1、第十六章 例题讲解,八年级 下册,体系建构,本章知识结构图,知识梳理,知识点 1 与二次根式有关的概念： （1）二次根式的定义：一般地，我们把形如 （a0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号. （2）最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式. （3）同类二次根式：几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.,知识梳理,知识点 2 二次根式的性质： （1）二次根式的双重非负性：a0 且 0. （2） （a0） （3）,（a0）,（a0）,点拨： 与 的区别与联系.呈现方式相近，
2、所含意义不同；取值范围有别， 运算顺序相反；运算结果虽不同，结果都是非负数.,知识点 3 二次根式的化简和运算： （1）二次根式的乘除二次根式的乘法法则：积的算术平方根的性质： 二次根式的除法法则：商的算术平方根的性质： （2）二次根式的加减：先把所有二次根式化简为最简二次根式，再合并同类二次根式.,知识梳理,知识梳理,本章概述 （一）本章的重点、难点：重点：二次根式的概念和运算；难点：二次根式的概念和运算. （二）本章的易错点：1. 对二次根式有意义的条件的理解；2. 二次根式的化简；3. 二次根式的运算：（1）忽视运算顺序；（2）混淆运算法则.,典例剖析,例 1 完成下列各个问题： （1）
3、使二次根式 有意义的 x 的取值范围是 ； （2）函数 的自变量 x 的取值范围是 .,x0.25,x-3 且 x1,考点解析：1.二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；2.分式有意义的条件：分母不等于 0.,典例剖析,例 2 完成下列各个问题： （1）已知 ，则 ；,1,考点解析：1.三种非负数：二次根式，绝对值，完全平方式；2.几个非负数之和为 0，则每个非负数都为 0.,典例剖析,例 2 完成下列各个问题： （2）当 x 取何值时， 的值最小？,解： 0 当 时， 的值最小解得即当 时， 的值最小,考点解析：二次根式的值为非负数.,典例剖析,例 2 完成下列各个问题： （3）若 a1，
4、化简式子 的结果是（ ）A. B.C. D.,D,典例剖析,例 3 化简： （1） ； （2） ； （3） .,考点解析：1.商的算术平方根的性质；2.最简二次根式的条件.简记：（如下图）,典例剖析,例 4 计算下列各题： （1） （2）,考点解析：1.二次根式的加减法运算步骤：先化简再分类后合并2.二次根式的乘除法运算步骤：先整合再约分,典例剖析,例 4 计算下列各题： （3）,另解：原式,考点解析：巧用乘法公式、因式分解及运算律,典例剖析,例 4 计算下列各题： （4）,考点解析：混合运算步骤：运算顺序运算法则运算结果,王牌例题,例 1 二次根式的大小比较问题（请在横线上填写“”、“”或“
5、”）（1） ；（2） ；（3） .,考点解析：巧用二次根式比较大小的方法：（1）外因内移法；（2）平方法；（3）求差法.,王牌例题,例 1 拓展延伸 如图，在一块正方形 ABCD 的顶 点 A 处，有一只兔子，在边 AB 的中点 E 处有一只狼， 如果狼只能沿正方形的边跑动，而兔子可以随便跑动， 假设狼的速度与兔子的速度相同，请问兔子与狼谁先到 达 C 处？,解析：比较 AC 和 BEBC 的大小,a,a,a,0.5a,王牌例题,例 2 二次根式的化简求值问题已知 ， ，求式子 的值.,解： ，,王牌例题,例 2 二次根式的化简求值问题已知 ， ，求式子 的值.,王牌例题,例 3 阅读理解，探
6、索问题 阅读材料：小明学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写 成另一个式子的平方，如 ，善于思考的 小明进行以下探索：设 （其中 a、b、m、n 均为正整 数），则有 ， ， . 这样小明就找到了一种把 部分 式子化为平方式的方法.请你按照小明的方法探索并解决下列问题：,王牌例题,例 3 解决问题,设 则有 ，,（1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若，用含 m、n 的式子表示 a、b，则 a ，b ；,m23n2,2mn,（3）若 ，求 a 和 n 的值.,解：b12，m3,根据题意，得,解得,王牌例题,例 3 阅读理解，探索问题,例 3 拓展延伸、课下思考 若 ， 且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值.,课堂回顾,1. 体系构建：,2. 解题技巧与方法讲解： （1）二次根式有意义的条件； （2）二次根式非负数的应用； （3）二次根式的化简求值问题； （4）二次根式的大小比较； （5）与二次根式有关的探究问题.,3. 数学思想方法 的渗透： （1）转化思想； （2）整体思想； （3）分类讨论思想； （4）类比思想.,
