1、2.4平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义,平 面 向 量,1掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系2正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律3理解利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题,基础梳理,一、1.AOB(0) 练习：同向反向垂直ab,2已知两个_向量a与b，我们把数量_叫a与b的数量积(或内积)记作_，即ab_，其中是a与b的夹角，_叫做向量a在b方向上的_3“投影”的概念：作图定义：|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当0时投影为|b ；当
2、时投影为|b|.4零向量与任意向量的数量积为_,思考应用,1向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：,解析：向量的数量积的结果是一个数量，而线性运算的结果是一个向量影响数量积大小的因素有向量各自的长度和它们之间的夹角.,二、平面向量数量积的性质1设a与b均为非空向量：(1)ab_.(2)当a与b同向时，ab_当a与b反向时，ab_，特别地aa_或|a| _.(3)cos_.(4) | ab | _.,2ab的几何意义：_.3向量的数量积满足下列运算律已知向量a，b，c与实数.(1)ab_(_律)(2) (a) b_ _ (_律)(3) (ab) c_
3、(_律),思考应用,2判断正误，并简要说明理由a00；0a0；0 ；|ab|a|b|；若a0，则对任一非零b有ab0；ab0，则a与b中至少有一个为0；对任意向量a，b，c都有(ab)ca(bc)；a与b是两个单位向量，则a2b2.,解析：上述8个命题中只有正确对于：两个向量的数量积是一个实数，应有0a0；对于：应有0a0；,对于：由数量积定义有|ab|a|b|cos |a|b|，这里是a与b的夹角，只有0或时，才有|ab|a|b|；对于：若非零向量a、b垂直，有ab0；对于：由ab0可知ab可以都非零；对于：若a与c共线，记ac.则ab(c)b(cb)(bc)，(ab)c(bc)c(bc)c
4、(bc)a若a与c不共线，则(ab)c(bc)a.,自测自评,1已知|a|4， |b|2且a与b的夹角为60，则ab_.2已知ab12，且|a|3， |b|5，则b在a方向上的投影为_3已知|a|3，|b|5且a与b不共线，ab与ab垂直，则_.4已知|a|6，e是单位向量，它们之间夹角是45，则a在e方向上的投影_5已知ABC中，a5，b8，C60，则 _.,求向量的数量积及向量的模,已知|a|3，|b|4且a与b的夹角为120，求：ab，(ab) 2，|a-b|.,分析：根据向量的运算律求(ab)2,|a-b|，求模时转化为求向量的平方问题，即|a|2a2.,跟踪训练,分析：向量的多项式运
5、算与代数式的多项式运算法则是一致的,判断三角形形状,已知ABC中，试判断ABC的形状,跟踪训练,2已知O为ABC所在平面内一点,且满足 试判断ABC的形状,向量的垂直问题,已知|a|3，|b|4且a与b不共线k为何值时，向量(akb)与(a-kb)互相垂直？,分析：根据向量(akb)与(a-kb)互相垂直的条件列出关于k的关系式，求关于k的方程,跟踪训练,3已知|a|2，|a|1，a与b的夹角为 ，若向量2akb与ab垂直，求k的值,求向量的夹角,已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量ae1e2与be22e1的夹角,分析：要求向量ae1e2与be22e1的夹角，即先求出这两向量的数量积及它们的模,跟踪训练,4已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量a2e1e2与b2e23e1的夹角,C,B,祝,您,学业有成,
