1、 CABVE.DAA1BDCC1B1解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。下面举几个例子来说明。例 1：如图，立体图形 VABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角 VABC 的平面角并求出它的度数。例 2：在三棱锥 P-ABC 中， APB= BPC= CPA=600，求二面角 A-PB-C 的余弦值。这样的类型是不少的，如下列几
2、道就是利用定义法找出来的：1、在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，找出二面角 BACB 1的平面角并求出它的度数。2、 边长为 a 的菱形 ABCD ，ACB=60 0，现沿对角线 BD 将其折成才 600的二面角，则 A、C 之间的距离为 。 （菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长是 4，过 BC 的一个平面与 AA1交于 D，若 AD=3，求二面角D BC A 的正切值。总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。
3、并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。例 3：如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA平面 ABC，PA=AB，AC=BC=1，ACB=90 0，M 是 PB
4、 的中点。(1)求证：BCPC ， (2)平面 MAC 与平面 ABC 所成的二面角的正切。例 4：如图，已知ABC 中，ABBC，S 为平面 ABC 外的一点，SA平面 ABC，AMSB 于 M，ANSC于 N,(1)求证平面 SAB平面 SBC (2)求证ANM 是二面角 ASCB 的平面角.本题可变形为：如图，已知ABC 中，ABBC，S 为平面 ABC 外的一点，SA平面ABC，ACB60 0，SAACa，(1)求证平面 SAB平面 SBC (2)求二面角 ASCBC 的正弦值.在运用三垂线找平面角时，找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理，按三垂线的条件，一垂线垂直二面角
5、的一个面，还有垂直于棱的一条垂线。且两垂线相交，交点在二面角的面内。CBMBAPNKABCMNSAl DCAlBCEBD（3）垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与两二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角。这关键在找与二面角的棱垂直且与两二面角两半平面都有交线的平面。例 5：如图在三棱锥 SABC 中，SA底面 ABC，ABBC，DE 垂直平分 SC且分别交 AC、SC 于 D、E，又 SAAB，SBBC，求二面角 EBDC 的度数。如图， ， 与 所成的角为 600， 于 C， 于BDAC, llB， AC3， BD4， CD2，求 A、 B 两点间的距离。（二）寻找无棱二
6、面角的平面角的方法和求解。无棱的二面角一般是只已知一个共点，但两个面的交线不知道。若要找出二面角的平面角，则需要根据公理 2 或公理 4 来找出二面角的棱，化为有棱二面角问题，再按有棱二面角的解法解题。这种主要有两类：一类是分别在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角（两条在同一平面内且不平行） 。那么延长这两条线有一交点，根据公理 2，这点在二面角的棱上，连公共点和这点就是二面角的棱；另一类是分别在两个面内有两条直线是平行的二面角。这由直线和平面平行的判定和性质定理知这直线和面平行，所以直线平行于二面角的两个面的交线。由公理 4，可知这两条直线平行于二面角的棱。所以过公共点作一条直线平
7、行于这两直线，那么所作的直线是二面角的ABCSD棱。例 6：如图，ABC 在平面上的射影为正AB 1C1，若BB1= ，CC 1=AB1=1，求平面 ABC 与平面 AB1C1所成锐角二面角的2大小。变式：1. 如图,在底面是直角梯形的立体图 S ABCD 中， ABC90 0， SA底面 ABCD，SAABBC1，AD0.5，求面 SCD与面 SBA 所成二面角的平面角的正切值。2. 如图，在所给的空间图形中 ABCD 是正方形，PD面 ABCD，PDAD。求平面 PAD 和 PBC 所成的二面角的大小。3. 如图，斜三棱柱 ABCA 1B1C1的棱长都是 a，侧棱与底面成 600角，侧面
8、BCC1B1面 ABC，求平面 AB1C1与底面 ABC 所成的二面角的大小。ABCB1C1ABCDESCA BDPAC D BA1.EC1.BVBA CD解关于二面角问题二面角是立体几何中最重要的章节。二面角中的内容综合了线面垂直，三垂线定理及其逆定理和异面直线所成角等较多的知识点，是高考的热点和难点。在总结时，若能够引导学生进行对解二面角的问题进行探究和总结，对提高学生的数学思想方法是有帮助的，对提高学生灵活运用所学的也有很重要的作用。为此我对这方面进行总结，以供教学和学习参考。（一）对本内容进行思考时，必须弄清两个概念：（1）什么是二面角，如何表示？而二面角的大小是可以用它的平面角来度量
9、，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度.（2）什么是二面角的平面角，如何表示？这一概念特别重要，要能够很快地反应出二面角的平面角是以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角。 ，二面角的平面角的定义三个主要特征是：过棱上任意一点；分别在两个面内作射线；射线垂直于棱。明白这一点对于能够作出或找出二面角的平面是很关键。在脑子里要能想象出二面角平面角的图形。如图，0a，OA ，OB ,OAa，OBa。（二）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。寻找和求作二面角的平面角是解二面角问题的关键，这也是个难点。在从图形中作出二面角的平面角时，要结合已知条件来对图
10、形中的线线、线面和面面的位置关系先进行分析，确定有哪些是平行、垂直的或者是特殊的平面图形，然后运用这些的有关性质和二面角的平面角的定义进行找出二面角的平面角。所以解关于二面角问题需要有很好的对线线、线面和面面的位置关系的分析判断能力。而在求作二面角的平面角的方法主要有三种：定义法、三垂线法、垂面法。至于在求解有关平面角的问题时，这平面角通常是在三角形中，所以常要用到解直角三角形和斜三角形的知识，这包括正弦和余弦定理的知识，也会用到其它的平面几何知识。（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基
11、本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。下面举几个例子来说明。例 1：如图，立体图形 VABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角 VABC 的平面角并求出它的度数。分析：由图可知，所求的二面角的棱是 AB，两个面是面 VAB 和面 CAB。由已知可知这是一个正四面体，各个面是全等的正三角形，根据二面角的平面角的定义，我们可利用正三角形的性质来找出平面角，取 AB 边上的中点 D，连结 VD 和 CD。则VDC 是所求二面角的平面角。可设正三角形的边长为a，用解三解形的知识求出 VDCD ，在VDC 中，利用余弦定理可a23求得
12、cosVDC=1/3，VDCarccos1/3评注：在本题中主要是利用已知条件中的特殊条件和二面角平面角的定义来找出所要求的平面角。在求解时利用的是平面几何解三角形的知识。这也就是把立体图形的问题转化为平面几何的问题的数学思想。.例 2：在三棱锥 P-ABC 中， APB= BPC= CPA=600，求二面角 A-PB-C 的余弦值。ABCNMPQAA1BDCC1B1分析：所求二面角的棱是 PB，两个面为面 PBA 和面 PBC。用二面角的平面角的定义找出平面角，在二面角的棱 PB 上任取一点 Q，在半平面 PBA 和半平面 PBC上作 QM PB，QN PB，则由定义可得 MQN 即为二面角
13、的平面角。设 PM=a,则在 Rt PQM 和 Rt PQN 中可求得 QM=QN= a；又由 PQN PQM 得 PN=a,23故在正三角形 PMN 中 MN=a,在三角形 MQN 中由余弦定理得 cos MQN=1/3，即二面角的余弦值为 1/3。这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：1、如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，找出二面角 BACB 1的平面角并求出它的度数。2、 边长为 a 的菱形 ABCD ，ACB=60 0，现沿对角线 BD 将其折成才 600的二面角，则 A、C 之间的距离为 。 （菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于
14、另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长是 4，过 BC 的一个平面与 AA1交于 D，若AD=3，求二面角 D BC A 的正切值。总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解
15、三角形的知识去求解。（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。例 3：如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA平面 ABC，PA=AB，AC=BC=1，ACB=90 0，M 是 PB 的中点。(1)求证：BCPC ， (2)平面 MAC 与平面 ABC 所成的二面角的正切。分析：第 1 小题较简单。第 2 小题，观察图形中的线面位置关系，已知 PA平面 ABC，M 是 PB 的中点，若在PAB 中取 AB 的中点 N，则很快发现 MN平面ABC，作 KNAC，连 MK，则由三垂线定理可得 M
16、KAC，所以MKN 为所求的二面角的平面角。而求其正切值，在 RtMNK 中求出 MN 和 KN，而求 MN 和 KN，只需在PAB 和ABC 中就可求出，从而求出其正切值为 。2评注：本题用定义法较难以实现，但由图可找到二面角一个面的垂线。从而作棱的垂线，由三垂线定理证明是所要找的平面角。关键找到 MN 这条垂线。例 4：如图，已知ABC 中，ABBC，S 为平面 ABC 外的一点，SA平面ABC，AMSB 于 M，ANSC 于 N,(1)求证平面 SAB平面 SBC (2)求证ANM 是二面角 ASCB 的平面角.分析：由图和题意可得 BC平面 SAB，从而可得证平面 SAB平面 SBC，
17、而要证二面角 ASCB 的平面角是ANM，从已知条件 AMSB 于 M,由两个平面垂直的性质可得 AM平面 SBC，又有 ANSC，所以由三垂线逆定理可得 MNSC，从而证明了ANM 是二面角 ASCBC 的平面角.评注：本题提供了运用如何从一系列的垂直关系中来逐步找到二面角的一个面的垂线，再由三垂线的定理证明所要找的平面角。本题要特别注意的是这条垂线不是在水平上的，所以观察分析图时要注意多运用有关定理去判断。BAA1 B1CC1DD1CBMBAPNKABCMNSAl DCAlBCEBD本题可变形为：如图，已知ABC 中，ABBC，S 为平面 ABC 外的一点，SA平面ABC，ACB60 0，
18、SAACa，(1)求证平面 SAB平面 SBC (2)求二面角 ASCBC 的正弦值.解第 2 小题的第一步是按例 4 做出二面角的平面角，然后利用各个直角三角形求出 AN 和 AM 的长。总之，在运用三垂线找平面角时，找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理，按三垂线的条件，一垂线垂直二面角的一个面，还有垂直于棱的一条垂线。且两垂线相交，交点在二面角的面内。（3）垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与两二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角。这关键在找与二面角的棱垂直且与两二面角两半平面都有交线的平面。例 5：如图在三棱锥 SABC 中，SA底面 ABC，ABBC
19、，DE 垂直平分 SC且分别交 AC、SC 于 D、E，又 SAAB，SBBC，求二面角 EBDC 的度数。分析：由题意和图，可得 SC平面 BDE，则 SCDB，又 SA平面 ABC，则SADB，从而得 BD平面 SAC。所以 BDDC，BDDE，则DEC 是二面角的平面角。要求它的度数，可在 RtSAC 和DEC 中求，先求出SCA 的度数。设 SAa，在图的直角三角形中求出 SBBC a，AC a，23故得到SCA30 0，从而得到DEB60 0。评注：本题的垂直关系很多，如何利用好这些关系？这需解题的目标要明确才能运用好这些关系。从这些垂直关系很容易就判定 BD平面 SAC，而 BD
20、是二面角的的棱，所以平面 SAC 是二面角的垂面，由二面角的平面角的定义就找到了EDC 是所求二面角的平面角。它的应用例如：如图， ， 与 所成的角为 600， 于 C， 于BDAC, llB， AC3， BD4， CD2，求 A、 B 两点间的距离。由题意要应用二面角的度数，要找出它的平面角，可过 C 作 CEDB，且 CEDB，连 AE，则很容易得到 l面 ACE，ACE 是二面角的平面角，为了求 AB，连 BE，在ACE 中由余弦定理求出 AE，在RtAEB 中可求出 AB 的长。总之要会运用此法，对线线、线面、面面的垂直关系要有很好的判断能力，才能找到解的思路。（三）寻找无棱二面角的平
21、面角的方法和求解。无棱的二面角一般是只已知一个共点，但两个面的交线不知道。若要找出二面角的平面角，则需要根据公理 2 或公理 4 来找出二面角的棱，化为有棱二面角问题，再按有棱二面角的解法解题。这种主要有两类：一类是分别在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角（两条在同一平面内且不平行） 。那么延长这两条线有一交点，根据公理 2，这点在二面角的棱上，连公共点和这点就是二面角的棱；另一类是分别在两个面内有两条直线是平行的二面角。这由直线和平面平行的判定和性质定理知这直线和面平行，所以直线平行于二面角的两个面的交线。由公理 4，可知这两条直线平行于二面角的棱。所以过公共点作一条直线平行于这两
22、直线，那么所作的直线是二面角的棱。例 5：如图，ABC 在平面上的射影为正AB 1C1，若BB1= ，CC 1=AB1=1，求平面 ABC 与平面 AB1C1所成锐角二面角的2大小。ABCSDABCB1C1分析：所求的二面角只各一个公共点 A，观察图可知二面角的两个面内 BC 和 B1C1共面但不平行，所以若延长它们必交于一点 D，由公理 2 知，点 D 在二面角的棱上。所以连 AD 就找到棱。接着是找出二面角的平面角。由图形的性质知，C 1D=2B1C1=2，A 1C11，AC 1B60 0，用正弦定理或余弦定理都可求出C 1AD90 0，再由三垂线定理得CAC 1为二面角的平面角，然后在
23、RtCAC 1中可求得CAC 145 0。评注：本题是属于第一类的问题。延长两条直线交于一点从而得到棱，再用三垂线法找二面角的平面角。此题可变为：如图,在底面是直角梯形的立体图 S ABCD 中， ABC90 0， SA底面 ABCD，SAABBC1，AD0.5，求面 SCD 与面 SBA 所成二面角的平面角的正切值。由图可知二面角有一个公共点 S，但在两面中的 AB 和 CD 共面且不平行，所以延长交于点 E。再由题意证明 BC平面 SAB，SBSE，由三垂线定理可知BSC 是所求的二面角。在 RtSBC 中可求得正切值为 。2例 6：如图，在所给的空间图形中 ABCD 是正方形，PD面AB
24、CD，PDAD。求平面 PAD 和 PBC 所成的二面角的大小。分析：由图知二面角有一个公共点 P，在两面内的 AD 和 BC 是共面且平行，所以 AD平面 PBC，由直线和平面平行的性质知，过 AD 的平面 PAD与平面平面 PBC 的交线（即为二面角的棱）与 AD 平行，所以过 P 作PEAD，则 PE 为二面角的棱。由题意 PD面 ABCD，所以PDAD，PDPE，又可证得 CD平面 PAD，由三垂线定理可得CPD 为所求二面角的平面角。在 RtCPD 中可求得CPD45 0。评注：本题是属于第二类的问题。二面角有一个共点，在分别两面内的两条直线平行，则平行于棱。找出二面角的棱后，再用三
25、垂线法找二面角的平面角。例 7：如图，斜三棱柱 ABCA 1B1C1的棱长都是 a，侧棱与底面成 600角，侧面 BCC1B1面 ABC，求平面 AB1C1与底面 ABC 所成的二面角的大小。分析：此题 A 是二面角的一个公共点。又在两面的 BC 和 B1C1平行，故过点A 作 AEBC，则 AE 为二面角的棱。如何找平面角是本题的难点。因为各棱长都相等，所以侧面是菱形，底面是正三角形。又侧面 BCC1B1面 ABC，过C1作 C1DBC，由两平面垂直的性质得 C1D面 ABC，侧棱与底面成 600角，所以C 1CD60 0，由此可得 D 为 BC 的中点。连 AD 得 ADBC，从而 ADA
26、E，由三垂线定理得C 1AD 为二面角的平面角，在 RtC 1AD 中可求得C 1AD45 0。评注：本题除了要找棱外，用三垂线法找平面角时，关键在能分析已知条件的作用，来找垂线，和利用直线和平面所成的角来推算出点 D 为 BC 的中点，从而可用三垂线法找出平面角。总之，无棱的二面角按两类的方法找出棱，转化为有棱的二面角问题来解。从上面几个例题的分析和介绍的方法中，可以看出，二面角问题可以综合较多知识点，可以综合有关的平行、垂直的关系。用到的定理几乎是我们所学立几的知识。所以要有较扎实的基础知识才能够对付得了这类问题。在计算方面要用到解三角形的知识，要会在图中有关的三角形中求出所需的边或角，然后通常归结在一个三角形中去求出最后的结果。总的，解这类题，找平面角是关键的一步，要注意运用题中的条件分析图形，然后用有关的方法找出平面角，计算时要分析所要求的量是可由图中的哪些平面图形去逐步去求出。DA BCB1C1ABCDESCA BDEPAC D BA1.EC1.
