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解三角形的必备知识和典型例题及习题.doc

上传人:weiwoduzun 文档编号:5689623 上传时间:2019-03-12 格式:DOC 页数:5 大小:212.54KB
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资源描述

1、解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备:1直角三角形中各元素间的关系:在 ABC 中, C90, AB c, AC b, BC a。(1)三边之间的关系: a2 b2 c2。 (勾股定理)(2)锐角之间的关系: A B90;(3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义)sinAcos B ,cos Asin B ,tan A 。cacba2斜三角形中各元素间的关系:在 ABC 中, A、 B、 C 为其内角, a、 b、 c 分别表示 A、 B、 C 的对边。(1)三角形内角和: A B C 。(2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等( R 为外接圆半径)cbAa2si

2、nisin(3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2 b2 c22 bccosA; b2 c2 a22 cacosB; c2 a2 b22 abcosC。3三角形的面积公式:(1) aha bhb chc( ha、 hb、 hc分别表示 a、 b、 c 上的高) ;S1(2) absinC bcsinA acsinB;214解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型:

3、(1)两类正弦定理解三角形的问题:第 1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角.(2)两类余弦定理解三角形的问题:第 1、已知三边求三角.第 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.5三角形中的三角变换三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。(1)角的变换因为在ABC 中,A+B+C=,所以 sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=cosC;tan(A+B)=tanC。;2sinco,2ssinCBACBA(2)判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.6求解三角

4、形应用题的一般步骤:(1)分析:分析题意,弄清已知和所求;(2)建模:将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图;(3)求解:正确运用正、余弦定理求解;(4)检验:检验上述所求是否符合实际意义。二、典例解析题型 1:正、余弦定理题型 2:三角形面积例 2在 中, , , ,求 的值和 的面积。ABCsincoA2C3ABtanABC点评:本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,着重数学考查运算能力,是一道三角的基础试题。两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简单呢?题型 3:三角形中的三角恒等变换问题例 3在 ABC 中, a、 b、 c 分别是 A、 B、 C 的对

5、边长,已知 a、 b、 c 成等比数列,且a2 c2=ac bc,求 A 的大小及 的值。sin分析:因给出的是 a、 b、 c 之间的等量关系,要求 A,需找 A 与三边的关系,故可用余弦定理。由 b2=ac 可变形为 =a,再用正弦定理可求 的值。2 cBbsin解法一: a、 b、 c 成等比数列, b2=ac。又 a2 c2=ac bc, b2+c2 a2=bc。在 ABC 中,由余弦定理得:cos A= = = ,bca2c1 A=60。在 ABC 中,由正弦定理得 sinB= , b2=ac,asin A=60, =sin60= 。acbcB60sinsi223解法二:在 ABC

6、中,由面积公式得 bcsinA= acsinB。21 b2=ac, A=60, bcsinA=b2sinB。 =sinA= 。cBsin3评述:解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用正弦定理。题型 4:正、余弦定理判断三角形形状例 4在 ABC 中,若 2cosBsinAsinC,则 ABC 的形状一定是( )A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形答案:C解析:2sin AcosBsin C =sin( A B)=sinAcosB+cosAsinBsin( A B)0, A B另解:角化边点评:本题考查了三角形的基本性质,要求通过观察、

7、分析、判断明确解题思路和变形方向,通畅解题途径题型 5:三角形中求值问题例 5 的三个内角为 ,求当 A 为何值时, 取得最大值,并求出ABCABC、 、 cos2BCA这个最大值。解析:由 A+B+C=,得 = ,所以有 cos =sin 。B+C2 2 A2 B+C2 A2cosA+2cos =cosA+2sin =12sin 2 + 2sin =2(sin )2+ ;B+C2 A2 A A2 A2 12 32当 sin = ,即 A= 时, cosA+2cos 取得最大值为 。A2 12 3 B+C2 32点评:运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式,通过三角函数

8、的性质求得结果。题型 6:正余弦定理的实际应用三、思维总结1解斜三角形的常规思维方法是:(1)已知两角和一边(如 A、 B、 C) ,由 A+B+C = 求 C,由正弦定理求 a、 b;(2)已知两边和夹角(如 a、 b、 c) ,应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用 A+B+C = ,求另一角;(3)已知两边和其中一边的对角(如 a、 b、 A) ,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况;(4)已知三边 a、 b、 c,应余弦定理求 A、 B,再由 A+B+C = ,求角 C。2三角学中的射影定理

9、:在ABC 中, ,caboss3两内角与其正弦值:在ABC 中, ,ini4解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解” 。正余弦定理应用一、正弦已知ABC 中,a ,b ,B 60,那么角 A 等于_2 3已知ABC 中,ax,b2,B45,若该三角形有两个解,则 x 的取值范围是_在 AC中,a=15,b=10,A=60,则 cos=_ABC 的三内角 A、B 、C 的对边边长分别为 a、b、c.若 a b,A2B,则 cosB_52在ABC 中,角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、c.若( bc)cos AacosC,则 c

10、osA_3在锐角ABC 中,a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,且 B2A,则 的取值范围是_ba二、余弦已知 AB中, 60,3,4,则 在 C中,A、B、C 所对的边分别是 a、 b、 c,已知 22abcab,则 C若 的三个内角满足 sin:si5:13ABC,则 AB是_若ABC 的内角 A、B 、C 所对的边 a、b、c 满足(ab) 2c 24,且 C60,则 ab 的值为_在ABC 中,角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c,若(a 2c 2b 2)tanB ac,则角 B 的值为_3在ABC 中,sin 2Asin 2Bsin 2CsinBsinC,则 A 的取

11、值范围是_在ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 sin()sin(2)sin.acbC()求 A 的大小;()若 sini1,试判断 的形状.(3)求 i的最大值.三、综合在 ABC中,角 ,的对边分别为 ,abc,若 ,成等差数列, 03B, AC的面积为 32,则b在ABC 中,内角 A,B ,C 的对边分别是 a,b,c.若 a2b 2 bc,sinC 2 sinB,则 A_3 3在 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若角 A、B、C 依次成等差数列,且1,3,aS则=_在ABC 中,内角 A、B 、C 对边的边长分别是 a、b、c. 已知

12、 c2,C .3(1)若ABC 的面积等于 ,求 a、b 的值;(2)若 sinCsin(BA) 2sin2 A,求ABC 的面积3在 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 、 、 ,已知 2ab,且sincosin,求 b判断三角形形状在ABC 中,已知 sinC=2sinAcosB,那么ABC 一定是_在ABC 中,若 9,10,5,abc则ABC 的形状是_若 ABC的三个内角满足 sin:si:13ABC,则 ABC是_已知ABC 的内角 A、B 及其对边 a,b 满足 abacotAbcotB,求内角 C四、实际应用在ABC 中,已知 B=45,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.

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