1、内容概要名称 主要内容（3.1、3.2）名称 条件 结论罗尔中值定理：（1）在 上连续；（2）在)(xfya,b内可导；（3）a,b)(ff至少存在一点 使得)(a,b0)(/f拉格朗日中值定理：（1）在 上连续；（2）在)(xfya,b内可导a,b至少存在一点 使得)b,a()(/ff3.1 中值定理柯西中值定理、 ：（1）在 上连续，在)(xfg,内可导；（2）在 内每点处, )(ab0)(/x 至少存在一点 使得)(,abfgf)(/基本形式 型与 型未定式通分或取倒数化为基本形式 1） 型：常用通分的手段化为 型或 型；02） 型：常用取倒数的手段化为 型或 型，即：0或 ；1/1/3
2、.2 洛必 达法则取对数化为基本形式 1） 型：取对数得 ，其中00ln0e或 ；ln/ 1/02） 型：取对数得 ，ln1e其中 0l1/或 ；n3） 型：取对数得 ，0ln0e其中 l1/或 。0n0课后习题全解习题 3-11.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值 。（1） ； （2） 。5132)(.,xf 30)(,xf知识点：罗尔中值定理。思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程 ，得到的根 便为所求。)(/f解：（1） 在 上连续，在 内可导，且 ，32)(xf 51., )5.1,0)51(.ff 在 上满足罗尔定理的条件。令 得)(2xf
3、 ., ()4f即为所求。514.,（2） 在 上连续，在 内可导，且 ，xf3)(0,)30(, 0)3(f 在 上满足罗尔定理的条件。令，得 即为所求。()302f)30(2,2.验证拉格朗日中值定理对函数 在区间 上的正确性。543xy1,知识点：拉格朗日中值定理。思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程 ，若得到的根()0ff则可验证定理的正确性。10,解： 在 连续，在 内可导，32()45yfxx10,)(,在区间 上满足拉格朗日中值定理的条件。又 ，23, 2)0()1(,ff，()10fxx要使 ，只要： ，()ff513(0)2, ，使 ，验证完毕。513(0)2,(
4、)ff3.已知函数 在区间 上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的 。4)(xf21, 解：要使 ，只要 ，从而 即为满足定()ff 331544315(2)4,理的 。4.试证明对函数 应用拉格朗日中值定理时所求得的点 总是位于区间的正中间。rqxpy2 证明：不妨设所讨论的区间为 ，则函数 在 上连续，在 内可导，a,brqxpy2a,b)(a,b从而有 ，即 ，()ff rqpb()(22解得 ，结论成立。2ab5.函数 与 在区间 上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出3)(xf 1)(2xg,满足定理的数值 。知识点：柯西中值定理。思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解
5、方程 ，得到的根 便为所求。()()ffbagg解： 及 在 上连续，在 内可导，且在 内的每一点处有3)(xf2g()1,)21(,)21(,，所以满足柯西中值定理的条件。要使 ，只要 ，20g()()ffgg372解得 ， 即为满足定理的数值。)1(94,6.设 在 上连续，在 内可导，且 。求证：xf0)10(,0)1(f存在 ，使 。)1(,()ff知识点：罗尔中值定理的应用。思路：从 结论出发，变形为 ，构造辅助函数使其导函数为ff)()(/ 0)(/ff， 然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时/xff常用的方法。证明：构造辅助函数 ，)(xfF(
6、)fxf根据题意 在 上连续，在 内可导，且 ，)(xfF10,)10(, 0)1()(fF，从而由罗尔中值定理得：存在 ，使0)( ,，即 。()0ff()()ff注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使 ，只要()()fxf()1 ln()lln00()0()fx ffxxf xf 只要设辅助函数 fF7.若函数 在 内具有二阶导函数，且)(xfa,b )()(321xffxf，证明：在 内至少有一点 ，使得 。(321a)(31,x0知识点：罗尔中值定理的应用。思路：连续两次使用罗尔中值定理。证明： 在 内具有二阶导函数， 在 、 内连续，)(xfa,b)(xf21,3,x在
7、、 内可导，又 ，21,3)(321xf由罗尔定理，至少有一点 、 ，21,)(,x使得 、 ；又 在 上连续，在 内可导，1()0f2()f)f21)(21,从而由罗尔中值定理，至少有一点 ，使得 。(,)(3,x0f8.若 4 次方程 有 4 个不同的实根，证明：0323140 axax 3210x的所有根皆为实根。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。证明：令 4323140)( axxaxf 则由题意， 有 4 个不同的实数零点，分别设为 ，4321,x 在 、 、 上连续，在 、 、 上可导，)(xf21,3,x4,)()(32)(4,x又 ，0)()
8、fff由罗尔中值定理，至少有一点 、 、)(21,x)(32,x)(43,x使得 ，即方程 至少有 3 个实根，123()0fff04210 aa又三次方程最多有 3 个实根，从而结论成立。9.证明：方程 只有一个正根。15x知识点：零点定理和罗尔定理的应用。思路：讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。解：令 ， 在 上连续，且 ， ，1)(5xf )(f10, 01)(f 01)(f由零点定理，至少有一点 ，使得 ；,)(5f假设 有两个正根，分别设为 、 （ ） ，05x1221则 在
9、在 上连续，在 内可导，且 ，)(f21,)(21, 0)(ff从而由罗尔定理，至少有一点 ，使得 ，这不可能。4()5方程 只有一个正根。05x10.不用求出函数 的导数，说明方程 有几个实根，)4(3)2(1)( xxf ()0fx并指出它们所在的区间。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。解： 在 、 、 上连续，)4(3)2(1)( xxf 21,3,4,在 、 、 内可导，且 ，21,3,4, 0)(ff由罗尔中值定理，至少有一点 、 、 ，)(1,)(2,3,使得 ，即方程 至少有三个实根，123()0ffffx又方程 为三次方程，至多有三个实
10、根，0x 有 3 个实根，分别为 、 、 。()f )21(,)3(,)4(,11.证明下列不等式：（1） ； （2） 当 时， ；baarctnrt 1xex（3） 设 ，证明 ； （4） 当 时， 。0xx)1(l 01)(ln知识点：利用拉格朗日中值定理。思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数 ，通过式子()yfx（或 ）证明的不等式。()fbaf()()fbafba证明：（1）令 ， 在 上连续，在 内可导，xfrctn,)(,b由拉格朗日中值定理，得 。21atrcta()bfaab（2）令 ， 在 上连续，在 内可导，xef)()1)(xf1,x由拉格朗日中值定理，得
11、，e ， ，从而当 时， 。x1 exxex )()( 1xex（3）令 ， 在 上连续，在 内可导，)1ln()f0f0,)0(,由拉格朗日中值定理，得 ，lln(1)l()1xfxx ， ，即 ， 。x010x)l(（4）令 ， 在 上连续，在 内可导，fln)()()(xf1,)1(x,由拉格朗日中值定理，得 ，l1lnl0xf ， ，即当 时， 。x1x0x1)l(12.证明等式： .12arcsinrt2x知识点： （ 为常数） 。()0()fxfxC思路：证明一个函数表达式 恒等于一个常数，只要证 ()0fx证明：令 ，1(2arcsinrt2)( xxxf当 时，有 ；当 时，有
12、11ac2 22 222()1() ()() xfx xx ， ；0)12(2x()(1)fxCf 成立。1arcsinrt2x13.证明：若函数 在 内满足关系式 ，且 ，则)(f),-()fxf 1)0(f。xef)(知识点： ()0()ffxC思路：因为 ，所以当设 时，只要证 即可1e()()xFef()0Fx证明：构造辅助函数 ，()()xFf则 ；()0xef ()1C 。xef)(14.设函数 在 上连续，在 内有二阶导数，且有fa,b)(a,b， bcfff )(0)( 试证在 内至少存在一点 ，使 。)(,()知识点：拉格朗日中值定理的应用。思路：关于导函数 在一点处符号的判
13、断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析)(fn各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得出结论。证明： 在 、 上连续，在 、 内可导，)(xfa,c,b)(a,c,b由拉格朗日中值定理，至少有一点 、 ，12使得 ， ；2()0ffcb()0ffac又 在 上连续，在 内可导，从而至少有一点 ，()x1,)(21,)(21,使得 。21()0fff15.设 在 上可微，且 试证明 在)(xfa,b()()0()fa,fb,fabA,)(/xf内至少有两个零点。)(a,b知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。思路：要证明在某个区间 内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在 上
14、有三个零点，即)(a,b a,b可以利用罗尔中值定理，得出结论。证明： ，由极限的保号性知，()lim0xaff（不妨设 ） ，对于 ，均有 ，1,21b-)(1a,x0)(axf特别地， ，使得 ，得 ；)(11,x0)(1ff Aff)(1同理，由 得 （ ） ，使得 ，()0fb,)(22b,x-a02bxff从而得 ；Afxf2又 在 上连续， 由介值定理知，至少有一点 使得 ；)(1, )(21,xAf)( 在 、 上连续，在 、 内可导，且 ，xfab)(a,bbaf由罗尔中值定理知，至少有一点 、 ，使得 ，结论成立。1)(212()0f16.设 在闭区间 上满足 ，试证明存在唯
15、一的 ，使得)(xf,)0fxc,。()bfac知识点：微分中值定理或函数单调性的应用。思路：证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的单调性得出结论。证明：存在性。 在 上连续，在 内可导，由拉格朗日中值定理知，至少有一点 ，使得)(xfa,b)(a,b )(a,bc。)fc唯一性的证明如下：方法一：利用反证法。假设另外存在一点 ，使得 ，)(a,bd()fbafd又 在 （或 ）上连续，在 （或 ）内可导，()fxc,d,c,由罗尔中值定理知，至少存在一点 （或 ） ，使得 ，)(,)(a,b,c()0f这与 在闭区间 上满足 矛盾。从而结论成立
16、。)(xfa,b()0fx方法二： 在闭区间 上满足 ， 在 单调递增，()fx,从而存在存在唯一的 ，使得 。结论成立。)(a,bc()fbafc17.设函数 在 的某个邻域内具有 阶导数，且xfy0n试用柯西中值定理证明：(1)()0f,。)1()(n!xxfn知识点：柯西中值定理。思路：对 、 在 上连续使用 次柯西中值定理便可得结论。)(xfng0,证明： 、 及其各阶导数在 上连续，在 上可导，x,x)0(,x且在 每一点处， ，又 ，)0(,x(1)!n(1)()0nff,连续使用 次柯西中值定理得， (1)(1)11()(0)()0() nnnnnnfffffffxgg!g，从而
17、结论成立。()!f习题 3-21.用洛必达法则求下列极限：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；xexsinlm0x-axsinlim22)(sinlmx-xxarcxot)1ln(i（5） ； （6） ； （7） ； （8） ；xx2tanl7i0 exxln1li3 x-xsintal0xx2ctlim0（9） ； （10） ； （11） ； （12）210limxxe)1(limxx )1(li0xxe；（13） ； （14） ； （15） ； （16）)ln(li1-xxa)(lixxsin0lxtan0lim；exarct1li0（17） ； （18） ； （19） ； （2
18、0）xx10)sin(limxx)1(lnim0xx12)(li。2)1tan(limn知识点：洛必达法则。思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为： 型与 型未0定式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于 型与 型的未定式，可通过通分或者取倒0数的形式化为基本形式；对于 型、 型与 型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，010还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。解： （1） ；2coslimsinl00 xexex（2） ；aaaxax 1lil（3） ；81sinlm)2(4cosli)2(4sincl)2(sinl
19、i 2 xx xxxx（4） ；1)(li1)(limcot)1l(i 22 xxxarx（5） ；17cos2tant7li2tansec7li2tanli 000 xxxx（6） ；eexxxx 413lim1li3 （7） ；2230000tansctansclilililim2soiosxxxx（8） ；1selitali2cotli 2000 xxx（9） ；2222 103101010 lilimlilimxxxxe（或解为： ）210lilili1uuuxxee（10） ；1lim1li1)(lim)(li 21 xxxxxx eee（或解为：当 时， ， ）1xe11/li()
20、lili1xxx xe（11） ；(1)200001lim()lilimli2xxxxexx e（12） ；1lni1lnil)1(nli)(li 11 xxxxx（或解为： ln(1)1 210 0ln()l()limli im() uuxx u）0lim2u（13） ；ln(1)lin(1)imli1li(1)xxxaaaxaee（14） ；0000ln tansilimsnlili limsin 0cscots0l 1xxxxxx ee （15） ；220001ln sini limltan 0cot cs01li()l ixx xxxee（16） 220200 )1(li1liarct
21、)llimxxxex ；200(1)lilixxx e（17） ；exxx)(xx sin1colm0sin1lim010)sin(lim（18） ；00 2001()lnlnii 11limlin/0li()xx xxxeee （19） ；1)1(lim222 lim1lim)1ln(im2 xxxxx xxx eee（20）令 ，则2ta)xf 2 220lntali0tali(ta)li()tt txtt 22332300001sin2sectansectansincolimlimlmlimt t t ttte2220 0(1cos)s 1li li663t txtee 213li(ta
22、n)n2.验证极限 存在，但不能用洛必达法则求出。xxsilim知识点：洛必达法则。思路：求导后极限如果不存在，不能说明原式极限不存在，只能说洛必达法则失效。洛必达法则不能解决所有的未定型极限问题。解： ，极限 存在；10)sin1(lisnli xxxx xxsinlim若使用洛必达法则，得 ，mcocosli而 不存在，所以不能用洛必达法则求出。xcosli3.若 有二阶导数，证明 。)(f 20()()()lihfxfxhf知识点：导数定义和洛必达法则。思路：使用洛必达法则，对极限中的函数上下求关于 的导数，然后利用导数定义得结论 。证明： 20 0()()()()limlim2h hf
23、xfxfxfhh(f，结论成立。/0 01()(1)(li li ()22h hfxfxffx4.讨论函数 在点 处的连续性。,e,fx21)(0知识点：函数在一点连续的概念。思路：讨论分段函数在分段点处的连续性，要利用函数在一点处左、右连续的概念。解：1200011()ln(1)limnimlim200()lim()lixx xxxexxf ee ， 在 处右连续；01li2xe21f)(f又 ， 在 处左连续；0)(li0fefx xf0从而可知， 在点 处连续。,e,fx211)()05.设 在 处二阶可导，且 。试确定 的值使 在 处可导，并求)(xg0)(ga)(xf0，其中 。(0
24、)f() ,0xfa知识点：连续和可导的关系、洛必达法则。思路：讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性，一般考虑利用定义。解：要使 在 处可导，则必有 在 处连续，)(xf0)(xf0又 在 处 ， ；g()gxgax)(limli00)0()(li/0gx由导数定义， 0()()limxff 200()lilixx。01li2xgg内容概要名称 主要内容（3.3）泰勒中值定理：如果 在含有 的某个开区间 内具有 阶的导数，则对任一)(xf0)(a,b1n，有)(a,bx 200/0/0 )(!)(xfxfff，此公式称为 阶泰勒公式；)()(!00)( xRxnfnn其中 （ 介于 于 之间
25、） ，称为拉格朗日型余项；或10)1()!nnnfR0x，称为皮亚诺型余项。)()0nnxo阶麦克劳林公式： )(!)0(!2)()0()(/ xRnfxffxf n其中 （ ）或 。1)1(!nnnfR)(nno3.3 泰勒公式常用的初等函数的麦克劳林公式：1） )(!2nx xe2） )()!1()!53sin 2nnxoxx3） )()!21(!64!21cos 12nnxoxx4） (3)ln( 1nn5） )12nxox6） )(!)1()(!1()( 2 nm xonm习题 3-31.按 的幂展开多项式 。)1(x 43)(24xf知识点：泰勒公式。思路：直接展开法。求 按 的幂展
26、开的 阶泰勒公式，则依次求 直到 阶的导)(xf)0n)(xf1n数在 处的值，然后带代入公式即可。0x解： ， ； ， ；3()46fx(1)f2()16fxf(1)8， ； ； ； ；2x2f 4)4( 4)(f 0)5(x将以上结果代入泰勒公式，得 (4)234(1)(1)(1)1() )!fffffxxx。432)()(4)(9)082.求函数 按 的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。xf知识点：泰勒公式。思路：同 1。解： ， ； ， ；()2fx 1(4)f 321()4fx1()32f， ； ；将以上结果代入泰勒公式，得53()8f3()6f27165)(f (4)234
27、44(4)()()() )1!fffffxxxxx， （ 介于 与 4 之间） 。42732 )(185)4(5)4(61)(42 xxxx x3.把 在 点展开到含 项，并求 。21)(xf 04)0(3f知识点：麦克劳林公式。思路：间接展开法。 为有理分式时通常利用已知的结论 。)(f )(12nxox解： 3222 1)(111)( xxxxxf ；)()(2 43 oo又由泰勒公式知 前的系数 ，从而 。3x0!f(0)f4.求函数 按 的幂展开的带有皮亚诺型余项的 阶泰勒公式。fln)()2(n知识点：泰勒公式。思路：直接展开法，解法同 1；或者间接展开法， 为对数函数时，通常利用已
28、知的结论)(xf。x)1ln( 1)(321nno方法一：（直接展开） ， ； ， ；fx2f 2()fx1()4f， ； ， ；3()fx 1()4nn, !)(1 nn2)!()(将以上结果代入泰勒公式，得 (4)234(2)()()ln 2)1!ffffxxxx!n()f)!)(no23)(1)(l 33)2(1。221)( nnnxx方法二： 2)(12ln)21l()l( xxf 313 )(2)( xonnn。)()(213 xxx5.求函数 按 的幂展开的带有拉格朗日型余项的 阶泰勒公式。xf1)()(n知识点：泰勒公式。思路：直接展开法，解法同 1；或者间接展开法， 为有理分式
29、时通常利用已知的结论)(xf。2 121()nnxx方法一： ， ； ， ； ，21()ff3()fx(1)2f46()fx， ；16f1)( !)nnx,f !)(1)( nfnn将以上结果代入泰勒公式，得 23()()() ()1!ffff xxx nn!)( 1)1()nf（ 介于 与 之间） 。 nxxx )()()(132 121)(nnxx1方法二： nxxxx )()1()(1)1( 32)1(2nn n32)()()( 121)(nnx（ 介于 与 之间） 。x16.求函数 的带有皮亚诺型余项的 阶麦克劳林展开式。eyn知识点：麦克劳林公式。思路：直接展开法，解法同 1；间接展
30、开法。 中含有 时，通常利用已知结论)(xfxe。)(21nx o!x!e方法一： ， ； ， ； ，()xye01y(2)xe(0)2yx(n)e,y)，将以上结果代入麦克劳林公式，得n)0( 23()()()()()1!nx nffffefxxxo。!23x)!1(nx)(no方法二： !2)()!1(!231xxe nnx。)!1(n)(no7.验证当 时，按公式 计算 的近似值时，所产生的误差小于20x6213xexxe，并求 的近似值，使误差小于 。1.e0.知识点：泰勒公式的应用。思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。解： ； 。01921!4!4)(213 .x
31、exR 640812.e8.用泰勒公式取 ，求 的近似值，并估计其误差。5nl.知识点：泰勒公式的应用。解：设 ，则)1l()xf (5)2(0)()0()1!ffffxx，从而 ；2x5 18235432)(2ln f. 其误差为： 。0176)1(6)(5 xR9.利用函数的泰勒展开式求下列极限：（1） ； （2） 。)3(lim2xx 220sin)(colimxex知识点：泰勒展开式的应用。思路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。解：（1） )1()31(li)3(li 222 xxxx )()()1(o(lim22 oxx 。21)(8
32、921(limxox（2） 2120220 )(coslimsin)co(li xeexxx 。12)(2381lim)(1()21()lim 440222 420 xoxoxox xx10.设 ，证明： 。ln知识点：泰勒公式。思路：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展开的一部分时，可考虑用泰勒公式。解： （ 介于 与 之间） ， ， ，32)1()1ln(xx0x00)1(3x从而 ，结论成立。2)(2)l(3（也可用3.4 函数单调性的判定定理证明之）11.证明函数 是 次多项式的充要条件是 。)(xfn0)(1xfn知识点：麦克劳林公式
33、。思路：将 按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。)(f解：必要性。易知，若 是 次多项式，则有 。)(xfn0)(1xfn充分性。 ， 的 阶麦克劳林公式为：0)1(fnf 2(0)()!fxff3()(1)(0)!nnfxfxfx 20(0)!fxf，即 是 次多项式，结论成立。3()!f!)0(nf )(f12.若 在 上有 阶导数，且)(xfa,b (1)()()0nfabffbfb证明在 内至少存在一点 ，使 。,0)(n知识点：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。思路：证明 ，可连续使用拉格朗日中值定理，验证 在 上满)(0)( bafn )(1xfna,b足罗尔中值定理；或
34、者利用泰勒中值定理，根据 在 处的泰勒展开式及已知条件得结论。)(xfb方法一： 在 上可导，且 ，)(xf,a由罗尔中值定理知，在 内至少存在一点 ，使得 ；)ab11()0f 在 上可导，且 ，()fx1,()0fb由罗尔中值定理知，在 内至少存在一点 ，使得 ；)(1,22()f依次类推可知， 在 上可导，且 ，)(xfnna0)(11)(bfnn由罗尔中值定理知，在 内至少存在一点 ，使得 。)(1,b,)(方法二：根据已知条件， 在 处的泰勒展开式为：)xf(1) ()2 1()()!nnnfbffxbfbbxxb，nnf)(!)( )x ，从而得 ，结论成立。)(af 0)(!)(
35、nnbaf 0)(fn内容概要名称 主要内容（3.4）函数单调性的判别法：设 在 上连续，在 内可导，则)(xfya,b)(a,b（1）若在 内 ，则 在 上单调增加；)(a,b0ff（2）若在 内 ，则 在 上单调减少。(x)(xy,3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性1） 曲线凹凸性的概念：设 在区间 内连续，如果对 上任意两点 ，恒有)fII21,x，则称 在 上的图形是凹的；如果恒有2()2(1xfxf)(xf，则称 在 上的图形是凸的。)()(11fff)(fI2）拐点的概念：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。曲线凹凸性的判别法：设 在 上连续，在 内具有一阶和二阶导数，则)
36、(xfa,b)(a,b（1）若在 内 ，则 在 上的图形是凹的；)(a,b0)xfy（2）若在 内 ，则 在 上的图形是凸的。(fx(,习题 3-41.证明函数 单调增加。)1ln(2xy知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。在某个区间 上，I（ ） ，则 在 单调增加（减少） 。()0fx()f)(xfI证明： （仅在 处 ） ，2210y1x0y 在 内是单调增加的。)ln(x)(,2.判定函数 的单调性。20sinxf解： （仅在 处 ） ，()1cox()0f 是单调增加的。)(sixf3.求下列函数的单调区间：（1） ； （2） ； （3） ；132
37、3y )0(8xy 32xy（4） ； （5） ； （6） 。)ln(x1ln知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。解：（1） 的定义域为 ；令 ，13123xy )(,230yx得 ， 。列表讨论如下：x2)(, )31(, )(,)fx0 0)(xf 由上表可知， 在 、 内严格单增，而在 内严格单减。13123y)(,)3(, )31(,（2） 在 内，令 ，得 ；)0(, 280x2当 时，有 ；当
38、 时，有 ；xy)(,0y 在 内严格单增，在 内严格单减。)(8y(, ,（3） 的定义域为 ；令 ，32x), 132()03xy得 ； 为不可导点。列表讨论如下：1x0x)0(,)10(, )1(,)f(x 由上表可知， 在 、 内严格单增，而在 内严格单减。32y)0(,)1(, )10(,（4） 的定义域为 ，)1ln(x,，2221yxx 0 在 内严格单增。)1ln(x)(,（5） 的定义域为 ， ，y0, 32()10yxx 在 上严格单增。x)1(),（6） 的定义域为 ，令 ，得 ；yln2)0(, 2140xy21x当 时， ；当 时， ；)10(,x21,x0 在 内严
39、格单增，在 内严格单减。yln2)(, )(,4.证明下列不等式：（1） 当 时， ； （2）当 时， ；0xx1242x（3）当 时， ； （4） 时， 。arctn)ln(031tanx知识点：导数的应用或者泰勒公式的应用。思路：利用泰勒公式可以证明一些不等式（见习题 3-3 第 10 题） ，利用函数单调性也是证明不等式常用的方法。解：（1）方法一：令 ，xxf12)(则当 时， ，0x1f )(0 在 上严格单增；从而 ，xf2)( )0, )(fxf即 ，结论成立。x1方法二：由泰勒公式，得（ ） ，2323)1(8)(1(22)( xxxf x0 ，从而得 ，结论成立。0)1(8)
40、23xf （2）方法一：令 ，则当 时， ，2xf4()2lnxf，2 2()ln(4)16lnl)0xf e 在 内严格单增，,从而 ，()2l()l24(ln16)xff 在 内严格单增，在 内 ，4, , 08)4(2fxf ，结论成立。2x注：利用 的符号判断 的单调性，利用 的单调性判断其在某区间上的符号，从而得()f()fx()fx出 在某区间上的单调性，也是常用的一种方法。x方法二：令 ，xfln2l)(当 时， ，4x 0214ln/ x 在 内严格单增，flln)( )4(, ，从而有， ，04ln2l)4(ln2l)( fxxf xln2l ，即 ，结论成立。xeln2l（
41、3）令 ，xf arct)1l()(则当 时有 （仅在 时， ） ，0x21n0xx()0fx 在 上严格单增，从而有 ，)(f), )(fxf即 ，结论成立。xarct1l（4）令 ，则当 时，有gtn)( 20x22()sec1tan0gxx从而 在 内严格单增， ，即在 内 ；xxa)(, 0)(,t再令 ，31t)(f则当 时， ，20x222()sectanfxxx从而 在 内严格单增， ，3tan)(f)0, 0)(ff即在 内 ，结论成立。,1x5.试证方程 只有一个实根。si知识点：导数的应用。思路：利用导数的符号判断函数的单调性，进而讨论方程的根是常用的方法。解：易知， ，即
42、 是方程的一个根；0inx令 ，则 （仅在 处 ） ，xfs)()1cos0fx)(2Zk(0fx 在 内严格单增，从而 只有一个零点，i, )f即方程 只有一个实根。sn6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究例子： 。xfsin)(知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断单调性，从而证明结论。解：单调函数的导函数不一定为单调函数。 （仅在 处 ） ，()1cos0fx)(12(Zkx(0fx 在 内严格单增；in)(,而 在 内严格单减，在 内严格单增，从而在()csfx k)2,1(k上不单调。)(,7.求下列函数图形的拐点及凹凸区间：（1） ； （2） ； （3） ；)0(xy
43、 12xy xyarctn（4） ； （5） ； （6） 。e41)ln(ert知识点：导数的应用。思路：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。解：（1） ， ，当 时， ，21yx2y0xy 在 上为凹函数，没有拐点。)0,（2） 的定义域为 ；12xy )1()(,， ，令 ，得 ；2()23)(xy0yx当 或 时， ；当 或 时， ；1x00110y 的凹区间为 、 ，凸区间为 、 ；拐点为 。2y)(,), ),(1,()0(,（3） 的定义域为 ， ， ，xarctn, 2arctnxy2()y
