1、数学建模讲义 第1章 数学建模简介,主讲人 齐洁 东华大学信息学院自动化系,联系方式,Tel: 021-67792312-8040 Email: Office:信息学院（学院楼2号楼）216,考核方式,平时成绩作业，考勤10% 上机实践实验报告20% 考试70%,本课程是学习数学和应用数学之间的桥梁。最能体现学以致用的精神。数学建模没有固定的方法，但有经验和规律可循。靠的是多思考、多动手、多实践才能掌握这些经验和规律。 本课程介绍数学建模相关的知识，起一个抛砖引玉的作用，告诉大家一种学习的方法，课程结束并不代表学习结束，而是进一步深入学习的开始。,模型的构建,给定一种现实情景，学习识别问题，做
2、出假设和收集数据，提出问题 提出模型、测试假设、必要时精炼模型、在情况适宜时看看模型是否与数据一致。 分析模型的基本数学结构，评价当模型不精确时，假设对结论的敏感性。 学会使用早已创建或早已知晓的模型和知识。,数学建模,模型是原型的替代物，集中反映了原型中人们需要的那一部分特征从解决特定问题的需要出发。 数学模型对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 数学建模就是构造数学模型的过程。表述问题、建立模型、求解、解释、检验,涉及的数学知识,线性代数，数学规划（最优化与线性规划） 微分方程，数值分析，概率论和统计学，图论等,计
3、算机技术,Matlab：功能强大的数学软件，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。 Lingo：数学规划,示例1 椅子能在不平的地面上放稳吗,数学建模示例,不平地面的含义 什么样的椅子 如何解释放稳,思考,模型假设,四条腿一样长，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,四只椅脚与地面点接触。放稳就是椅脚与地面零距离,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,示例1 椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析：,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地。,数学建模示例,建立模型：,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表
4、示出来,椅子位置,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四个距离(四只脚),两个距离,正方形ABCD 绕O点旋转,A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f() , g()是连续函数,对任意, f(), g()至少一个为0，即 f() g() =0。设初始状态 g(0)=0,数学问题：,已知： f() , g()是连续函数 ;对任意， f() g()=0 ;且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,四只脚着地,椅脚与地面距离为
5、零 f() g()0,连续函数的性质,h(x)在闭区间a, b上连续，且h(a)h(b)0，则存在一点 使得h(c)=0。,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,构造函数h()= f()g() 初始 =0时，g(0)=0， f(0) 0 ， h(0)0 将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。即 = /2时， f(/2)= g(0)= 0 , g(/2)=f(0)0，所以h(/2)0。 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,结论：可以放稳,评注和
6、思考,建模的关键连续性的假设对问题的数学描述 放稳的数学定义 和 f(), g()的定义 ？考察四脚呈长方形的椅子,技巧型的建模,建模示例2-人口增长模型,给出美国人口从1790年到1990年间的人口如表1（每10年为一个间隔），请估计出美国2010年的人口。,模型分析,通过直观观察和规律分析得到人口随时间的变化规律（即某种类型的函数），再用曲线拟合的方法确定其中的未知参数。,指数增长模型 马尔萨斯提出 (1798),设x(t) 时刻t的人口,基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数,单位时间人口增量为：rx(t),参数估计,根据最小二乘法, r是以下函数的最小值:,其中xi是ti时刻美国
7、的人口数。,然后再代回函数计算新的时间t所对应的人口数：,结果分析,1810-1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大 人口将以指数规律无限增长,没考虑饱和性,人口增长速率随总人数变化的曲线,阻滞增长模型（Logistic模型）,随着人口的增加，人口增长率会降低，可假设为人口数的减函数,人口数量最终会饱和，趋于某一个常数,当 时，增长率应为0，即,r=0.5, xm=500百万（50亿） 取xm/2的时候，增长率最大,增长速率曲线,x,dx/dt,模型求解,解微分方程得到：,参数估计与结果分析,同样用最小二乘法可估计参数得到：r=0.2083, xm=457.
8、6 x(2010)=297.9 结果如右图，对数据拟合得很好。,模型拟合解释性模型利用一些假设选择一个特定的模型类型(基函数)，以解释观测值所反映的状况。如果收集到的数据证实了这些假定的合理性，剩下的任务就是为所选定的曲线选取参数。 选取参数的准则 最小二乘准则 极小化最大绝对偏差 极小化绝对偏差之和,给定数据预测趋势的问题,评述与总结,给定数据预测趋势的问题,评述与总结,实验建模经验模型 不是基于假设选择一个模型，而是要搜寻一条曲线，追踪数据倾向，在数据点间做出预测。 方法：插值法，得到一条通过观测点的光滑曲线（多项式函数表示） 给定(n+1)个不同的数据点，存在唯一的一个最高阶为n的多项式
9、通过全部数据点。,给定数据预测趋势的问题,评述与总结,示例3: 席位分配问题,某校有200名学生，甲系100名，乙系60名， 丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各 有多少个席位？,按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则,表示某单位的席位数,表示某单位的人数,表示总人数,表示总席位数,1.1 问题的提出,20个席位的分配结果,现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。,10,6,4,10,6,4,惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。,避免在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。,21个席位的分配结果,11,7,3,现象： 总席位增
10、加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）,惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额 按惯例分给小数部分较大者。 存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？,1.2 建模分析,目标：建立公平的分配方案。 反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。,一般地，,当,席位分配公平,但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。,此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。,C,D的不公平程度大为改善！,2） 相对不公平,表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值 越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。,则A吃亏,或对A 是不公平的。,定义“相对不公平”,对
11、A 的相对不公 平值；,对B 的相对不公平值；,建立了衡量分配不公平程度的数量指标,制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。,1.3 建模,若A、B两方已占有席位数为,用相对不公平值,讨论当席位增加1 个时，应该给A 还是B 方。,不失一般性，,有下面三种情形。,同理，可定义对B 的相对不公平值为：,情形1,说明即使给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。,情形2,说明当对A 不公平时，给A 单 位增加1席，对B 又不公平。,计算对B 的相对不公平值,情形3,说明当对A 不公平时，给B 单 位增加1席，对A 不公平。,计算对A 的相对不公平值,则这一席位给A 单位，否则
12、给B 单位。,结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位， 反之，应分配给 B 单位。,记,则增加的一个席位应分配给Q值 较大的一方。,这样的分配席位的方法称为Q值方法。,若A、B两方已占有席位数为,1.4 推广 有m 方分配席位的情况,设,方人数为,，已占有,个席位，,当总席位增加1 席时，计算,则1 席应分给Q值最大的一方。,1.5 举例,甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位，如何分配？,按Q值方法：,先按照比例计算结果，将整数部分的19席分配完毕，有n1=10, n2=6, n3=3,第20席，计算,第21席，计算,第20席分给甲,第21席分给丙,甲：11，乙
13、：6，丙：4,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律， 所建立的模型常有明确的物理或现实意义。,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的数学表达,二者结合,用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数,数学建模的一般过程,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个比较 清晰的问题,1、需要解决什么问题,2、假设与简化：,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,数学建模的一般过程,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,能用简单的方法解决的问
14、题就不要用复杂的方法解决,3、建立模型：,4、求解模型：,各种数学方法、软件、计算机技术,数学建模的一般过程,5、模型的检验与评价：,如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析,与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性,数学建模的一般过程,6、模型的改进：,现实世界,形成问题,模型应用,简化问题,归结模型,模型评价,模型检验,通过评价的结果，进一步改进模型,模型求解,符合实际,不符合实际,交付使用，从而可产生经济、社会效益,实际问题,抽象、简化、假设确定变量、参数,建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数,用实际问题的实测数据等来检验该数学模型,建模过程示意图, 数学建模与其
15、说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，参加课题实践。,如何学习数学建模,数学建模竞赛,东华大学生数模竞赛 全国大学生数模竞赛 美国数学建模竞赛,全国大学生数学建模竞赛,时间：每年9月中下旬。 内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化而成，没有标准答案。 对象：全国本专科学生，专业不限，分甲乙组 形式：3人一组，三天三夜，自由完成 目的：培养学生独立进行研究的能力，运用数学和计算机的能力，团结合作精神和进行协调的组织能力等。,参赛人数走势图,全国高校规模最大的课外科技活动,全国
16、数模竞赛所涉及的方法,93A 非线性交调的频率设计（拟合、规划） 93B 足球队排名次 （矩阵论、图论、层次分、整数规划） 94A 逢山开路 （图论、插值、动态规划） 94B 锁具装箱问题 （图论、组合数学） 95A 飞行管理问题 （非线性规划、线性规划） 95B 天车与冶炼炉的作业调度 （非线性规划、动态规划、层次分析法、PETRI方法、图论方法、排队论方法） 96A 最优捕鱼策略 （微分方程、优化） 96B 节水洗衣机 （非线性规划） 97A 零件的参数设计 （非线性规划）,97B 截断切割的最优排列 （动态规划、图论模型、随机模拟） 98A 一类投资组合问题 （多目标优化、模糊线性规划、
17、非线性规划） 98B 灾情巡视的最佳路线 （图论、组合优化、线性规划） 99A 自动化车床管理 （随机优化、计算机模拟） 99B 钻井布局 （0-1规划、非线性规划、图论方法） 00A DNA序列分类 （欧氏距离、马氏距离分类法、Fischer判别模型、神经网络方法） 00B 钢管订购和运输 （离散优化、运输问题） 01A 血管三维重建 （曲面重建、曲线拟合） 01B 公交车调度问题 （多目标规划） 02A 车灯线光源的优化 （非线性规划） 02B 彩票问题 （单目标决策、多目标决策）,05A长江水质的评价和预测 (数据处理、拟合、预测、规划） 05B DVD在线租赁 （图论、规划） 06A
18、出版社的资源配置 （预测、模糊综合评判、优化） 06B艾滋病疗法的评价及疗效的预测 （数据拟合、预测、综合处理） 07A中国人口增长预测(数据处理、拟合、预测） 07B乘公交，看奥运（优化，图论）,08A 数码相机定位 (图像处理、模式识别） 08B 高等教育学费标准探讨（优化，评判） 09A 制动器试验台的控制方法分析（控制，优化） 09B 眼科病床的合理安排 （排队论，随机模拟，优化） 10A 储油罐的变位识别与罐容表标定 (微元法，积分模型，微分方程） 10B 2010年上海世博会影响力的定量评估（回归分析，排队论，优化）,数学模型(第三版) 姜启源等,高等教育出版社,2003年,第一章 建立数学模型 第二章 初等模型 第三章 简单的优化模型 第四章 数学规划模型 第五章 微分方程模型 第六章 稳定性模型 第七章 差分方程模型 第八章 离散模型 第九章 概率模型 第十章 统计回归模型,A First Course in Mathematical Modeling (Forth Edition)数学建模（原书第四版） 机械工业出版社，华章数学译丛,竞赛优秀论文, (2001年前) (2001年起) http:/ CUMCM网站: http:/,
