1、解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理【典型题剖析】考察点 1：利用正弦定理解三角形例 1 在 ABC 中，已知 A:B:C=1:2:3,求 a :b :c.A【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解：:1:23,A.,6 13:sin:sini:sni:2.632BCBCab而【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。例 2 在 ABC 中，已知 c= + ，C=30，求 a+b 的取值范围。2【点拨】 此题可先运用正弦定理将 a+b 表示为某个角
2、的三角函数，然后再求解。解：C=30，c= + ， 由正弦定理得：626,sinisini30abcABC a=2( + )sinA,b=2( + )sinB=2( + )sin（150-A ）.2226a+b=2( + )sinA+sin(150-A)= 2( + )2sin75cos(75-A)=cos(75-A)26 当 75-A=0，即 A=75时，a+b 取得最大值 =8+4 ；263 A=180-(C+B)=150-B,A150，0A150,-7575-A75，cos75cos(75-A)1， cos75= = + .2626426综合可得 a+b 的取值范围为( + ,8+4 3
3、考察点 2：利用正弦定理判断三角形形状例 3在ABC 中， tanB= tanA，判断三角形 ABC 的形状。a2b【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断ABC 的形状。解：由正弦定理变式 a=2RsinA,b=2RsinB 得：,22sinsinRiRicocoBAAsincosic,AB即 ， ，222AB或.或 为等腰三角形或直角三角形。ABC【解题策略】 “在ABC 中，由 得A=B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“A=B 或sin2iABA+B= ”的导出过程。2例 4在ABC 中，如果 ，并且 B 为锐角，试判断此三角形的形状。lglsinlg2ac
4、B【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断ABC 的形状。解： .lsinl2,siB又B 为锐角，B=45.由lglg,.2caca得由正弦定理，得 ,sinAC 代入上式得：18045,A2sini3cos1sinCi,cs0,945.AABC为 等 腰 直 角 三 角 形 。考察点 3：利用正弦定理证明三角恒等式例 5在ABC 中，求证 .2220coscoscosabaABCA【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将 转化为 .22abc， ，22sin,sinABC证明：由正弦定理的变式 得：a2sin,siRbB2224sin
5、si=coscoabRABAB2224s（ 1-） -()222(cos)4(cos)RBAA同理22(),cs4cos.obCBaRAC2=(sscos)0BAC左 边 右 边等 式 成 立 。【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。例 6在ABC 中，a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边，C=2B，求证 .2cba【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.证明： 180,180.ABCA2,.又 sin()si()sin,A2222 24n(i)(i)scoscsin24in()i()
6、4i.cbRCBCBRAab右 边等 式 成 立 .【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。 ,222. BABCC（ 1） ()sin)si,co()cos,tan()ta.AA(3)sis,si,t222cot.ABCBCB(4)sin2)sin2,co()cos2,tata.ABCABC考察点 4：求三角形的面积例 7在ABC 中，a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边，若 ,求ABC 的面积 S.252,cos4BaC【点拨】先利用三角公式求出 sinB,sinA 及边 c，再求面积。解：由题意 ，得25cosB23cos1,5BB 为锐角，4 72
7、in,iin()sin(),410AC由正弦定理得10,7c48sin2.257SaB【解题策略】在ABC 中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用，,i()sin,co()cos;in2ABACACABC cos.22例 8已知ABC 中 a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边，ABC 的外接圆半径为 12，且 , 求ABC 的面积 S 的最大3C值。【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。解：1sin2siins2ABCSabRABC233ico()c()R21cos().AB,当 即 时 ， 2max3()14083.4ABCSRA
8、【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。考察点 5：与正弦定理有关的综合问题例 9已知ABC 的内角 A,B 极其对边 a,b 满足 求内角 Ccott,abAB【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转化能力。解法 1：（R 为 ABC 的外接圆半径） ，cott,2siniababABAB且sin,1cos.c2s0ii2cos()in().o()(),csin.AB又 或又A,B 为三角形的内角，,2AB或2ABC当 时 ， ；当 时，由已知得cot1,.42C综上可知，内角 .2解法
9、2：由 及正弦定理得，cottabAB，sin=s，in从而icocosinsico,44B即sin()si().AB又0A+B，,4,.2ABC【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。例 10在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a,b,c,且 c=10, ，求 a,b 及ABC 的内切圆半径。cos43AbBa【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。解：coscosin,=,bABa由 可 得变形为 ini,i2siA又,2,2abABABC 是直角三角形。由 解得221043,ba6,8.ab61022cABC的 内
10、切 圆 半 径 为 r=【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。-易错疑难辨析易错点 利用正弦定理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。例 1（1） 在ABC 中， 23,60,;abAB求（2） 在ABC 中， 求【错解】（1） 由正弦定理得sinsi30si6,602BbBa（2） 由正弦定理得ii1i2,315A或【点拨】 （1）漏解，由 （0B180）可得 因为 ba,所以两解都存在。 （2）增解。3sin602B或由
11、（0B180）可得 ，因为 ba,根据三角形中大边对大角可知 BA,所以sin2015或不符合条件，应舍去。150【正解】（1）由正弦定理得sinsi3si6.2Aba又0B180（经检验都符合题意）602或（2）由正弦定理得sinsi601si2.3Bba又0B180 3015或ba,根据三角形中大边对大角可知 BA，不符合条件，应舍去， 。15030易错点 忽略三角形本身的隐含条件致错【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为 180等造成的错误。例 2在ABC 中，若 求 的取值范围。3,CBcb【错解】由正弦定理得 sinisin(2)=cbo2ciBB2css4o
12、s1.20o1c3,0cb【点拨】在上述解题过程中，得到了 后，忽略了三角形的内角和定理及隐含的 均为正角这一2=4os1B ,ABC条件。【正解】由正弦定理可知 sini3sin(2)=cCBbo2ci2css4os1.=180ABC， 3B0B45， 1.2cs1 3，故 1 3.24cosb-高考真题评析例 1（2010广东高考）已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 则1,3,2,abACBsin_C【命题立意】本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质，解题的关键是确定角 C 的值。【点拨】在ABC 中， 又 ，故 ，由正弦定理知 又 ab，因此,A
13、BC2AB3sin1i,2aAb从而可知 ，即 。故填 1.6BA2Csin1【名师点评】解三角形相关问题时，应灵活掌握边角关系，实现边角互化。例 2（2010北京高考）如图 1-9 所示，在ABC 中，若21,3,bcC则 _.a【命题立意】本题考查利用正弦定理解决三角形问题，同时要注意利用正弦定理得到的两解如何取舍。【点拨】由正弦定理得，311,sin.2i2sinBC 为钝角，B 必为锐角，.1.6Aab故填 1【名师点评】在 范围内，正弦值等于 的角有两个，因为角 C 为钝角，所以角 B 必为锐角，防止忽略角的范围而出现增解0,2A BC231 a图 1-9例 3（2010湖北高考）在
14、ABC 中， 则 等于（ ）15,0,6,abAcosB2.3A2.3B.3C.D【命题立意】本题考查正弦定理及同角三角函数基本关系式，解题的关键是确定角 B 的范围。【点拨】由正弦定理得 ， ，B 为锐角。310150sin62,si .sin6i5BAab60A，故选 D2236cosiB【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角 B 的范围，从而确定角 B 的余弦值。例 4（2010天津高考）在ABC 中，cos.ACB（1）求证 ；BC（2）若 ，求 的值。1cos3Asin43B【命题立意】本题主要考察正弦定理、两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基
15、础知识，同时考察基本运算能力。证明：（1）在ABC 中，由正弦定理及已知，得 。sincoBC于是 即sincosin0,BCsi0.因为 B-C ，从而 B-C=0，所以 B=C .解：（2）由 和（1）得 ，故A2AB1coss2cos3BA又 02B ，于是 从而 ，2.sin2cos3B4in4i9。所以227cos4i9B 273insico.318B【名师点评】 （1）证角相等，故由正弦定理化边为角。 （2）在（1）的基础上找角 A 与角 B 的函数关系，在求 2B 的正弦值时要先判断 2B 的取值范围。知能提升训练 学以致用1、在ABC 中，下列关系式中一定成立的是（ ）A B.
16、 =asinbasinbAC. D. 2、 （2011山东模拟）ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c， ，则 c 等于（ ）,3,1AabA.1 B.2 C. D.3133、 （2011广东模拟）在ABC 中， ，则 等于（ ）5,10,6absinBA B. 3C. D.6364、在ABC 中，若 ，则ABC 是（ ）coscosabABCA直角三角形 B.等边直角三角形C钝角三角形 D.等腰直角三角形5、在锐角ABC 中，若 C=2B，则 的范围是（ ）cbA B.0,22,C. D.3136、在ABC 中， ，则，满足此条件的三角形有（ ）,45abAA0 个 B.1 个
17、 C.2 个 D.无数个7、在ABC 中，若 A：B：C=3：4：5，则 ： ： 等于（ ）abcA3：4：5 B.2: :631C. 1: :2 D. : :228、 （2011浙江模拟）在ABC 中， 则此三角形的最大边长为（ ）135,5BCaA B. C. D.5345429、在ABC 中 则 。7,c_b10、 （2011山东模拟）在ABC 中角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c，若 ，则角 A 的2,sinco2abB大小为 。_11、在ABC 中已知 cm， cm， ，如果利用正弦定理解三角形有两解，那么 的取值范围是ax2b45 x。12、如图 1-10 所示，ACD 是等
18、边三角形，ABC 是等腰直角三角形， BD 交 AC 于 E，AB=2.90,ACB（1）求 的值；cosCBE（2）求 AE 的长。ABCDE图 1-1013、在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c，求证 。2sinABabcC14、在ABC 中， 求 及三角形的面积。2,tan3,t2,cABab15、已知方程 的两根之积等于两根之和，且 为ABC 的内角， 分别为 的2coss0xbAxaB,AB,ab,AB对边，判断ABC 的形状。16、在ABC 中，13tan,t.45AB（1）求角 C 的大小；（2）若ABC 的最大边长为 ，求最小边的长。171.1.2 余弦定理典
19、型题剖析考察点 1： 利用余弦定理解三角形例 1：已知ABC 中， 求 A，C 和 。3,30,bcBa【点拨】解答本题可先由余弦定理列出关于边长 的方程，首先求出边长 ，再由再由正弦定理求角 A，角 C，也可a以先由正弦定理求出角 C，然后再求其他的边和角。解法 1：由正弦定理 得 ，22cos,baB2233cos0a解得 或 6.当 时，2980,a 0,1AC当 时，由正弦定理得616sin2i ,3aAb9,60.解法 2：由 ， ，知本题有两解。bc30,Bb1sin302c由正弦定理得 ，i3siC或 ，6012当 时， ，由勾股定理得：9A22236abc当 时， ，ABC 为
20、等腰三角形， 。10C 3a【解题策略】比较两种解法，从中体会各自的优点，从而探索出适合自己思维的解题规律和方法。三角形中已知两边和一角，有两种解法。方法一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系列出方程，利用解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻烦。方法二直接运用正弦定理，先求角再求边。例 2：ABC 中，已知 ，求 A，B，C26,3,4abc【点拨】解答本题可由余弦定理求出角的余弦值，进而求得各角的值。解法 1：由余弦定理得： 222226346cos 3bcaA364184。723248因为 所以 。0,1A0A22222634cosabcC43614822因为 所以0,C5C
21、因为 所以18,AB18043105B解法 2：由解法 1 知 ，sin2由正弦定理得，143sin2i .6cACa因为 ，所以 BC，bc所以角 C 应该是锐角，因此 。45又因为 所以180,A1803105【解题策略】已知三角形三边求角，可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止增解或漏解。考察点 2： 利用余弦定理判断三角形的形状例 3：在ABC 中，已知 且 ，试判断ABC 的形状。3,abcab2cosinsiABC【点拨】本题主要考察利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状，从问题的已知条出发，找到三角形边角之间的关系，然后判断三角
22、形的形状。解法 1：（角化边）由正弦定理得 ，sinCcBb由 ，得 。2cosisiAsino2CcABb又由余弦定理的推论得 。cac即 。22,cba22,bb又 3.c23,ac243,.cbc为等边三角形。,abcABC解法 2：（边化角） 180,sini.AB又 ，cosiAB2ncossin,Ai0.又A 与 B 均为 的内角，A=B.C又由 ，得 ，3abcab23cab，即 由余弦定理得 ，2222,1cos2C而 0C180， 60.又 为等边三角形。,AB【解题策略】已知三角形关系中的边角关系式判断三角形的形状，有两条思考路线：一是化边为角，求出三个角之间的关系式；二是
23、化角为边，求出三条边之间的关系式，种转化主要应用正弦定理和余弦定理。例 4：已知钝角三角形 ABC 的三边 求 k 的取值范围。,2,4,akbc【点拨】由题意知ABC 为钝角三角形，按三角形中大边对大角的原则，结合 a,b,c 的大小关系，故必有 C 角最大且为钝角，于是可有余弦定力理求出 k 的取值范围。解： 0， ，22cos,cabC当 为 钝 角 时 ， 2cosabC2ab2c ，解得 -2k6.而 k+k+2k+4，k2.故 2k6.故 k 的取值范围是k4k 2,6.【解题策略】应用三角形三边关系时，应注意大边对大角。考察点 3：利用余弦定理证明三角形中的等式问题例 5在中，a
24、,b,c 分别是角 A，B，C 的对边，（1）求证 cos;abc（2）求证221cos.CAaabc【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与二倍角公式的综合应用。证明：（1）左边222cabcAA222acbc右边，故原式成立。2c（2）左边1cos1cos22aCA2bbaac22221c右边，故原式成立。ab【解题策略】 （1）小题利用余弦定理将角化为边。 （2）小题先降幂，然后利用余弦定理将角化为边。例 6在 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c。A（1）求证2sin;abc（2）求证oisA【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与两角和差正弦公式的综合应用证明：（1）由 得； 。22
25、cos,abA22cos12cosabAbc又sin,bBcC2sinsin2icos1coabCBAAcsiniiini siABCsin.ABC故原式成立。（2）左边2222acbacbab右边。2sinacBaAb故原式成立。考察点 4：正余弦定理的综合应用例 7：在 中，已知ABC31,0,baC求 .AB【点拨】本题主要考察正、余弦定理的综合应用。解：22, coscb223311a2243a3.aa0,c0, 2,23.cc由正弦定理得sin,CaA1si23162in ,423或 .75A0由 知 ab,1b若 则 与已知矛盾。,875,BACab054.A【解题策略】本题边未知
26、，已知一角，所以考虑使用余弦定理得 a，c 的关系，再结合正弦定理求 注意特殊角的sin.A三角函数值，如：6262sin75,sin15.44例 8：设 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知A223,bcabc（1）求 A 的大小；（2）求 的值。sincosi【点拨】本题考察余弦定理，和角、差角的正弦公式的综合应用。解：（1）由余弦定理 得22cos,abA223,bcabc所以.6A（2） sincosiBCcosinBCsicsini。1n2A例 9：设 得到内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos3,in4.BbA（1）求边长 a；（2）若 的面积 S=1
27、0，求 的周长 。l【点拨】本题考察正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同脚三角函数关系式的综合应用。解：（1）已知 cos3,in4.aBbA将两式相除，有coscost.4iiinaBbB又由 知 0 ，cos3aBs则 ，则,in55.a（2）由 得1si0,SacB.c由 得 。223cos,5bc故 。10l【解题策略】把已知两个关系式相除是本题的难点，也是解决此题的关键，相除之后出现 ，使用正弦定理使问sinaA题得到顺利解决。易错疑难解析易错点 利用余弦定理判断三角形的形状时出现漏解情况【易错点辨析】在等式两边同时约去一个因式时，需要十分小心，当该因式恒正或恒负时可以约去，一定要
28、避免约去可能为零的因式而导致漏解。例 1：在 中，已知 试判断 的形状。ABCcos,aAbBAC【错解】由余弦定理得： 222,bcaac2222,cabc22424,b2ac22.故 为直角三角形。ABC【点拨】利用余弦定理把已知等式中角的形式转化为边的形式，其思路是正确的，但是在等式变形中约去了可能为零的因式 ，产生了漏解的情况，导致结论错误。2ab【正解】由余弦定理得： 222,ccbaba2222,cabc222, 0,或 。ac 为等腰三角形或直角三角形。ABC易错点 易忽略题中的隐含条件而导致错误【易错点辨析】我们在解题时要善于应用题目中的条件，特别是隐含条件，全面、细致地分析问
29、题，如下列题中的ba 就是一个重要条件。例 2：在 中，已知 求 。ABC2,15,abCA【错解】由余弦定理，得 22coscab62482843,62.c由正弦定理，得 又 0A180， 或 .sin1i.2aCAc3015【点拨】注意到已知条件中 这一隐含条件，则 ，显然 是不可能的。baBA0【正解】由余弦定理，得 22coscbC8462.c又由正弦定理，得 ba，BA.又 0A180，sin1i.A 30高考真题评析例 1：（2011.山东模拟）在 中，D 为 BC 边上一点， 若 则ABC3,2,135,BCDB2,ACB_.BD【命题立意】本题主要考察余弦定理与方程组的应用。【
30、点拨】如图 1-13 所示，设 则 再设 则 在 中，由余弦定理得,k2,k,x2,xABD。在 中，由余弦定理得2 22kxxADC。由得 解得2 244,x21kx2410,x（负值舍去） ，故填 。5x5【名师点评】根据题意画出示意图由 CD=2BD,AC= AB,设出未知量，在两个三角形中分别利用余弦定理，然后联立2方程组求解。 AB CD图 1-13例 2：（2010.天津高考）在 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 则 A 等A23,sin23si,bcCB于（ ）A30 B.60 C.120 D.150【命题立意】本题考察正、余弦定理的综合应用，考察分析问题、解决
31、问题的能力。【点拨】由 根据正弦定理得 代入 得 即 ，由余sin23si,C23,cb23,abc226,ab27,a弦定理得又 0A180， 故选 A22221763cos ,34bcabbA 30.【名师点评】应用正弦定理把已知条件中 转化成边 b，c 的关系，再代入已知得 a，b 的关系，利sinsi,CB用余弦定理变形形式求角的余弦值。例 3：（2010.北京高考）某班设计了一个八边形的班徽（如图 1-14 所示） ，它由腰长为 1，顶角为 a 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）A.2sincos2aB. 3C. sics1D. 2noa【命题立意】
32、本题考察了用余弦定理理解三角形以及三角形面积公式和图形的分割求和等知识。【点拨】三角形的底边长为 12cos2cos,xaa44sinSSx正 方 形三 角 形 iin2cosa故选 A。【名师点评】此题难度较低，该八边形由 4 个等腰三角形和一个正方形组合而成，应用余弦定理求正方形的边长是关键。例 4：（2010.安徽高考）设 是锐角三角形，a，b，c 分别是内角 A，B，C 所对边长，且ABC。2 2sinisinsin3A（1）求角 A 的值；（2）若 ，求 b，c（其中 bc）12,7BCa【命题立意】本题考察两角和的正弦公式，同脚三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，余弦定理，向量
33、的数量积等知识。解：（1）因为 2 23131sincosincosinsi2ABBB2ii,44所以 。又 A 为锐角，所以3sin.3（2）由 得 由（1）知 所以 cb=24.12,BCcos2.b.A由余弦定理知 将 及代入，得 ，.a7a25cb+2，得 ，所以 。210,cb10cb因此 c，b 是一元二次方程 的两个根，解此方程并由 bc 知 c=6，b=4.24t【名师点评】 （1）题三角形的六个元素均未知，只能从已知条件出发，把方程右边关系式进行化简整理，得（ 2）题考察了构造方程求跟的能力。 23sin.4A例 5：（陕西高考）如图 1-15 所示，在 中，已知 B=45，
34、D 是 BC 边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，求 AB 的长。ABC【命题立意】本题主要考察利用正弦定理和余弦定理解三角形，同时考察运算求解能力。解：在 中，AD=10，AC=14，DC=6，ADC由余弦定理得 22103691cos 2ADC在 中，120,60.B,45,60,ABAD由正弦定理得,sinsiAD310iin6256.ss45BABABCD图 1-15【名师点评】已知 的三边，则由余弦定理先求 的余弦值，再求角，即可求的补角 ，在AADCADB中，已知两角一边用正弦定理求解即可。ABD例 6：（2010.江苏高考）在锐角 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b
35、，c，若A6cos,aCb求 的值。tantCAB【命题立意】本题考察三角函数的化简及正、余弦定理的综合应用。解：由 得6cos,baC 2 226cos32cos3baCababc化简整理得 将 切化弦，得223.tntABsisincosiinconCABC 2sinisin.coscoCCABAB根据正、余弦定理得22isabA 2243ab所以tant4CAB【名师点评】整理通式的常用方法是通分，出现 ， 这样的形式时应考虑向余弦定理靠拢。2abcosC知能提升训练 学以致用1、 （2011.山东模拟） 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c， 则 c 等于（ ）A,7,13Aa
36、bA B.3 C. D.231232、如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么他的顶角的余弦值为（ ）A B. C. D.5184783、在不等边三角形 中， a 为最大边，且 ，则 A 的取值范围是（ ）ABC2a2bcA B.,2,42C D.,30,4、在 中， 则 的形状为 （ ）AB2cos,bcABCA直角三角形B等腰三角形或直角三角形C正三角形D等腰直角三角形5、在 中，下列结论；A若 ，则 为钝角三角形2a2bcABC若 = ，则 A=60若 ，则 为锐角三角形2ab2cABC若 A:B:C=1:2:3,则 a：b：c=1:2:3其中正确的个数是 （ ）A1 B.2 C.3
37、 D.46、 （2011.广东模拟）在 中， 分别是角 A，B，C 所对的边，已知 则角 A 等于ABC3,6abC_7、 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c 设向量 p ， ，若 p q，则 C 的A ,acb,c大小为8、在锐角三角形 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a,b,c，已知 。1os3A（1）求 的值22tansiB（2）若 ，求 的值,ABCSb9、 （2011.山东模拟）设 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a,b,c，且A 23coscs.bAaC（1）求角 A 的大小；（2）若角 BC 边上的中线 AM 的长为 ，求 的面积,6B710、在 中，角
38、A，B，C 所对的边分别是 a,b,c 且Acos.2BbCac（1）求角 B 的大小；（2）若 求 的面积。3,4,bac11、在 中， ： ： ： ： ，求 的三个内角。ABCsiniBsinC231ABC12、在 试判断 的形状。22sinsin,abABabABCA13、已知三角形的一个内角为 60，面积为 ，周长为 ，求此三角形的各边长。1032cm0c14、 （2011.济宁模拟）在 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a,b,c ，已知A23,cos4baB（1）求 的值；1tntAC（2）设 求 的值3,2Bac15、如图 1-18 所示，半圆 的直径长为 2，A 为直径延长
39、线上一点， ，B 为半圆周上一个动点，以 AB 为边，O2OA向圆外作等边三角形 ，则 B 点在什么位置时，四边形 的面积最大？并求出这个最大面积。ACC图 1-181.2 应用举例典型题剖析考察点 1：测量距离问题例 1：某人在塔的正东沿着南偏西 60的方向前进 40 米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为 30求塔高。【点拨】依题意画图，如图 1-23 所示，某人在 C 处，AB 为塔高，他沿 CD 前进，CD=40 米，此时DBF=45，从 C 到D 测塔的仰角，只有 B 到 CD 最短时，仰角才对大，这是因为 AB 为定值，要求出塔 AB。必须先求出tan,ABEBE，而要
40、求 BE 需先求 BD（或 BC） 。解：如图 1-23 所示当 时，测的塔的最大仰角为 30，即 ，在 BDC 中，CD=40，BCD=30，ECD30DBC=135。由正弦定理得,sinsiB4032.i158015,BDE在 中，Rt62sin2103.4B在 中， ，tAE30tanAE故所求的塔高为 米。1【解题策略】 （1）依据提议画图是解决三角形应用题的关键。本例中，既有方位角（它是在水平面上所成的角） ，又有仰角（它是在铅锤面上的角） ，因而本例的图形是一个立体图形，因此在画图时，要注意运用空间想象力进行画图。（2）由本例可知，方位角是相对于某地而言，因此在确定方位角时，必须先
41、弄清是哪一点的方位角，从这个意义上来说，方位角是一个动态角，在理解题意时要把它看活，否则可能产生偏差。图 1-23例 2如图 1-24 是曲柄连杆装示意图，连杆 AC=l，曲柄 AB=r，曲柄 AB 和曲轴 BL 所成的角为 （1）求连杆 AC 和曲轴 BL 间的夹角 的正弦 （2）当 取什么值时， 最大？（3）已知 BD=a，求滑块 C 的位移 x图 1-24【点拨】首先应分清楚条件中的量，谁是变化的谁是固定不变的，变化的又是怎样变化的，BD 固定，C 点在线段 BD上移动，AB,AC 的长度不变，A 点在以 B 为圆心，AB 为半径的圆上移动。解：（1）在 中BC,.rACl根据正弦定理得
42、，sin,i.sinirll（2）根据题意知 为锐角， 最大时， 最大。s当 ，即 时， 最大。sin12（3）根据正弦定理 得,siniBClAsicossin.illlBCinsi,rl222is1ilr22 22sncoi sincosirlrlBClrrl位移22sincos.xBDCalrr【解题策略】在理解曲柄连杆的工作原理之后，解此题应该不是很困难，在解（3）题时，应注意 不是已知量，应用 r,l 及 来表示，否则很容易写成 要引起重视。sins,lBCl考查点 2 测量高度问题例 3地面上有一旗杆 OP，为了测量它的高度 h，在地面上选一基线 AB，AB=20m，在 A 点测得
43、 P 点的仰角OAP=30，在 B点测得 P 点的仰角OBP=45，又测得AOB=60，则旗杆 PO 的高度 h 为多少（精确到 0.1m）解：在 中，RtAO3tan0在 中，tPBt45h在 中，由余弦定理，得 ，A22033cos60hh解得2013.4hm【解题策略】在解三角形问题时，一定要选择合适的三角形，这样可以简化计算过程。图 1-25例 4：如图 1-26 所示，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 ，沿倾斜角为 的斜坡向上走 a 米到 B，又测得山顶 P 的仰角为 ，求山高。【点拨】由图形知山高为 PQ，只要已知 PA，就可通过解 求得，而 AP，可由正弦定理求出。RtAPQ解
44、：在ABP 中， 3609018.ABP由正弦定理可得,APBa,sinsiABPsin180siniam故山高 PQ 为isam【解题策略】解决本题的关键是利用平面几何知识求出 和 。APB图 1-26例 5：如图 1-27 所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 5440，在塔底 C 处测得 A 处的俯角 501。已知铁塔 BC 部分的高为 27.3m，求出山高 CD(精确到 1m)【点拨】根据已知条件，应该设法计算出 AB 或 AC 的长解：在ABC 中，BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根据正弦定理，得CD=BD-BC177-27.3=150(m) 答：山的高度约为 150 米。【解题策略】本题的关键是把握俯角的概念，明
