. 这样的解称为形式解. Step2、严格证明在定解条件满足一定的要求时，所得到的形式解确实是古典解.,唯一性及稳定性：Step1、先导出一些有
12、用的先验估计 在解存在的先验假定下，导出解所满足的估计(最大模估计，均方模估计等).Step2、利用这些估计得出定解问题的解的唯一性及稳定性.,使用的方法:,2019/3/12,西电应用数学系,24,注：波动方程、热传导方程及Laplace方程(在一定的情况下)都可求出解的具体表达式. 但是绝大部分方程是求不出解的表达式的. 对于这些方程只能从理论上研究解的性质或数值上模拟解的性态.,2019/3/12,西电应用数学系,25,作业:,1、复习重积分及曲线、曲面积分 2、复习P356-371 的第三节：场论初步 3、数分下册P347： 4、5、6 P348：9(交),Q：Green及Guass公式能否推广到n维的空间中去？,
