1、1对数公式的运用1对数的概念 如果 a(a0，且 a1)的 b 次幂等于 N，即 ab=N，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作：logaN=b，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数 由定义知： 负数和零没有对数； a0 且 a1，N 0； log a1=0，log aa=1，a logaN=N(对数恒等式) ，log aab=b。 特别地，以 10 为底的对数叫常用对数，记作 log10N，简记为 lgN；以无理数 e(e=2 718 28)为底的对数叫做自然对数，记作 logeN，简记为 lnN 2对数式与指数式的互化 式子名称 ab=N指数式 ab=N(底数)( 指数)(
2、幂值 )对数式 logaN=b(底数) (真数) (对数) 3对数的运算性质 如果 a0，a1，M0 ，N0，那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN (2)loga（M /N） =logaM-logaN (3)logaMn=nlogaM (nR ) 问：公式中为什么要加条件 a0，a1，M 0，N 0? log aan=? (nR) 对数式与指数式的比较 (学生填表) 式子 ab=N，log aN=b 名称：a幂的底数 b N a对数的底数 b N 运算性质： aman=am+n aman= am-n (a0 且 a1，nR) logaMN=logaM+logaN logaMN=
3、 logaMn= (nR) (a0，a1，M0，N0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定 a0， ，且 a1? 理由如下： a0，则 N 的某些值不存在，例如 log-28=? 若 a=0，则 N0 时 b 不存在；N =0 时 b 不惟一，可以为任何正数? 若 a=1 时，则 N1 时 b 不存在；N =1 时 b 也不惟一，可以为任何正数? 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于 1 的正数? 2解题方法技巧 1 (1)将下列指数式写成对数式： 5 4=625；2 6=64；3 x=27；13 m=5 73 (2)将下列对数式写成指数式： log 216=4； log
4、2128=7； log 327=x； lg0 01=-2； ln10=2 303；lg =k 解析由对数定义：a b=N，log aN=b 解答(1)log 5625=4 log 264=6 log 327=x log 135 73=m 解题方法 指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：a b=N logaN=b (2)2 4=16，2 7=128，3 x=27，10 -2=0 01，e 2 303=10， 10 k= 2根据下列条件分别求 x 的值： (1)log8x= -2/3；(2)log 2(log5x)=0； (3)logx27=3 ；(4)log x(2+ )= -1
5、 332 3解析(1)对数式化指数式，得：x= =? 823(2)log5x=20=1 x=? (3)33log32=? 27=x? (4) 2+ =x-1=1/x x=? 3解答(1)x= = =2-2=1/4 823(23)23(2)log5x=20=1，x =51=5 (3)logx27=3 =32=6， 332x 6=27=33=( )6，故 x= 3 3(4) + =x-1=1/x，x =1/( + )= 2 3 2 3 2 3解题技巧 转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化 熟练应用公式：log a1=0，log
6、 aa=1，alog aM=M，log aan=n3已知 logax=4，log ay=5，求 A=x 5/12y -1/3的值 解析：思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值； 思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值? 解答：解法一log ax=4，log ay=5， x=a 4，y=a 5， 3A= x(5/12)y(-1/3)=(a4)5/12(a5)-1/3=a5/3a -5/3=a0=1 解法二对所求指数式两边取以 a 为底的对数得 logaA=loga(x(5/12)y(-1/3) =(5/12)logax-(1/3
7、)logay=(5/12)4-(1/3)5=0， A=1 解题技巧 有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算 4 设 x，y 均为正数，且 xy1+lgx=1(x1/10)，求 lg(xy)的取值范围 解析一个等式中含两个变量 x、y，对每一个确定的正数 x 由等式都有惟一的正数 y 与之对应，故 y 是 x 的函数，从而 lg(xy)也是 x 的函数 因此求 lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数? 解答x0，y0，x y1+lgx=1， 两边取对数得：lgx+
8、(1+lgx) lgy=0 即 lgy=-lgx/(1+lgx) (x1/10，lgx-1) 令 lgx=t，则 lgy=-t/(1+t) (t-1) lg(xy)=lgx+lgy=t-t/(1+t)= t 2/(1+t) (t-1) (解题规律：对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题 )设 S=t2/(1+t)，得关于 t 的方程 t2-St-S=0 因为它一定有实数解 =S2+4S0，得 S-4 或 S0， 故 lg(xy)的取值范围是 (-，-40，+) 5 求值： (1)lg25+lg2lg50+(lg2)2； (2
9、)2log32-log3(32/9)+log38-52log53； (3)设 lga+lgb=2lg(a-2b)，求 log2a-log2b 的值； (4)求 7lg20(1/2)lg0.7 的值 解析：(1)25=52，50=5 10。都化成 lg2 与 lg5 的关系式 (2)转化为 log32 的关系式 (3)所求 log2a-log2b=log2(a/b)，由已知等式给出了 a，b 之间的关系，能否从中求出 a/b 的值呢? (4)7lg20(1/2)lg0.7 是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，设 x=7lg20(1/2)lg0.7 能否先求出 lgx，再求 x? 解答(1)原式
10、=lg5 2+lg2lg(105)+(lg2)2 =2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =lg5(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =（lg(10/2)）(2+lg2)+lg2+(lg2) 2 =(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2 (2)原式=2log 32-(log325-log332)+log323-5log59 =2log32-5log32+2+3log32-9 4= -7 (3)由已知 lgab=lg(a-2b)2 (a-2b0)， ab=(a-2b) 2， 即 a2-5ab+4b2=0 a/b=1 或
11、a/b=4，这里 a0，b0 若 a/b=1，则 a-2b0，a1，c0，c1，N 0)； (2)logablogbc=logac； (3)logab=1/logba(b0，b1)； (4)loganbm=(m/n)logab 解析:(1)设 logaN=b 得 ab=N，两边取以 c 为底的对数求出 b 就可能得证 (2)中 logbc 能否也换成以 a 为底的对数 (3)应用(1)将 logab 换成以 b 为底的对数 (4)应用(1)将 loganbm 换成以 a 为底的对数 解答:(1)设 logaN=b，则 ab=N，两边取以 c 为底的对数得：b logca=logcN， b=lo
12、g cN/logca log aN=logcN/logca (2)由(1)log bc=logac/logab 所以 logablogbc=logablogac/logab=logac (3)由(1)log ab=logbb/logba=1/logba 解题规律 (1)中 logaN=logcN/logca 叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用 对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用 (4)由(1)log anbm=logabm/logaan=mlogab/nlogaa= (m/n)logab 7 已知 log67=a，3 b=
13、4，求 log127 解析依题意 a，b 是常数，求 log127 就是要用 a，b 表示 log127，又 3b=4 即 log34=b，能否将log127 转化为以 6 为底的对数，进而转化为以 3 为底呢? 解答已知 log67=a，log 34=b， 5log 127=log67/log612=a/(1+log62) 又 log62=log32/log36=log32/(1+log32)， 由 log34=b，得 2log32=b log 32=b/2，log 62=(b/2)/(1+b/2)=b/(2+b) log 127=a/(1+b/(2+b)=a(2+b)/(2+2b) 解题技
14、巧 利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧。8已知 x，y，zR+，且 3x=4y=6z (1)求满足 2x=py 的 p 值； (2)求与 p 最接近的整数值； (3)求证：(1/2)/y=1/z-1/x 解析：已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量 m，再用 m 分别表示 x，y，z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答? 解答：（1）解法一 3x=4y，log 33x=log34y，x=ylog 34，2x =2ylog34=ylog316， p=log 316 解法二设 3x=4y=m，取对数得： xlg3=lgm
15、，ylg4=lgm， x=lgm/lg3，y =lgm/lg4，2x =2lgm/lg3，py=plgm/ lg4 由 2x=py， 得 2lgm/lg3=plgm/lg4， p=2lg4/lg3=lg4 2/lg3=log316 (2)2=log 39， 3-p=log 327-log316=log3(27/16)， p-2=log316-log39=log3(16/9)，而 27/161 真数大则对数大p-23-p， p2.5 与 p 最接近的整数是 3 解题思想 提倡一题多解 不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力
16、，何乐而不为呢? (2)中涉及比较两个对数的大小 这是同底的两个对数比大小 因为底 31，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性 (3)解法一令 3x=4y=6z=m，由于 x，y，zR+， k1，则 x=lgm/lg3，y =lgm/lg4，z=lgm/lg 6， 所以 1/z-1/x=lg6/lgm-lg3/lgm=(lg6-lg3)/lgm=lg2/lgm，(1/2)/ y=(1/2)lg4/lgm=lg2/lgm， 故(1/2)/y=1/z-1/ x 解法二 3x=4y=6z=m， 则有 3=m1/x
17、，4=m 1/y，6=m 1/z， /，得 m1/z-1/x=6/3=2=m(1/2)/y 1/z-1/x=(1/2)/ y 9已知正数 a，b 满足 a2+b2=7ab 求证：log m(a+b)/3=(1/2)(logma+logmb)(m0 且 m1) 6解析：已知 a0，b0 ，a 2+b2=7ab 求证式中真数都只含 a，b 的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用 a2+b2=7ab；解题技巧 (a+b)/3 向二次转化以利于应用 a2+b2=7ab 是技巧之一 应用 a2+b2=7ab 将真数的和式转化为 ab 的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二 解答：l
18、ogm(a+b)/3=logm(a+b)/3)2/2= (1/2)logm(a+b)/3)2=(1/2)logm(a2+b2+2ab)/9 a 2+b2=7ab， log m(a+b)/3=(1/2)logm(7ab+2ab)/9=(1/2)logmab=(1/2)(logma+logmb)， 即 logm(a+b)/3=(1/2)(logma+logmb) 思维拓展发散 1数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系 设真数 N=a10n。其中N0。1a0，lgN 的首数和尾数与 a10n 有什么联系？ 有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？ 2若 lgx 的首数比 l
19、g(1/x)的首数大 9，lgx 的尾数比 lg(1/x)的尾数小 0.380 4，且 lg0.203 4=1.308 3，求 lgx，x，lg(1/ x)的值 解析lg0.203 4=1.308 3，即 lg0 203 4=1+0.308 3，1 是对数的首数，0.308 3 是对数的尾数，是正的纯小数；若设 lgx=n+lga，则 lg(1/x)也可表出 解答设 lgx=n+lga，依题意 lg(1/x)=(n-9)+(lga+0 380 4) 又 lg(1/x)= -lgx=-(n+lga)， (n-9)+( lga+0.380 4)= -n-lga，其中 n-9 是首数，lga +0.
20、380 4 是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga) ，-(n+1)是首数 1-lga 是尾数，所以： n-9=-(n+1) ，lga+0.380 4=1-lga ，n=4，lga=0.308 3 lgx=4+0.308 3=4.308 3， 7lg0.203 4=1.308 3，x =2.034104 lg(1/x )=-(4+0.308 3)=5.691 7 注：(10-4.3083=5. 6917)解题规律 把 lgx 的首数和尾数，lg(1/ x)的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程 再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用
21、方法 3计算： (1) ； 23(2+3)+6( 2+3+2 3)(2)2lg(lga100)/(2+lg(lga) 解析(1)中 2+ 与 2- 有何关系 ? + 双重根号，如何化简? 3 3 2+ 3 2- 3(2)中分母已无法化简，分子能化简吗? 解题方法 认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒 解答(1)原式= +23(2 3)1126( 2+3+2 3)2=1+126(4+2(2+3)(2 3)= -1+ log66 = 12 12(2)原式=2lg(100lga)/(2+lg( lga)=2(lg100+lg(lga)/(2+lg(lga)
22、=2(2+lg(lga)/(2+lg(lga)=2 4已知 log2x=log3y=log5z 0，b0 ，M1)，且 logMb=x，则 logMa 的值为( ) 7.若 log63=0.673 1，log 6x=-0.326 9， 则 x 为( ) 8.若 log5(log3(log2x)=0，则 x=( ) 9. =( ) 887766510.如果方程 lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2lg3=0 的两根为 x1、x 2，那么 x1x2 的值为( ) 11.生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有 10%的能量流到下一个营养级 H1H 2H 3H 4H 5H 6
23、这条生物链中 (Hn 表示第 n 个营养级，n=1，2，3，4，5，6) 已知对 H1 输入了 106 千焦的能量，问第几个营养级能获得 100 千焦的能量? 12.已知 x，y，zR+且 3x=4y=6z，比较 3x，4y ，6z 的大小 13.已知 a，b 均为不等于 1 的正数，且 axby=aybx=1，求证 x2=y2 14.已知 2a5b=2c5d=10，证明 (a-1)/(d-1)=(b-1)/(c-1) 15.设集合 M=x |lg(ax2-2(a+1)x-1)0 ，若 M 空集，M =x|x0 且 x+11；真数 x+10 6 A 点拨：对 ab=M 取以 M 为底的对数 7
24、 C 点拨：注意 0.673 1+0.326 9=1，log 6(1/x)=0.326 9， 所以 log63+log6(1/x)=log63x=1 3x=6， x=2 8 x=8 点拨：由外向内 log3(log2x)=1， log2x=3， x=23 9 5 点拨：log 87log76log65=log85， 5=5 8810 1/6 点拨：关于 lgx 的一元二次方程的两根是 lgx1，lgx 2 由 lgx1= -lg2，lgx 2= -lg3，得 x1=1/2，x 2=1/3 x1x2= 1/611 设第 n 个营养级能获得 100 千焦的能量， 依题意:10 6(10/100)n
25、-1=100， 化简得:10 7-n=102，利用同底幂相等，得 7-n=2， 或者两边取常用对数也得 7-n=2 n=5，即第 5 个营养级能获能量 100 千焦 12 设 3x=4y=6z=k，因为 x，y，zR+， 所以 k1 取以 k 为底的对数，得： x=1/logk3，y=1/ logk4，z =1/logk6 3x=3/log k3= =1/logk ， 1133 33同理得：4y=1/log k ，6z=1/log k 44 66而 = ， = ， = ， 331281 44126466 1236log k logk logk 33 44 66又 k1， 1， 334466lo
26、g k logk logk 0，3x0)，则 ax2-2(a+1)x-1=10t(t0) 10 t1 ，ax 2-2(a+1)x-11， ax 2-2(a+1)x-20 a=0 时，解集x|x 0 时，M= x |xx2 ，显然不是x| x0， x1+x2=2(a+1)/a0， x1x2=-2/a0 解得 a1, 有解，且只有正数解。a=0 时，不等式为-2x -20, 得： x0,得：a(-2+ )23 23两根和 x1+x2=2(a+1)/a0, 即 a0，即 a1,由上面可知 x=1/log(k)3,y=1/log(k)4,z=1/log(k)6.所以 3x=3/log(k)3，4y =
27、4/log(k)4，6z=6/log( k)6.3x/4y=3log(k)4/4log(k)3=log(k)43/log(k)34=log(k)64/log(k)810 满足 属于 M 的真子集， MR+，求 a 的取值范围空集是 M 的真子集,M R+空集是 M 的真子集, ax -(a+1)x-10 有解MR, ax-(a+1)x-10 的解是 正数设 ax-(a+1)x-1=0 的解为 x1，x 2 (x1=x2)a0 时,M 的解为 xx1,或 x0, xx20=(a+1)+4a=a+6a+1=(a+3)-80, a22-3,或 a0, a0, a0 或 a0 有解若 ax-(a+1)x-1 与 x 轴一定无交点则 ax-(a+1)x-1 恒大于 0,或恒小于 0ax-(a+1)x-10 的解集不是空集就是实数集 R而 MR+,显然和这两个都矛盾
