1、 OCBA圆的解题方法归纳1 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：利用垂径定理；利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。1、AB 是的直径， CD 是的一条弦，且 CEAB 于 E，连结 AC，BC。若 BE=2，CD=8， 求 AB 和 AC 的长。解：AB 是O 的直径，CDABCE=ED=4 设O 的半径为 r，OE=OB-BE=r-2 在 RtOEC 中，r=5 AB=10又 CD=8，CE=DE=4，AE=8AC= 2、圆 O 的直径 AB 和
2、弦 CD 交于 E，已知 AE=6cm，EB=2cm，CEA=30 求CD。答案 2 遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。1、如图，AB 是O 的直径，AB=4，弦 BC=2, B= 2、如图，AB 为O 的直径，点 C，D 在O 上，BAC=50 ，则ADC= A C F O E B D OCBA3 遇到 90的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。1、如图，AB 、 AC 是O 的的两条弦， BAC=90，AB=6， AC=8，O 的半径是 2、如图，已知在等腰ABC 中，A=B=30，过点 C
3、 作 CDAC 交 AB 于点 D；求证：BC 是过 A，D，C 三点的圆的切线解：（1）作出圆心 O， 以点 O 为圆心，OA 长为半径作圆（2）证明： CDAC ，ACD=90AD 是 O 的直径连结 OC，A=B=30， ACB=120，又OA=OC， ACO=A =30BCO=ACB-ACO =120-30=90BCOC，BC 是O 的切线 . 4 遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：可得等腰三角形；据圆周角的性质可得相等的圆周角。1、如图，弦 AB 的长等于O 的半径，点 C 在弧 AMB 上，则C 的度数是_.2、如图，ABC
4、 是O 的内接三角形， AD 是O 的直径，若ABC=50，求 CAD 的度数。解：连接 CD，ADC=ABC=50AD 是 O 的直径，ACD=90 CAD+ADC=90 CAD=90-ADC=90-50= 405 遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得到直角或直角三角形。1、如图，AB 是O 的直径，弦 AC 与 AB 成 30角，CP 与O 切于 C，交 AB 的延长线于 D， （1）求证：AC=CP（2）若 CP=6，求图中阴影部分的面积（结果精确到 0.1） 。（参考数据： ，=3.14 ）解：（1）连结 OCAO=OC ACO=A=30
5、 COP=2ACO=60 PC 切O 于点 C OCPCP=30 A=PAC=PC。（2）在 RtOCP 中，tanP=OC=2SOCP= CPOC= 62 =6且 S 扇形 COB=S 阴影 = SOCP-S 扇形 COB= 。（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。2、(1)如图 OA、OB 是O 的两条半径，且 OAOB，点 C 是 OB 延长线上任意一点：过点 C 作 CD 切 O 于点 D，连结 AD 交 DC 于点 E求证： CD=CE (2)若将图中的半径 OB 所在直线向上平行移动交 OA 于 F，交O 于 B，其他条件不变，那么上述结论 CD=
6、CE 还成立吗?为什么?(3)若将图中的半径 OB 所在直线向上平行移动到 O 外的 CF，点 E 是 DA 的延长线与 CF 的交点，其他条件不变，那么上述结论 CD=CE 还成立吗?为什么解题思路：本题主要考查圆的有关知识，考查图形运动变化中的探究能力及推理能力解答：(1)证明：连结 OD 则 ODCD，CDE+ODA=90在 RtAOE 中，AEO+A=90在O 中，OA=ODA=ODA， CDE=AEO 来源:Z|xx|k.Com又AEO=CED，CDE=CED CD=CE(2)CE=CD 仍然成立 原来的半径 OB 所在直线向上平行移动CFAO 于 F，在 RtAFE 中， A+AE
7、F=90 连结 OD，有ODA+CDE=90，且 OA=OD A= ODAAEF= CDE 又AEF=CED CED=CDECD=CE(3)CE=CD 仍然成立原来的半径 OB 所在直线向上平行移动AOCF延长 OA 交 CF 于 G，在 RtAEG 中，AEG+ GAE=90连结 OD， 有CDA+ODA=90，且 OA=ODADO= OAD=GAECDE=CED CD=CE考查目标二、主要是指点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内容。学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。6 遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆
8、心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。1、如图所示，已知 AB 是O 的直径，ACL 于 C，BDL 于 D，且 AC+BD=AB。求证：直线 L 与O 相切。（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径） ，再证其与直线垂直。2、如图，四边形 ABCD内接于O， B是 O 的直径， AECD，垂足为 E， A平分 BDE（1）求证： E是O 的切线；（2）若 301cm， ，求 D的长解题思路：运用切线的判定（1）证明：连接 ， A平分 ， BA， OEDAOCE D， 9090 ， 是O 的切线 （2） B是直径， BCDA3060C， 120E DA平分 E， 6 3
9、0BDEA 在 Rt 中， 93DA， ， 在 B 中， 0024B， ， E的长是 1cm， 的长是 4cmDECBOADECBOA2、PA 、PB 分别与O 相切于点 A、B，点 M 在 PB 上，且 OMAP，MNAP ，垂足为 N （1）求证：OM=AN（2）若O 的半径 R=3，PA=9 ，求 OM 的长答案【1】链接 OA、OBAP 是切线，OA 是半径OA APMN APOA/MN四边形 OANM 是平行四边形OM=AN【2】设 AN=X所以 NP=AP-AN=9-xOM=xMNP 是直角有勾股定理得出 MP=x-18x+90证OBM 与MNP 相似（这个很简单 懒得打字了 自己
10、证明）OB/MN=OM/MP（3/3）=x/（x-18x+90）x=5OM=57 遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：角、线段的等量关系；垂直关系；全等、相似三角形。【例 9】如图，P 是O 外一点，PA 、PB 分别和O 切于 A、B ，C 是弧 AB 上任意一点，过 C 作O 的切线分别交 PA、PB 于 D、E，若PDE 的周长为 12，则 PA 长为_答案 PA，PB 分别和O 切于 A，B 两点，PA=PB，DE 是 O 的切线，DA=DC，EB=EC，PDE 的周长为 12，即 PD+DE+PE=PD+D
11、C+EC+PE=PD+AD+EB+PE=PA+PB=2PA=12，PA=6ABCDEPO8 遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得： 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 内心到三角形三条边的距离相等。1、 ABC 的内切圆圆 O 与 AC、AB 、BC 分别相切于点 D、E、F，且AB=5cm， BC=9cm，AC=6cm，求 AE、BF 和 CD 的长。答案解：设 AE 为 X 因为圆 O 是三角形 ABC 的内切圆 所以 AD=AE BE=BF CF=CD那么 AD=AE=X BE=AB-AE=5-X CD=AC-A
12、D=6-X BF=BE=5-X CF=CD=6-X BC=CF+BF=6-X+5-X=9 解得 X=1 那么 AE=1 BF=4 CD=52、如图，RtABC 中，C=90，AC=6,BC=8,则ABC 的内切圆半径 r=_.设ABC 的内接圆圆心为点 O。过点 O 作 OE 垂直 AC 于 E，作 OF 垂直 BC于 F，作 OG 垂直 AB 于 G。连结 AO，BO，CO。设内接圆的半径为 X。易知四边形 OECF 为正方形。因此 EC 为 X。AE 为 6-X。同理可得 BF 为 8-X。易得AEO 与AGO 全等。因此 AGAE6-X。BFO 与 BGO 全等。因此BGBF 8-X。根
13、据勾股定理，得 AB10 。即 AG BG10 。因此 6-X 8-X10。解得X2。即内接圆的半径为 2。九 遇到三角形的外接圆时1、直角三角形，如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.已知：在ABC 中，AB13，BC12，AC5，求ABC 的外接圆的半径.解：AB13，BC12，AC5，AB 2BC 2AC 2，C90，AB 为ABC 的外接圆的直径，ABC 的外接圆的半径为 6.5.ABCO2、如图，已知，在ABC 中， AB10 ，A 70 ，B50 ，求ABC 外接圆O 的半径.分析：可转化为的情形解题.解：作直径 AD，连结 BD.则D C180CABBAC60，DBA90AD DsinAB60i132ABC 外接圆 O 的半径为 .10十 遇到三角形的外接圆和内切圆时1、如图，RtABC 中，AC=8，BC=6，C=90，I 分别切 AC，BC，AB 于D， E，F， 求 RtABC 的内心 I 与外心 O 之间的距离1、 （提示：连 ID，IE ， IF，IB，证四边形 CEID 为正方形，求出5ID=CE=2，证 BF=BE=4，OF=1，再在 RtIFO 中求 IO） 在 RtABC 中，C=90，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ C ） A1.5 ，2.5 B2，5 C1，2.5 D2，2.5
