1、 1 第一部分：基本功 在 这 部 分 ，作 者 给 出 算 法 式 的 讨 论 层 次 ，希 望 同 学 们 对 这 部 分 的 处 理 达 到 非常纯熟的程度。这部分内容本身就是一种常见的考查形式，同时也是进阶 问题的框架 ， 只有熟练掌握，才能深讨进阶问题。事实上 处 理 任 何 一 类 导 数 问题都离不开讨论参数的过程，所以需要熟练掌握。 1 () () e fx 二 次 0 1 ( 1, ) fx ( 1)( 1) 1 ax x fx x fx 解 ： 0 a 时， 1 () 1 x fx x( 1 1) ， x ， ( ) 0 fx ， () fx 单调递增 ； (1 ) ， x
2、 ， ( ) 0 fx ， () fx 单调递减 。 0 a 时， ( 1)( 1) () 1 ax x fx x令 ( ) 0 fx ，得 ( 1)( 1) 0 ax x ， 1 1 x ， 2 1 x a若 0 a ，开口向下， 21 1 1 xx a 。 1 当 1 1 a ，即10 a 时， ( 1 1) x ， , ( ) 0 fx , () fx 单调递增 ； (1 ) x ， , ( ) 0 fx , () fx 单调递减 。 2 当 1 1 a ，即 1 a 时， 1 1 x a ， , ( ) 0 fx , () fx 单调递减 ； 1 1 x a ， , ( ) 0 fx
3、, () fx 单调递增 ； (1 ) x ， , ( ) 0 fx , () fx 单调递增 。 1 -1 a 1 -1 1 1 -1 1 a 2 若 0 a ，开口向上， 2 1 1 x a 1 当 1 1 a ，即01 a 时， ( 1 1) x ， , ( ) 0 fx , () fx 单调递增 ； 1 1 x a ， , ( ) 0 fx , () fx 单调递减 ； 1 x a ， , ( ) 0 fx , () fx 单调递增 。 2 当 1 1 a ，即 1 a 时， 2 ( 1) ( ) 0 1 x fx x() fx 在( 1 ) ， 上单调递增 3 当 1 1 a ，即
4、1 a 时， 1 1 x a ， , ( ) 0 fx , () fx 单调递增 ； 1 1 x a ， , ( ) 0 fx , () fx 单调递减 ； (1 ) x ， , ( ) 0 fx , () fx 单调递增 。 a 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 a 3 2 2 () 1 x e fx ax 0 a () fx 解 ： 2 22 ( 2 1) () (1 ) x e ax ax fx ax ， 0 a ， R x 令 ( ) 0 fx ，得 2 2 1 0 ax ax 开口向上， 2 4 4 4 ( 1) a a a a 1 0 ，即01 a 时， 2 2 1 0 ax
5、ax ， ( ) 0 fx () fx 单调递 增区间为() ， 2 0 ，即 1 a 时， 12 ( 1) ( 1) a a a a a a xx aa令 ( ) 0 fx 得 () fx 单调 递 增区间为 ( 1) ， a a a a , ( 1) ， a a a a令 ( ) 0 fx 得 () fx 单调 递 减区间为 ( 1) ( 1) ， a a a a a a aa*注： 每一个讨论 层次中， 讨论顺序 都是“ 0 a 12 xx * x 2 x 1 5 1 14 1 2 () 44 x e fx ax x 1 a () fx 解： 1 a ， 2 4 4 0 ax x ()
6、fx 定义域为R 1 2 1 1 2 2 2 2 ( 4 4) (2 4) ( 4 2 ) () ( 4 4) ( 4 4) x x x e ax x ax e e x ax a fx ax x ax x 令 ( ) 0 fx ，得 ( 4 2 ) 0 x ax a ， 1 0 x ， 2 4 2 x a 当 12 xx ，即12 a 时， 令 ( ) 0 fx 得 () fx 单调 递增区间为 4 2 a ， ， (0 ) ， 令 ( ) 0 fx 得 () fx 单调 递减区间为 4 20 a ， 当 12 xx ，即 2 a 时， 12 22 2 ( ) 0 (2 4 4) x ex f
7、x xk （当且仅当 0 x ， ( ) 0 fx ） () fx 单调 递增区间为R 当 12 xx ，即 2 a 时， 令 ( ) 0 fx 得 () fx 单调 递增区间为 ( 0) ， ， 4 2 a ， 令 ( ) 0 fx 得 () fx 单调 递减区间为 4 02 a ， a 4 2- 0 0 0 2- 4 a 6 2 (10 ) 2 ( ) ln( 1) ( 0) 2 k f x x x x k () fx 解： 1 ( 1) ( ) 1 11 x kx k f x kx xx ， 1 x 0 k ， () 1 x fx x () fx 单调 递增区间为 ( 1 0) ， ，
8、() fx 单调 递减区间为 (0 ) ， 0 k ，令 ( ) 0 fx ，得 ( 1) 0 x kx k ， 1 0 x ， 2 1 11 x k 1 当 12 xx ，即01 k 时， 令 ( ) 0 fx 得 () fx 单调 递增区间为 ( 1 0) ， ， 1 1 k ， 令 ( ) 0 fx 得 () fx 单调 递减区间为 1 01 k ， 2 当 12 xx ，即 1 k 时， 2 ( ) 0 1 x fx x （当且仅当 0 x 时 ( ) 0 fx ） () fx 单调 递增区间为( 1 ) ， 3 当 12 xx ，即 1 k 时， 令 ( ) 0 fx 得 () fx
9、 单调 递增区间为 1 11 k ， ， (0 ) ， 令 ( ) 0 fx 得 () fx 单调 递减区间为 1 10 k ， 0 -1 -1 k 1 -1 0 0 -1 0 -1 1 k -1 7 3 12 ( ) ( 1) ax a f x e a x 1 a () fx 解： 2 ( 1) ( 1) 1 () ax a x a x f x e x ， 0 x ， 1 a 0 a 时， ( ) 1 fx 为常函数，无单调区 间 10 a ，即 1 a 时， 2 1 () x x f x e x () fx 单调 递增区间为( 1 0) ， ， (0 ) ， () fx 单调 递减区间为(
10、 1) ， ( 1 0) (0 ) a ， ， 时，令 ( ) 0 fx ， 得 1 ( 1)( 1) 0 1 a a x x a ， 21 1 01 1 xx a 1 ( 1 0) a ， 时 ，开口向下 令 ( ) 0 fx 得 () fx 单调 递增区间为( 1 0) ， ， 1 0 1 a ， 令 ( ) 0 fx 得 () fx 单调 递减区间为( 1) ， ， 1 1 a ， 2 (0 ) a ， 时，开口向上 令 ( ) 0 fx 得 () fx 单调 递增区间为( 1) ， ， 1 1 a ， 令 ( ) 0 fx 得 () fx 单调 递减区间为( 1 0) ， ， 1 0
11、1 a ， 0 -1 0 a+1 1 -1 -1 1 a+1 0 8 4 12 2 () 1 ax e fx x a R () fx 解： 2 22 ( 2 ) () ( 1) ax e ax x a fx x ，x R ，a R 0 a 时， 22 2 () ( 1) x fx x () fx 单调 递增区间为 ( 0) ， () fx 单调 递减区间为 (0 ) ， 0 a 时，令 ( ) 0 fx ，得 2 20 ax x a ， 2 4 4 4(1 )(1 ) a a a 1 0 即 1 a 或 1 a 时， 若 1 a ，开口向上， 2 20 ax x a ， ( ) 0 fx ()
12、 fx 单调 递增区间为 R 若 1 a ，开口向上， 2 20 ax x a ， ( ) 0 fx () fx 单调 递减区间为 R 2 0 即01 a 或10 a 时， 2 1 11 a x a ， 2 2 11 a x a 若01 a ，开口向上， 12 xx () fx 单调 递增区间为 2 11 a a ， ， 2 11 a a ， () fx 单调 递减区间为 22 1 1 1 1 aa aa ， 若10 a ，开口向下， 12 xx () fx 单调 递增区间为 22 1 1 1 1 aa aa ， () fx 单调 递减区间为 2 11 a a ， ， 2 11 a a ， 0
13、 x 2 x 1 x 1 x 2 9 2 (0, ) fx 2 ( 1)( 1) ax x fx x fx 1, e 解 ： 0 a ， 2 ( 1) () x fx x1 ， xe 时， ( ) 0 fx ， () fx 单调递减 min () f f e ， max (1) ff 0 a ，令 ( ) 0 fx ， 得 ( 1)( 1) 0 ax x ， 1 1 x a ， 2 1 x ， 若 0 a ，开口向下 1 1 a ， 1 ， xe 时， ( ) 0 fx ， () fx 单调递减 min () f f e ， max (1) ff若 0 a ， 开口向上 1 1 1 a 即 1
14、 a 时， 1 ， xe ， ( ) 0 fx ， () fx 单调递增 min (1) ff ， max () f f e2 1 e a 即 1 0 a e 时， 1 ， xe ， ( ) 0 fx ， () fx 单调递减 min () f f e ， max (1) ff 3 1 1 e a ，即 1 1 a e 时， 当x 变化时， () fx ， () fx 变化如下表 ： x 1 1 1 ， a1 a1 ，e ae () fx 0 + () fx min 1 () ff a ， max max (1) ( ) f f f e ， e 1 a 1 e 1 1 e e 1 a 1 1
15、e 11 1 14 2 1 ( ) =2.718 2 x f x xe a x x e 1,1 解： ( ) ( 1) ( ) x f x x e a 0 a 时， 0 x ea 11 x ， 时， ( ) 0 fx ， () fx 单调递增 min 1 ( 1) 2 a ff e 0 a 时，令 ( ) 0 fx ， 1 1 x ， 2 ln xa 1 若 2 ln 1 xa ，即 1 0 a e 时 ， 11 x ， ， ( ) 0 fx ， () fx 单调递增 min 1 ( 1) 2 a ff e 2 若 2 ln 1 xa ，即ae 时 ， 1 1 x ， ， ( ) 0 fx ，
16、 () fx 单调递减 min 3 (1) 2 f f e a 3 若 2 ln ( 1 1) xa ， ，即 1 ae e 时， 当x 变化时， () fx ， () fx 变化如下表： x 1 ( 1 ln ) a ， lna (ln 1) a ， 1 () fx 0 + () fx 2 min (ln ) ln 2 a f f a a 综上， 2 min 11 2 1 ln 2 3 2 a a ee a f a a e e e a a e * 注： 如果注意 观察，显 然 1 a e 时， ( ) 0 fx 。可以化简讨 论情况。 * 1 -1 ln a 1 -1 1 -1 ln a 1
17、 ln a -1 12 2 13 2 ( ) ln f x x ax bx ( , ab 0 a ) 1 x () fx 0,e 1 a 解： 1 ( ) 2 f x ax b x ， () fx 在 1 x 处取得极值 (1) 1 2 0 f a b ， 12 ba 2 ( ) ln (1 2 ) f x x ax a x ， 0 x ， 0 a 1 (2 1)( 1) ( ) 2 1 2 ax x f x ax a xx 令 ( ) 0 fx ，得 (2 1)( 1) 0 ax x ， 1 1 x ， 2 1 2 x a () fx 在 1 x 处取得极值 ， 12 xx ，即 1 2 a
18、 0 a 时，开口向下， 2 1 0 2 x a 当x 变化时， () fx ， () fx 变化如下表： x (0 1) ， 1 (1 ) e ， e () fx + 0 () fx max (1) 1 1 f f a ， 2 a 0 a 时，开口向上 1 2 1 (0 1) 2 x a ， ，即 1 2 a 时， 当x 变化时， () fx ， () fx 变化如下表： x 1 0 2a ， 1 2a1 1 2a ， 1 (1 ) e ， e () fx + 0 0 + () fx max 1 max ( ) 1 2 f f f e a ， 注意到 2 1 1 1 1 1 1 ln (1
19、2 ) ln 1 0 2 2 2 2 2 4 f a a a a a a a a 只能 2 ( ) ln (2 1) 1 f e e ae a e ， 1 2 a e 2 2 1 (1 ) 2 xe a ， ，即 11 22 a e 时， 当x 变化时， () fx ， () fx 变化如下表： x 01 ， 1 1 1 2a ， 1 2a1 2 e a ， e () fx + 0 0 + () fx 1 e 0 2a 1 e 1 0 2a 1 1 2a 0 1 e e 1 0 2a 1 13 max max (1) ( ) 1 f f f e ， (1) 1 0 fa ， ( ) 1 fe
20、， 1 1 1 2 2 2 a ee ， ，舍 3 2 1 2 xe a ，即 1 0 2 a e 时， 当x 变化时， () fx ， () fx 变化如下表： x (0 1) ， 1 (1 ) e ， e () fx + 0 () fx max (1) 1 0 f f a 与 max 1 f 矛盾，舍 综上， 2 a 或 1 2 a e 1 2a 0 1 e 14 3 12 2 ( ) 1( 0) f x ax a 3 () g x x bx 2 4 ab ( ) ( ) f x g x ( , 1 解： 设 2 32 ( ) ( ) ( ) 1 4 a t x f x g x x ax
21、x ， 0 a ，x R 2 2 ( ) 3 2 3 4 6 2 a a a t x x ax x x 令 ( ) 0 tx ， 12 62 aa xx 当x 变化时， () tx ， () tx 变化如下表： x 2 a ， 2 a 26 aa ， 6 a 6 a ， () fx + 0 0 + () fx 由上表知， 当 1 2 a ，即02 a 时， 2 max ( 1) 4 a t t a 当 1 26 aa ，即26 a 时， max 1 2 a tt 当 1 6 a ，即 6 a 时， max max ( 1) 2 a t t t ， 2 2 ( 1) 1 1 0 2 4 2 a
22、a a t t a max 1 2 a tt 综上 2 max 2 4 12 a aa t a ， ，a - - 6 2 a -1 a 2 6 - - a 15 1. 2. 13 13,14 14,15 15 1 () y f x ( ) ( ) ( ) f x g x t x 等价于 0 fx 等价于 ( ) ( ) g x t x 等价于 () y g x () y t x 1. 2. fx ( , ) ab 0 f a f b ( , ) ab 0 x 0 0 fx 16 1 32 4 6 1 f x x x x 2 2 3 2 g x x x 解： 设 ( ) ( ) ( ) t x
23、f x g x ， 32 ( ) 6 9 3 t x x x x ，xR 2 ( ) 3 12 9 3( 1)( 3) t x x x x x 令 ( ) 0 tx ，得 12 1, 3 xx 当x 变化时， ( ) tx ， () tx 变化如下表 ： x 1 ， 1 13 ， 3 3 ， ( ) tx + 0 0 + () tx 1 -3 (1) 1 0, (3) 3 0 tt ，所以区间(1,3) 上有一个零点， 又 (0) 3 0, (4) 1 0 tt ，所以在区间(0,1),(3,4) 上各有一个零点。 所以 ( ) ( ) ( ) t x f x g x 图像有三个零点，即 ()
24、 fx 与 () gx 图像有三个交点。 * 注： 我们从 来没有默认过除基本 初等函数和一次二 次函数之外的函数变 化趋势是怎样的。 显 然单调递增不一定从负值开 始， 也不一定 会取得正值。 所 以， (0) 3 0, (4) 1 0 tt 的说明 是必要的， 只有这样 ， 才能严格的配 合零点存在定理 ， 说明在三个不同 的单调区间的上各 有 一个零点。 * 17 2 14 2 2 ln x e f x k x xx k fx 02 ， k 解： 2 42 2 2 1 () xx e x xe f x k x x x 3 2 0 x x e kx x x () fx 在 (0,2) 内存
25、在两个极值点 等价于 x g x e kx 在(0,2) 内有两个零点 x g x e k 当 0 k 时， 0 gx 恒成立， gx 在 (0,2) 上单调递增，不符合题意 当 0 k 时, 令 0 gx ， ln x e k x k x 变化时， ( ) gx ， () gx 变化如下表 ： x 0 lnk ， lnk lnk ， ( ) gx 0 + () gx 若 ln 2 k ， () gx 在 (0,2) 上单调递 减 ，不符合 题意 ，所以ln 2 k () gx 在 (0,2) 上有两个零点，需要： 2 (0) 1 0 (ln ) ln 0 (2) 2 0 g g k k k
26、k g e k ，又 ln 2 k 所以k 的取值范围为 2 2 e e ， * 注： 数学量 个数的问题一般转化 成零点个数的问题 。 * 19 1 (13 ) 2 ( ) sin cos f x x x x x () y f x yb b 解： 由 2 ( ) sin cos f x x x x x ，得 ( ) (2 cos ) f x x x 令 ( ) 0 fx ，得 0 x ， 当x 变化时， () fx 与 () fx 的变化情况如下： x ( 0) ， 0 (0 ) ， () fx 0 () fx 1 所以 min (1) 0 ff 当 1 b 时，曲线 () y f x 与直线yb 最多只有一个交点； 当 1 b 时， 2 4 ( 2 ) (2 ) 2 1 4 2 1 b f b f b b b b b ， 又 (0) 1 fb ， 所以存在 1 ( 2 0) xb ， ， 2 (0 2 ) xb ， ，使得 12 ( ) ( ) f x f x b 由于函数 () fx 在区间 ( 0) ， 和 (0 ) ， 上均单调， 所以当 1 b 时曲线 () y f x 与直线yb 有且仅有两个不同交点 综上可知 ，b 的取值范围是(1 ) ，
