1、渭南师范学院本 科 毕 业 论 文题 目： 指数导数的罗尔中值定理及应用 专 业： 数学与应用数学 系 班： 数学系 07 级数本 1 班 毕业年份： 2011 年 6 月 姓 名： 刘 文 骏 学 号： 070741038 指导教师： 张 同 琦 职 称： 教 授 渭南师范学院教务处 制目 录毕业论文任务书1毕业论文开题报3毕业论文登记表5毕业论文文稿7毕业论文答辩记录14渭南师范学院本科毕业论文（设计）任务书论 文 （ 设 计 ） 题 目 指数导数的罗尔中值定理及其应用学 生 姓 名 刘 文 骏 系 、 专 业 、 班 级 数 学 系 数 学 与 应 用 数 学07 级 数 本 1 班毕
2、业 年 份 2010 年 学 号 070741038指 导 教 师 张 同 琦 职 称 教 授 一、文献查阅指引1 陈宁， 微分中值定理的历史演变J。大学数学，2003，19（2）：96-99.2 郑一，指数导数及其运算与应用J。青岛建筑学院学报，2005，26（1）：87-96.3 华东师范大学数学系，数学分析（上册）M，北京：高等教育出版社.4 王艳萍，余学军，应用罗尔定理的一种辅助函数构造法J.南阳师范学院学报，2003（2）：18-21.5 数学分析习题解析（上册）M，陕西师范大学出版社，2003.6 薛利敏，罗尔中值定理应用中辅助函数的构造方法，J.渭南师范学院学报，200802二、
3、内容要求1.查阅各学术论文中有关指数导数的相关内容.2.论文中的理论依据应充分有力，论证严密，逻辑推理性强.3.论文格式要符合渭南师范学院毕业论文规范守则格式要求.三、进度安排毕业论文撰写时间安排:1、动员：2010 年 12 月 7 日2、论文设计总时间 12 周（10 年 12 月 13 日11 年 1 月 2 日；3 月 7 日5 月 8 日）（1）选题与完成开题报告（10 年 12 月 13 日11 年 3 月 13 日）（2）论文撰写 35 天（3 月 14 日4 月 17 日）（26 周）（3）论文定稿打印 7 天 （4 月 18 日4 月 24 日）（7 周）（4）论文评阅及答辩
4、审查 7 天（4 月 25 日5 月 1 日）（8 周）（5）论文答辩 7 天（5 月 2 日5 月 8 日）（9 周）（6）论文成绩评定 7 天（5 月 9 日5 月 15 日）（10 周）3、论文撰写停课时间：3 月 14 日5 月 8 日（29 周）四、起止日期 2010 年 12 月 7 日 至 2011 年 5 月 15 日指 导 教 师 （签名） 教研室主任（签名） 系主管主任（签名） 年 月 日注：1. 任 务 书 由 指 导 教 师 填 写 、 经 教 研 室 主 任 及 系 主 管 教 学 副 主 任 审 批 后 ， 在 第 七 学 期 末 之 前 下 达 给 学 生 。2.
5、 文 献 查 阅 指 引 ， 应 是 对 查 阅 内 容 和 查 阅 方 法 的 指 引 ， 即 查 阅 什 么 和 怎 样 查 阅 。渭南师范学院本科毕业论文（设计）开题报告论 文 （ 设 计 ） 题目指数导数的罗尔中值定理及其应用学 生 姓 名 刘 文 骏 系 、 专 业 、 班 级 数 学 系 数 学 与 应 用 数 学07 级 数 本 1 班毕 业 年 份 2011 年 学 号 070741038指 导 教 师 张 同 琦 职 称 教 授 一、拟开展研究的价值、意义微分中值定理,是微分学的核心定理,研究函数的重要工具,历来受到人们的重视.人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始
6、了,其中罗尔中值定理是证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基础. 本文在指数导数的意义下建立了罗尔中值定理,然后利用它证明和建立了指数导数的拉格朗日中值定理和柯西中值定理.二、研究步骤、方法及措施1、查找资料,对与其相关的内容进行仔细研究.2、确定论文题目,明确研究内容.3、通过分析和理解各类信息，从中获取与课题相关的新知识，进而充分理解课题任务。4、根据已有的结果对其进行推广,在指数导数的意义下建立了罗尔中值定理，然后应用指数导数的罗尔中值定理和可导与指数可导的关系建立了指数导数的拉格朗日中值定理和柯西中值定理.5、综合运用有关的基础知识，与同学一起探讨完善证明过程，加以例题举例说明.三、论
7、文拟定提纲1.引言2.预备知识3.指数导数的罗尔中值定理及其应用四、主要参考文献1 陈宁， 微分中值定理的历史演变J。大学数学，2003，19（2）：96-99.2 郑一，指数导数及其运算与应用J。青岛建筑学院学报，2005，26（1）：87-96.3 华东师范大学数学系，数学分析（上册）M，北京：高等教育出版社.4 王艳萍，余学军，应用罗尔定理的一种辅助函数构造法J。南阳师范学院学报，2003（2）：18-21.5 数学分析习题解析（上册）M，陕西师范大学出版社，2003.6 薛利敏，罗尔中值定理应用中辅助函数的构造方法，J.渭南师范学院学报，200802指导教师意见： 指导教师签字： 年
8、月 日系主管主任意见： 系主管主任签字： 年 月 日注：开 题 报 告 是 在 导 师 的 指 导 下 ， 由 学 生 填 写 。渭 南 师 范 学 院 本 科 毕 业 论 文 （ 设 计 ） 登 记 表论 文 （ 设 计 ） 题 目 指数导数的罗尔中值定理及其应用学 生 姓 名 刘 文 骏 系 、 专 业 、 班 级 数 学 系 数 学 与 应 用 数 学07 级 数 本 1 班毕 业 年 份 2011 年 学 号 070741038指 导 教 师 张 同 琦 职 称 教 授 一、论文摘要（中文）首先, 在指数导数意义下建立了罗尔中值定理，然后应用指数导数的罗尔中值定理和可导与指数可导的关系
9、建立了指数导数的拉格朗日中值定理和柯西中值定理。二、论文摘要（英文）First, established under the index derivative significance has rolled the theorem of mean, then the application index derivative rolled the theorem of mean and may lead the relations which might lead with the index to establish west the index derivative Lagrange the
10、orem of mean and the tan oak the theorem of mean. 三、成绩评定指导教师评语： 刘文骏同学能够按照规定时间完成撰写本科毕业论文的任务，并且其论文指数导数的罗尔中值定理及应用的质量合格，其间能积极认真的查阅参考文献，对所学知识能较灵活的运用，在论文完成的过程中能积极思考独立完成。指导教师签字： 年 月 日评 评阅人评语： 该同学的论文指数导数的罗尔中值定理及应用选题难度适中，条理清晰，语言流畅，证明过程严密认真选例较为恰当,论述比较充分.所选参考文献能较灵活运用，是一篇合格的本科毕业论文。评阅人签字： 年 月 日答 答辩小组评语：经过答辩发现，刘文
11、骏同学对微分定理有一定理解，能独立查阅资料，并初步的学习，与已学知识相结合。在答辩中表达准确，条理清晰，语言流畅。成 绩(分数)答辩小组组长签字： 年 月 日答辩委员会审核意见：答辩委员会主席签字： 年 月 日指数导数的罗尔中值定理及其应用刘文骏(渭南师范学院 数学与信息科学学院 数学系 07 级数本 1 班)摘 要: 首先, 在指数导数意义下建立了罗尔中值定理，然后应用指数导数的罗尔中值定理和可导与指数可导的关系建立了指数导数的拉格朗日中值定理和柯西中值定理。关键词： 指数导数；罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理1 引 言 微分中值定理，是微分学的核心定理，研究函数的重要工具，历来
12、受到人们的重视.人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了. 按文献1的记载：1637 年，著名法国数学家费马（Femat,16011665）在求最大值和最小值的方法中给出费马定理，在教科书中，人们通常将它作为微分中值定理的第一定理. 1691 年，法国数学家罗尔（Rolle,1652-1719）在方程的解法一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797 年，法国数学家拉格朗日（Largrange,17361813）在解析函数论一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西（Cauchy,17891857）,他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的
13、核心定理.在无穷小计算教程概论中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理，又在微分计算教程中将其推广为广义中值定理柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理.本文分为三个部分：第一章是引言.第二章是预备知识.第三章是指数导数的罗尔中值定理及其应用，在这一部分中，主要讨论了如何应用指数导数的罗尔中值定理和已知的可导与指数可导的关系在指数导数的意义下建立拉格朗日中值定理和柯西中值定理.2 预备知识在这一章我们给出了本文将要用到的有关指数导数、中值定理等基本概念和结论.记 ， .0x)()xfxf定义 2.1 2 设 在 的某邻域有定义，若极限)(xfy0100lim().xxf存在，则称函数 在 点指数可
14、导，记作 .)(xfy0 )(0fy若函数 在定义域中的任何一点 指数可导，则称函数 指数可导， )(xfy记作 .即)(xfy.)(1lim)(10xxff 引理 2.1 2 （可导与指数可导的充分必要条件）函数 可导的充分必要条件是 指数可导.)(xfy)(fy引理 2.2 2 （可导与指数可导的关系等式）设 可导或 指数可导，则)(f)(f（1） ；)(xfe（2） .ln(ff引理 2.3 2 几个常见公式(1) ;1)(c(2) , ;xax xex)(3) ;1)(xe(4) ;cossin(5) .xesin)(引理 2.4 3（罗尔（Rolle）中值定理）若函数 满足如下条件：
15、f（i） 在闭区间a,b上连续；（ii） 在开区间（a,b）内可导；f（iii） ,()fab则在（a,b）内至少存在一点 ，使得f引理 2.5 3 （拉格朗日（Lagrange）中值定理）若函数 满足如下条件：f（i） 在闭区间a,b上连续；（ii） 在开区间（a,b）内可导，f则在（a,b）内至少存在一点 ，使得 .abff)()(引理 2.6 3 （柯西（Cauchy）中值定理）若（i） 函数 与 都在闭区间a,b上连续；fg（ii） 与 都在开区间（a,b）内可导；（iii） 与 在(a,b)内不同时为零；f（iv） ，)(bga则在（a,b）内至少存在一点 ，使得.)()(agbfg
16、f3 指数导数的罗尔中值定理及其应用这一章中，在指数导数的意义下,建立了“指数导数的罗尔（Rolle）中值定理”、利用“指数导数的罗尔（Rolle）中值定理”和预备知识中可导和指数可导的关系证明和建立了“指数导数的拉格朗日（Lagrange）中值定理”、“指数导数的柯西(Cauchy)中值定理”。3.1 指数导数的罗尔中值定理定理 3.1（指数导数的罗尔（Rolle）中值定理）若函数 满足如下条件f（i） 在闭区间a,b上连续；（ii） 在开区间（a,b）内指数可导；f（iii） ，)(bfa则在（a,b）内至少存在一点 ，使得 .1)(f证明： 由（i）知，函数 在a,b上连续且有最大值和最
17、小值，现在分别用 M 与fm 表示，下面分两种情况来讨论：(1) m=M，则 在a,b上必为常量，则由引理 2.3 知它的指数导数 在（a,b）上f f恒为 1，因此在（a,b）内任取一点作为 ，都有 .1)(f(2) m M，则 m 和两者之中至少有一个不等于函数在端点的值 ，因此最 )(bfa大值 M 与最小值 m 中至少有一个是（a,b）内部一点 取得的，因此 在（a,b）内可导，且 为它的极值点，故 .0)(f.1)(ef例 3.1 设函数 在闭区间 上连续，且在开区间 内指数可导，若函数f,ab(,)ab()()fFxf x求证： 在 内至少存在一点 ，使得, ()1F证明： 显然函
18、数 在 上连续， 内可导，因为 ，故()x,ab,ab()0Fab满足指数导数的罗尔中值定理，所以()Fx ()例 3.2 设 为指数可导函数，若方程 有两个相异的实根。f ()0fx求证：方程 至少有一个实根。()10证明：因为 有两个相异的实根，不妨设为 ， 。则 ，fx 1x212()0fxf在又因为 为指数可导函数，应用指数导数的罗尔中值定理可得函数 的定义f f域内至少存在一点 ，使得 。所以方程 至少有一个实根。()1f()10f3.2 指数导数的罗尔中值定理的应用定理 3.2（指数导数的拉格朗日（lagrange）中值定理）若函数 满足如下条件：f（i） 在闭区间a,b上连续；（
19、ii） 在开区间（a,b）内指数可导，f则在（a,b）内至少存在一点 ，使得（1）.)()(abfef证明： 因为（1）式可以写作.)(abfe依此作辅助函数.xabfxfF)()(显然，函数 F 在a,b上连续，在（a,b）内可导.且)().()xabfxfe)(.()xabfxfe.)()(.()() abfxfabfxf 又因为 F(a)=F(b),则由指数导数的罗尔中值定理知道，存在一点 （a,b），使得 .0)()(.( 1)() eeFabffabff 又因为 )()(abff故 .0f则 .abff)()()(fe.abf)(例 3.3 设 为 上的指数可导函数， ，并存在一点
20、，f,ab0f(,)cab使得 。()c求证： 在 内至少存在一点 ，使得 。(,)()f证明： 因为 为 上的指数可导函数，在 上应用指数导数的拉f,ab,ac格朗日中值定理，则在 内至少存在一点 ，()c(),b使得 ()fcafe而 所以 ()1fcae所以 f定理 3.3 （指数导数的柯西中值定理）若（i） 函数 与 都在闭区间a,b上连续；fg（ii） 与 都在开区间（a,b）内指数可导；（iii） 与 在(a,b)内不同时为零；f（iv） ，)(bga则在（a,b）内至少存在一点 ，使得.)()(agbff证明： 作辅助函数 .)(.)()(xgabfxfeF显然 F 在a,b上连
21、续，在（a,b）内可导（或指数可导）.且)()(.)(xgabfxfeF.)()(.)() xgabfxfggfxf 又因为 .故由指数导数的罗尔中值定理，存在 使得)(baF ,b.1)(F=1= .)( ).()()(.() gabffegabgff 0e因为 .0)(.)(gabff故 .)(ff即 .)(ln.)(lngabgff)().(ln)(gfef.)(abf例 3.4 设函数 在 上连续，在 内指数可导。f,ab(0),求证： 则存在 ， 使得 .,1()lnog()efbaf证明： 设 ，显然 在 上与 一起满足指数导数的柯西中()lngxgx,()fx值定理，于是在 内存
22、在一点 ，,ab使得 ()()fbagf即 ()1fbae所以 1(log()lneff故1()log()ebfbaf（指导教师：张同琦）参考文献：1 陈宁， 微分中值定理的历史演变J。大学数学，2003，19（2）：96-99.2 郑一，指数导数及其运算与应用J。青岛建筑学院学报，2005，26（1）：87-96.3 华东师范大学数学系，数学分析（上册）M，北京：高等教育出版社.4 王艳萍，余学军，应用罗尔定理的一种辅助函数构造法J。南阳师范学院学报，2003（2）：18-21.5 数学分析习题解析（上册）M，陕西师范大学出版社，2003.6 薛利敏，罗尔中值定理应用中辅助函数的构造方法，J
23、.渭南师范学院学报，200802The index derivative Rolle value theorem and its applicationLIU-Wenjun(Class 1 Grade 2007,Information and Computation Science , Mathematical and Information Science Department ,Weinan Teachers University)Abstract: First, established under the index derivative significance has rolled
24、the theorem of mean, then the application index derivative rolled the theorem of mean and may lead the relations which might lead with the index to establish west the index derivative Lagrange theorem of mean and the tan oak the theorem of mean. Key words: Index derivative; Rolle value theorem; Lagrange value theorem; Cauchy value theorem.渭南师范学院本科毕业论文答辩记录论文题目 指数导数的罗尔中值定理及应用姓 名 学 号 专 业 系 班 毕业年份 指导教师刘文骏 070741038数学与应用数学数 学 系 数 学与 应 用 数 学07 级 数 本 1班2011 年 张同琦说明：本栏目填写学生论文汇报情况，答辩小组成员提问、学生回答等答辩过程及论文综合评价情况. 每个答辩小组记录一份.答辩记录 （可加附页）答辩日期 年 月 日答辩小组组长签字：答辩小组成员签字： 记录人
